Bài 1. Mệnh đề toán học

Bài 1. Mệnh đề toán học trang 5 Sách bài tập Toán lớp 10 tập 1 Cánh Diều.

Bài \(1.\) Cho mệnh đề \(A\): “Nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) là số hữu tỉ” . Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
\(A:\) “Nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) không là số hữu tỉ”;
\(B:\) “Nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) không là số vô tỉ”;
\(C:\) “Phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) vô nghiệm”;
\(D:\) “Nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) không là số nguyên”.

Trả lời:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 5 = 0\) là số hữu tỉ” là mệnh đề “Nghiệm của mệnh đề \(x^2 \ – \ 5 = 0\) không là số hữu tỉ”.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). Cho số tự nhiên \(n\). Xét mệnh đề “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(4\) thì \(n\) chia hết cho \(2\)”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
\(A:\) “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(2\) thì \(n\) không chia hết cho \(4\)”;
\(B:\) “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(4\) thì \(n\) không chia hết cho \(2\)”;
\(C:\) “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(2\) thì \(n\) chia hết cho \(4\)”;
\(D:\) “Nếu số tự nhiên \(n\) không chia hết cho \(2\) thì \(n\) không chia hết cho \(4\)”.

Trả lời:

Gọi \(P\): “Số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(4\)”.

\(Q\): “Số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(2\)”.

Xét mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(4\) thì \(n\) chia hết cho \(2\)”.

Khi đó mệnh đề đảo \(Q \Rightarrow P\) là:

“Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(2\) thì \(n\) chia hết cho \(4\)”.

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(3\). Cho tứ giác \(ABCD\). Xét mệnh đề “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
\(A:\) “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì tứ giác \(ABCD\) không có hai đường chéo bằng nhau”;
\(B:\) “Nếu tứ giác \(ABCD\) không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác \(ABCD\) không là hình chữ nhật”;
\(C:\) “Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác \(ABCD\) không là hình chữ nhật”;
\(D:\) “Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật”.

Trả lời:

Gọi \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật”;

\(Q\): “tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau”.

Khi đó, mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là:

“Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật”.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(4\). Phủ định của mệnh đề \(“\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 < 0\)” là mệnh đề:
\(A:\) “\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 \geq 0\)”;
\(B:\) “\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 < 0\)”;
\(C:\) “\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 > 0\)”;
\(D:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 \geq 0\)”.

Trả lời:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(“\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 < 0″\) là mệnh đề:

“\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 \geq 0″\).

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(5\). Phủ định của mệnh đề \(“\exists x \in \mathbb{Q}, x = \displaystyle \frac{1}{x}\) là mệnh đề:
\(A:\) “\(\exists x \in \mathbb{Q}, x \neq \displaystyle \frac{1}{x}\)”;
\(B:\) “\(\forall x \in \mathbb{Q}, x = \displaystyle \frac{1}{x} \)”;
\(C:\) “\(\forall x \notin \mathbb{Q}, x \neq \displaystyle \frac{1}{x}\)”;
\(D:\) “\(\forall x \in \mathbb{Q}, x \neq \displaystyle \frac{1}{x}\)”.

Trả lời:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(“\exists x \in \mathbb{Q}, x = \displaystyle \frac{1}{x}”\) là mệnh đề:

\(“\forall x \in \mathbb{Q}, x \neq \displaystyle \frac{1}{x}”\).

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(6\). Phủ định của mệnh đề \(“\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\) là mệnh đề:
\(A:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\)”;
\(B:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 > 0\)”;
\(C:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0\)”;
\(D:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0\)”.

Trả lời:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(“\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0″\) là mệnh đề:

\(“\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0″\).

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(7\). Phủ định của mệnh đề \(“\forall x \in \mathbb{R}, |x| \geq x\) là mệnh đề:
\(A:\) “\(\forall x \in \mathbb{R}, |x| < x\)”;
\(B:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, |x| \leq x\)”;
\(C:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, |x| < x\)”;
\(D:\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, |x| > x\)”.

