Bài tập cuối chương V

Bài tập cuối chương \(V\) trang \(101\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

\(A – \) TRẮC NGHIỆM

Bài \(1\). Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3, BC = 4\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AC}\) là:
\(A.\) \(5\);
\(B.\) \(6\);
\(C.\) \(7\);
\(D.\) \(9\).

Trả lời:

\(|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Số các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{OC}\) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
\(A.\) \(2\);
\(B.\) \(3\);
\(C.\) \(4\);
\(D.\) \(6\).

Trả lời:

Các vectơ bằng bằng vectơ \(\overrightarrow{OC}\) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

\(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{ED}\).

Vậy có \(2\) vectơ thoả mãn.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(3\). Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\overrightarrow{CA} \ – \ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}\);
\(B.\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\).

Trả lời:

Theo quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(4\). Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Điều kiện để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\):
\(A.\) \(IA = IB\);
\(B.\) \(\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{IA} = \ – \ \overrightarrow{IB}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}\).

Trả lời:

\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IA} = \ – \ \overrightarrow{IB}\).

Vậy chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(5\). Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\overrightarrow{GA} = 2 \overrightarrow{GI}\);
\(B.\) \(\overrightarrow{IG} = \ – \ displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{IA}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GI}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}\).

Trả lời:

Theo tính chất trọng tâm ta có:

\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \ – \ \overrightarrow{GA}\)

\(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GI} = \ – \ \overrightarrow{GA}\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(6\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}\);
\(B.\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\)

\( = 2\overrightarrow{BC}\) (do \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}\))

\(\Rightarrow A\) đúng, \(C\) sai.

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} \neq \overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow B\) sai.

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow D\) sai.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(7\). Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}\). Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
\(A.\) \(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\);
\(B.\) \(\overrightarrow{a} \ – \ 2\overrightarrow{b}\) và \(2\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}\);
\(C.\) \(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\ – \ 10\overrightarrow{a} \ – \ 2\overrightarrow{b}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}\).

Trả lời:

Ta có: \(\ – \ 10 \overrightarrow{a} \ – \ 2\overrightarrow{b} = \ – \ 2. (5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\).

Do đó hai cặp vectơ \(\ – \ 10\overrightarrow{a} \ – \ 2\overrightarrow{b}\) và \(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) cùng phương.

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(8\). Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(\widehat{B} = 50^o\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 130^o\);
\(B.\) \((\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}) = 40^o\);
\(C.\) \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}) = 50^o\);
\(D.\) \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB}) = 120^o\).

Trả lời:

Kẻ các vectơ \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BC}\).

\(\widehat{C} = 180^o \ – \ (90^o + 50^o) = 40^o\)

Ta có: \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{BCD} = 130^o\)

\(\Rightarrow A\) đúng.

\(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}) = (\overrightarrow{CF}, \overrightarrow{CE}) = 40^o\)

\(\Rightarrow B\) đúng.

\((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BG}) = 50^o\)

\(\Rightarrow C\) đúng.

\((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB}) = (\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{ECB} = 140^o\)

\(\Rightarrow D\) sai.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(9\). Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|\);
\(B.\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = \ – \ 1\);
\(D.\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = \ – \ |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)

Do \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ cùng hướng và đều khác \(\overrightarrow{0}\) nên \(\cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})} = \cos{0^o} = 1\)

Suy ra \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(10\). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} < \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}\);
\(B.\) \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB} < \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC}\);
\(C.\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}\);
\(D.\) \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AB}\).

Trả lời:

\(A.\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} < \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|. cos{90^o} = 0\).

\(\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}|. |\overrightarrow{BC}|. \cos{(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})} = |\overrightarrow{BA}|. |\overrightarrow{BC}|. \cos{B} > 0\) (do \(0^o < \widehat{B} < 90^o \text{ nên } \cos{B} > 0\)).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} < \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}\) hay \(A\) đúng.

\(B.\) \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB} < \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC}\)

Ta có: \(\cos{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB})} = \cos{(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CB})} = \cos{\widehat{ECB}} < 0\) (do \(\widehat{ECB} > 90^o\)).

\(\cos{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC})} = \cos{(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF})} = \cos{\widehat{ECF}} > 0\) (do \(0^o < \widehat{ECF} < 90^o\)).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB} < 0 < \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC}\)

Vậy \(B\) đúng.

\(C.\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}\)

Ta có: \(\cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})} = \cos{(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC})} = \cos{\widehat{DBC}} < 0\) (do \(\widehat{DBC} > 90^o\))

\(\cos{(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})} = \cos{\widehat{ACB}} > 0\) (do \(0 < \widehat{ACB} < 90^o\))

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} < 0 < \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}\)

Vậy \(C\) đúng.

\(D.\) \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AB}\)

Ta có: \(\cos{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC})} = \cos{(\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CF})} = \cos{\widehat{ECF}} > 0 \) (do \(0^o < \widehat{CCF} < 90^o\))

\(\cos{(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB})} = \cos{(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD})} = \cos{\widehat{CBD}} < 0\) (do \(\widehat{CBD} > 90^o\))

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BC} > 0 > \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AB}\).

Vậy \(D\) sai.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

\(B – \) TỰ LUẬN

Bài \(1\). Cho ba điểm \(A, B, C\) phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\):
\(a)\) cùng hướng?
\(b)\) ngược hướng?

Trả lời:

\(a)\) Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng hướng khi và chỉ khi:

Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng và \(B, C\) nằm cùng phía so với \(A\).

\(b)\) Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) ngược hướng khi và chỉ khi:

Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(B\) và \(C\).

\(\)

Bài \(2\). Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.

Trả lời:

Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

Trường hợp \(1\): \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng hướng hoặc \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) cùng hướng.

Ta được điều phải chứng minh.

Trường hợp \(2\): \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) ngược hướng và \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) ngược hướng.

Suy ra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.

Vậy có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.

\(\)

Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\). Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) và \(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua tâm \(O\). Hãy so sánh các vectơ \(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{B’C}\), \(\overrightarrow{AB’}\) và \(\overrightarrow{HC}\).

Trả lời:

Ta có: \(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua tâm \(O\) nên \(BB’\) là đường kính đường tròn tâm \((O)\).

\(\Rightarrow \widehat{BCB’} = 90^o, \widehat{BAB’} = 90^o\) hay \(BC \perp B’C, BA \perp B’A\)

Lại có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \perp BC, CH \perp AB\)

Suy ra \(B’C // AH, B’A // CH\)

\(\Rightarrow AB’CH\) là hình bình hành.

Vậy \(\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{B’C}, \overrightarrow{AB’} = \overrightarrow{HC}\)

\(\)

Bài \(4\). Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta có:
\(|\overrightarrow{a}| \ – \ |\overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\).

Trả lời:

\(+)\) Trường hợp \(1\): \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{a}| \ – \ |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| = \overrightarrow{b}\)

\(+)\) Trường hợp \(2\): \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\)

\(|\overrightarrow{a}| \ – \ |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| = \overrightarrow{a}\)

\(+)\) Trường hợp \(3\): \(\overrightarrow{a} \neq 0, \overrightarrow{b} \neq 0\)

Dựng hình bình hình \(ABCD\) với \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\)

Ta có: \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\)

Xét bất đẳng thức trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB \ – \ BC < AC < AB + BC\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}| \ – \ |\overrightarrow{BC}| < |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| < |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\)

Vậy kết hợp các trường hợp lại ta được:

\(|\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\)

\(\)

Bài \(5\). Cho hình ngũ giác đều \(ABCDE\) tâm \(O\).

Chứng minh rằng \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0}\).

Trả lời:

Đặt \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\)

\(ABCDE\) là ngũ giác đều nên \(OA\) nằm trên đường phân giác của hai góc \(\widehat{BOE}\) và \(\widehat{COD}\)

\(\Rightarrow\) Vectơ \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\) có giá nằm trên đường thẳng \(OA\).

Suy ra: Vectơ \(\overrightarrow{u}\) có giá nằm trên đường thẳng \(OA\)

Chứng minh tương tự, \(\overrightarrow{u}\) đồng thời có giá nằm trên đường thẳng \(OB\).

Khi đó \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0}\)

\(\)

Bài \(6\). Cho tam giác \(ABC\), gọi \(A’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A\), gọi \(B’\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B\), gọi \(C’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(C\). Chứng minh rằng với một điểm \(O\) tuỳ ý, ta có: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’}\).

Trả lời:

\(A’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A\) nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A’A}\)

\(B’\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B\) nên \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B’B}\)

\(C’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(C\) nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CC’}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)

\(= \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{C’C}\)

\(= \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + (\ – \ \overrightarrow{AC})\)

\(= \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\)

\(= \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{0}\)

\(= \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’}\)

Vậy \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OC’}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(7\). Tam giác \(ABC\) là tam giác gì nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau đây?
\(a)\) \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}|\);
\(b)\) Vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}\).

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2AM\)

Lại có \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}| = BC\)

Suy ra \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}| \Leftrightarrow BC = 2AM\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

\(b)\) Vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}\) nên ta có:

\((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). (\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}^2 \ – \ \overrightarrow{AC}^2 = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow AB = AC\)

Vậy vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}\) khi tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

\(\)

Bài \(8\). Tứ giác \(ABCD\) là tứ giác gì nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau đây?
\(a)\) \(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{DB} = k\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow ABCD\) là hình bình hành.

\(b)\) \(\overrightarrow{DB} = k\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DB} \ – \ \overrightarrow{DA} = k\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow BC // CD\)

\(\Rightarrow ABCD\) là hình thang.

\(\)

Bài \(9\). Cho tam giác \(ABC\), trên cạnh \(AB\) lấy hai điểm \(M, N\) sao cho \(AM = MN = NB\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(MNC\) có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Hai vectơ \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{NB}\) cùng phương, ngược chiều và \(MA = NB\) nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}\)

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác của tam giác \(ABC\). Ta có:

\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{GC}\)

\(= \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

Vậy \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).

Vậy hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

\(\)

Bài \(10\). Cho ba điểm \(O, M, N\) và số thực \(k\). Lấy các điểm \(M’\) và \(N’\) sao cho
\(\overrightarrow{OM’} = k\overrightarrow{OM}; \overrightarrow{ON’} = k\overrightarrow{ON}\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{M’N’} = k \overrightarrow{MN}\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{ON’} \ – \ \overrightarrow{OM’} = k\overrightarrow{ON} \ – \ k\overrightarrow{OM}\)

\(= k(\overrightarrow{ON} \ – \ \overrightarrow{OM}) = k\overrightarrow{MN}\)

Vậy \(\overrightarrow{M’N’} = k\overrightarrow{MN}\)

\(\)

Bài \(11\). Cho tam giác \(ABC\), \(O\) là điểm sao cho ba vectơ \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\) có độ dài bằng nhau và \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\). Tính các góc \(\widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COA}\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Lại có: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra tam giác \(ABC\) đều.

\(\Rightarrow AB = BC = CA\)

\(\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \displaystyle \frac{360^o}{3} = 120^o\)

(Góc ở tâm chắn các cung bằng nhau).

\(\)

Bài \(12\). Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q, R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EA\). Chứng minh hai tam giác \(EMP\) và \(NQR\) có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(NQR\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GR} = \overrightarrow{0}\)

Mặt khác \(N, Q, R\) lần lượt là trung điểm của \(BC, DE, AE\) nên ta có:

\(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GN} \Rightarrow \overrightarrow{GN} = \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\)

Tương tự \(\overrightarrow{GQ} = \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GE})\)

\(\overrightarrow{GR} = \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GE})\)

Suy ra \(\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GR} = \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\)

\(+ \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GE}) + \displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GE})\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2} [(\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GE}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD})]\)

\(= \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} = \overrightarrow{0}\)

Suy ra \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(EMP\)

Vậy hai tam giác \(NQR\) và \(EMP\) có cùng trọng tâm.

Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V

Xem bài giải trước: Bài 4 – Tích vô hướng của hai vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Số gần đúng và sai số
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech