Bài \(4\). Tích vô hướng của hai vectơ trang \(97\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.
Bài \(1\). Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\).
Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB}\).
Trả lời:
Ta có: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}\)
\(= a. a. \cos{90^o} = 0\)
\(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{CB} = (\ – \ \overrightarrow{CA}). \overrightarrow{CB}\)
\( = \ – \ (\overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}) = \ – \ (|\overrightarrow{CA}|. |\overrightarrow{CB}|. \cos{(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})})\)
\(= \ – \ a. a\sqrt{2}. \cos{45^o} = \ – \ a^2\)
\(\)
Bài \(2\). Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có tâm \(O\) và cho \(AD = 2a, AB = a\). Tính:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AO}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}\).
Trả lời:
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB = CD = a, AD = BC = 2a\)
Có \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow AO = \displaystyle \frac{1}{2} AC = \displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(\cos{BAC} = \cos{BAO} = \displaystyle \frac{AB}{AC} = \displaystyle \frac{a}{a\sqrt{5}} = \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(a)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AO} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AO}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO})}\)
\(= AB. AO. \cos{\widehat{BAO}} = a. \displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5} = \displaystyle \frac{a^2}{2}\)
\(b)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AD}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})}\)
\(= AB. AD. \cos{90^o} = 0\)
\(\)
Bài \(3\). Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\) như Hình \(5\).
\(a)\) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}\).
\(b)\) Tính \(\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN}\) theo \(R\).
Trả lời:
Do \(AB\) là đường kính đường tròn tâm \((O)\) nên ta có \(\widehat{AMB} = \widehat{ANB} = 90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Hay \(AM \perp MB, AN \perp NB\)
\(\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}. (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM})\)
\(= \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{BM}\)
\(= \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{0}\) (Do \(AM \perp BM\) hay \(AI \perp BM\))
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}. (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN})\)
\(= \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{AN}\)
\(= \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}\)
Suy ra \(\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}\)
\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN}\)
\(= \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}\)
\(= \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{AI} \ – \ \overrightarrow{BI})\)
\(= \overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) = \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AB}^2 = 4R^2\).
Vậy \(\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN} = 4R^2\)
\(\)
Bài \(4\). Tính công sinh bởi một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ lớn \(60 N\) kéo một vật dịch chuyển một vectơ \(\overrightarrow{d}\) có độ dài \(200m\). Cho biết \((\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}) = 60^o\).
Trả lời:
Công thức tính công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow{F}\) là:
\(A = \overrightarrow{F}. \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F}|. |\overrightarrow{d}|. \cos{(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d})}\)
\(= 60. 200. \cos{60^o} = 6000 (J)\).
Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\) là \(6000 J\)
\(\)
Bài \(5\). Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là \(6\) và \(8\) và có tích vô hướng là \(24\). Tính góc giữa hai vectơ đó.
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(\Leftrightarrow 24 = 6. 8. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(\Leftrightarrow \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 60^o\)
Vậy góc giữa hai vectơ đó là \(60^o\).
Bài 4. Tích vô hướng của Bài 4. Tích vô hướng của Bài 4. Tích vô hướng của
Xem bài giải trước: Bài 3 – Tích của một số với một vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương V
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.