Trả lời:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(“\forall x \in \mathbb{R}, |x| \geq x”\) là mệnh đề:

\(“\exists x \in \mathbb{R}, |x| < x”\).

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(8\). Cho \(x, y\) là hai số thực cùng khác \(\ – \ 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
\(A:\) “\(x + y + xy \neq \ – \ 1\)”;
\(B:\) “\(x + y + xy = \ – \ 1\)”;
\(C:\) “\(x + y \neq \ – \ 2\);
\(D:\) “\( xy \neq \ – \ 1\).

Trả lời:

Ta có: \(x \neq \ – \ 1\) nên \(x + 1\) \neq 0\)

Tương tự \(y + 1 \neq 0\)

Suy ra \((x + 1)(y + 1) \neq 0 \Leftrightarrow x + y + xy \neq \ – \ 1\)

\(\Rightarrow A\) đúng, \(B\) sai.

Với \(x = 0, y = \ – \ 2\) thoả mãn khác \(\ – \ 1\) nhưng \(x + y = \ – \ 2\) nên \(C\) sai.

Với \(x = 2, y = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\) thoả mãn khác \(\ – \ 1\) nhưng \(xy = \ – \ 1\) nên \(D\) sai.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(9\). Cho \(a, b\) là hai số thực thoả mãn \(a + b < 2\). Kết luận nào sau đây là đúng?
\(A.\) Cả hai số \(a, b\) đều nhỏ hơn \(1\);
\(B.\) Có ít nhất một trong hai số \(a, b\) nhỏ hơn \(1\);
\(C.\) Có ít nhất một trong hai số \(a, b\) lớn hơn \(1\);
\(D.\) Cả hai số \(a, b\) không vượt quá \(1\).

Trả lời:

Với \(a = 2 > 1, b = \ – \ 4\) thoả mãn \(a + b < 2\) nên \(A, D\) sai.

Giả sử \(a \leq b \Rightarrow 2a \leq a + b < 2 \Rightarrow a < 1\) hay có ít nhất một trong hai số \(a, b\) nhỏ hơn \(1\). Suy ra \(B\) đúng.

Với \(a = b = 0\) thoả mãn \(a + b < 2\) nên \(C\) sai.

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(10\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
\(a)\) Số \(\pi\) là số vô tỉ;
\(b)\) Bình phương của mọi số thực đều là số dương;
\(c)\) Tồn tại số thực \(x\) mà \(x\) lớn hơn số nghịch đảo của nó;
\(d)\) Fansipan là ngọn núi cao nhất Việt Nam.

Trả lời:

\(a)\) Đây là mệnh đề toán học (Đúng).

\(b)\) Đây là là mệnh đề toán học (Sai).

\(c)\) Đây là mệnh đề toán học (Đúng).

\(d)\) Đây không là mệnh đề toán học vì không liên quan tới sự kiện toán học.

\(\)

Bài \(11\). Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
\(a)\) \(A:\) “Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \ – \ x^2\) là trục tung”;
\(b)\) \(B:\) “Phương trình \(3x^2 + 1 = 0\) có nghiệm”;
\(c)\) \(C:\) “Hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = \ – \ 2x + 1\) không song song với nhau”;
\(d)\) \(D:\) “Số \(2024\) không chia hết cho \(4\)”.

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là \(\overline{A}:\) “Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \ – \ x^2\) không phải là trục tung”.

Do trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \ – \ x^2\) là trục tung nên mệnh đề phủ định \(\overline{A}\) là mệnh đề sai.

\(b)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(B\) là \(\overline{B}:\) “Phương trình \(3x^2 + 1 = 0\) vô nghiệm”.

Xét phương trình \(3x^2 + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 = \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow x^2 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\) Vô lý do \(x^2 \geq 0\) với mọi \(x\).

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy mệnh đề phủ định \(\overline{B}\) là đúng.

\(c)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(C\) là \(\overline{C}:\) “Hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = \ – \ 2x + 1\) song song với nhau.

Ta có: đường thẳng \(y = 2x + 1\) có \(a = 2, b = 1\).

Đường thẳng \(y = \ – \ 2x + 1\) có \(a = \ – \ 2, b = 1\)

Xét \(\displaystyle \frac{2}{\ – \ 2} \neq \displaystyle \frac{1}{1}\) nên hai đường thẳng cắt nhau.

Do đó mệnh đề phủ định \(\overline{C}\) là sai.

\(d)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(D\) là \(\overline{D}:\) “Số \(2024\) chia hết cho \(4\)”.

Ta có: \(\displaystyle \frac{2024}{4} = 506\) nên \(2024\) chia hết cho \(4\).

Vậy mệnh đề phủ định \(\overline{D}\) là đúng.

\(\)

Bài \(12\). Cho mệnh đề kéo theo có dạng \(P \Rightarrow Q\): “Vì \(120\) chia hết cho \(6\) nên \(120\) chia hết cho \(9\)”.
\(a)\) Mệnh đề trên đúng hay sai?
\(b)\) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

Trả lời:

\(a)\) Xét mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\): “Vì \(120\) chia hết cho \(6\) nên \(120\) chia hết cho \(9\)”.

Ta có: \(P:\) “\(120\) chia hết cho \(6\)”; \(Q\): “\(120\) chia hết cho \(9\)”.

Xét mệnh đề \(P\): Có \(120 : 6 = 20\) nên \(120\) chia hết cho \(6\) hay \(P\) đúng.

Mệnh đề \(Q\): Có \(120 : 9 = 13\) dư \(3\) nên \(120\) không chia hết cho \(9\) hay \(Q\) sai.

Suy ra mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề sai.

\(b)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên phát biểu như sau:

\(Q \Rightarrow P:\) “Vì \(120\) chia hết cho \(9\) nên \(120\) chia hết cho \(6\)”.

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề đúng.

\(\)

Bài \(13\). Cho mệnh đề kéo theo có dạng \(P \Rightarrow Q\): “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
\(a)\) Mệnh đề trên đúng hay sai?
\(b)\) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

Trả lời:

\(a)\) Dựa theo tính chất đã được học về hình bình hành:” Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” nên mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.

\(b)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề \(Q \Rightarrow P\):

“Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành”.

Ta có: Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Suy ra mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là đúng.

\(\)

Bài \(14\). Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\). Xét các mệnh đề:
\(P:\) “Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)”,
\(Q:\) “Độ dài đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa độ dài cạnh \(BC\)”.
\(a)\) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.
\(b)\) Nếu cả hai mệnh đề trong ý \(a\) là đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Trả lời:

\(a)\) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là:

“Nếu tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì độ dài đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa độ dài cạnh \(BC\)”.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến thì \(AM = \displaystyle \frac{1}{2} BC\).

Vậy mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.

Phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là:

“Nếu tam giác \(ABC\) có độ dài đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa độ dài cạnh \(BC\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)”.

Xét tam giác \(ABC\) có độ dài đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa độ dài cạnh \(BC\) nên ta có:

\(AM = BM = CM\)

Suy ra tam giác \(ABM\) cân tại \(M\).

\(\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}\) hay \(\widehat{MAB} = \widehat{CBA}\) \((1)\)

Tương tự ta cũng có tam giác \(ACM\) cân tại \(M\).

\(\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}\) hay \(\widehat{MAC} = \widehat{BCA}\) \((2)\)

Mà \(\widehat{MAB} + \widehat{MAC} = \widehat{BAC}\) \((3)\)

Từ \((1), (2), (3) \Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{BCA} + \widehat{CBA}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{BAC} + \widehat{BCA} + \widehat{CBA} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{BCA} + \widehat{CBA} = 90^o\)

Hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Vậy mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là đúng.

\(b)\) Vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng nên phát biểu mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) là:

“Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) tương đương độ dài đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa độ dài cạnh \(BC\).

\(\)

Bài \(15\). Dùng kí hiệu \(\forall\) hoặc \(\exists\) để viết các mệnh đề sau:
\(a)\) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
\(b)\) Có một số thực mà bình phương của nó cộng với \(1\) bằng \(0\);
\(c)\) Mọi số nguyên dương đều lớn hơn nghịch đảo của nó;
\(d)\) Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó.

Trả lời:

\(a)\) “\(\exists x \in \mathbb{Z}, x \text{ không chia hết cho } x\)”.

\(b)\) “\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0\)”.

\(c)\) “\(\forall x \in \mathbb{N^*}, x > \displaystyle \frac{1}{x}\)”.

\(d)\) “\(\forall x \in \mathbb{R}, x > \ – \ x\)”.

\(\)

Bài \(16\). Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó.
\(a)\) \(\forall n \in \mathbb{N}, n(n + 1)\) chia hết cho \(2\);
\(b)\) \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > x\);
\(c)\) \(\exists x \in \mathbb{R}, |x| > x\);
\(d)\) \(\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 \ – \ x \ – \ 1 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề phủ định là:

“\(\exists n \in \mathbb{N}, n(n + 1) \text{ không chia hết cho } 2\)”.

Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định:

Với \(n = 2k (k \in \mathbb{N})\) thì \(n(n + 1) = 2k(2k + 1)\) luôn chia hết cho \(2\).

Với \(n = 2k + 1 (k \in \mathbb{N})\) thì \(n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(k + 1)(2k + 1)\) luôn chia hết cho \(2\).

Suy ra với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(n(n + 1)\) chia hết cho \(2\).

Do đó mệnh đề \(A\) đúng, mệnh đề phủ định \(\overline{A}\) sai.

\(b)\) Mệnh đề phủ định là:

“\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq x\)”.

Xét với \(x = 1\) ta có \(x^2 = 1^2 = x = 1\) nên mệnh đề đã cho là sai.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.

\(c)\) Mệnh đề phủ định là:

“\(\forall x \in \mathbb{R}, |x| \leq x\)”.

Ta luôn có \(\forall x \in \mathbb{R}, |x| \geq x\) nên mệnh đề đã cho là đúng.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.

\(d)\) Mệnh đề phủ định là:

“\(\forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \ – \ x \ – \ 1 \neq 0\)”.

Xét phương trình \(x^2 \ – \ x \ – \ 1 = 0\) có:

\(\Delta = (\ – \ 1)^2 \ – \ 4. 1. (\ – \ 1) = 5 > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x_2 = \displaystyle \frac{1 \ – \ \sqrt{5}}{2}\)

Mà \(x_1, x_2 \notin \mathbb{Q}\)

Vậy không tồn tại số hữu tỉ \(x\) để \(x^2 \ – \ x \ – \ 1 = 0\)

Vậy mệnh đề đã cho là sai, mệnh đề phủ định là đúng.

\(\)

Bài \(17\). Cho phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).
\(a)\) Xét mệnh đề “Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có một nghiệm bằng \(1\)”. Mệnh đề này đúng hay sai?
\(b)\) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Mệnh đề đảo đúng hay sai?
\(c)\) Nêu điều kiện cần và đủ để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có một nghiệm \(x = 1\).

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề “Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có một nghiệm bằng \(1\)” là mệnh đề đúng.

Do \(a + b + c = 0 \Rightarrow a. 1^2 + b. 1 + c = 0\) hay \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).

\(b)\) Phát biểu mệnh đề đảo là:

“Nếu phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có một nghiệm \(x = 1\) thì \(a + b + c = 0\)”.

Dễ thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) nên \(a. 1^2 + b. 1 + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 0\)

Vậy mệnh đề đảo là đúng.

\(c)\) Do mệnh đề đã cho và mệnh đề đảo đều là mệnh đề đúng nên ta có:

Điều kiện cần và đủ để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có một nghiệm bằng \(1\) là \(a + b + c = 0\).

\(\)

Xem bài giải trước:
Xem bài giải tiếp theo:
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech