Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài \(14\). Các số đặc trưng đo độ phân tán trang \(84\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(5.11\). Mỗi khẳng định sau đúng hay sai
\((1)\) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
\((2)\) Khoảng cách biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
\((3)\) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
\((4)\) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
\((5)\) Các số đo độ phân tán đều không âm
.

Trả lời:

Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ phân tán càng nhỏ nên độ lệch chuẩn càng nhỏ. Vậy \((1)\) sai.

\((2)\) đúng

Khoảng tứ phân vị là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất nên \((3)\) sai.

Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của \(5] \%\) số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó \((4)\) sai.

Các số đo độ phân tán bao gồm:

  • Khoảng biến thiên: hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên hiển nhiên không âm.
  • Khoảng tứ phân vị: hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, mà mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm nên cũng không âm.
  • Phương sai và độ lệch chuẩn cũng không âm.

Vậy \((5)\) đúng.

\(\)

Bài \(5.12\). Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu \(A\) và \(B\) như sau:

Không tính toán, hãy cho biết:
\(a)\) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
\(b)\) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Trả lời:

\(a)\) Hai mẫu số liệu cùng có giá trị lớn nhất bằng \(9\) và giá trị nhỏ nhất bằng \(3\) nên hai mẫu số liệu có cùng khoảng biến thiên.

Mẫu số liệu thứ nhất có xu hướng trung tâm là giá trị \(6\)

Mẫu số liệu thứ hai có các giá trị tập trung xung quanh các giá trị \(5,6,7\) nên giá trị trung bình sẽ khoảng bằng \(6\)

Do đó hai mẫu số liệu có cùng giá trị trung bình.

\(b)\) Mẫu số liệu thứ hai có độ phân tán lớn hơn nên có phương sai lớn hơn mẫu số liệu thứ nhất.

\(\)

Bài \(5.13\). Cho mẫu số liệu gồm \(10\) số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
\(a)\) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\).
\(b)\) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\).

Trả lời:

Giả sử ta có \(10\) số dương sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

\(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6; a_7; a_8; a_9; a_{10}\).

Suy ra trung vị là giá trị trung bình của \(a_5\) và \(a_6\).

\(Q_1 = a_3; Q_3 = a_8\)

\(a)\) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\) thì:

  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đều tăng \(2\) lần nên khoảng biến thiên \(R\) tăng \(2\) lần.
  • \(Q_1, Q_3\) tăng \(2\) lần nên khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1\) tăng \(2\) lần.
  • Giá trị trung bình tăng \(2\) lần. Suy ra độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(|a_i \ – \ \overline{a}|\) tăng \(2\) lần.

\(\Rightarrow (a_i \ – \ \overline{a})^2\) tăng \(4\) lần.

\(\Rightarrow\) Phương sai tăng \(4\) lần.

\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn tăng \(2\) lần.

Vậy khoảng biến thiên \(R\) tăng \(2\) lần, khoảng tứ phân vị tăng \(2\) lần và độ lệch chuẩn tăng \(2\) lần khi ta nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\).

\(b)\) Khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\) thì:

  • Số lớn nhất và số nhỏ nhất đều tăng \(2\) đơn vị nên khoảng biến thiên \(R\) không đổi.
  • \(Q_1\) và \(Q_3\) đều tăng \(2\) đơn vị nên khoảng tứ phân vị không đổi.
  • Phương sai không đổi nên độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn không đổi khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\).

\(\)

Bài \(5.14\). Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của \(51\) thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng \(2,5; Q_1 = 36; Q_2 = 60; Q_3 = 100\); giá trị lớn nhất bằng \(205\).
\(a)\) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\) là bao nhiêu?
\(b)\) Chỉ ra hai giá trị sao cho có \(50 \%\) giá trị của mẫu nằm giữa hai giá trị này.
\(c)\) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Trả lời:

\(a)\) Vì \(n = 51\) là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là giá trị thứ \(26\) của mẫu số liệu khi đã sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Nửa trái của trung vị là mẫu số liệu gồm \(25\) giá trị là số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ \(13\) bằng \(36\)

Do mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm nên có \(38\) thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\).

Suy ra tỉ lệ các thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\) là:

\(\displaystyle \frac{38}{51} = 74,51 \%\).

\(b)\) Ta có \(Q_1\) là giá trị thứ \(13\)

\(Q_3\) là giá trị thứ \(39\)

Giữa hai giá trị này có tất cả:

\((39 \ – \ 13) : 1 + 1 = 27\) giá trị tương ứng với \(\displaystyle \frac{27}{51} = 53\%\)

Vậy giữa hai giá trị \(Q_1 = 36\) và \(Q_3 = 100\) có \(50\%\) giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

\(c)\) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 100 \ – \ 36 = 64\).

\(\)

Bài \(5.15\). Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của \(10\) trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
\(2,977\) \(\) \(3,155\) \(\) \(3,920\) \(\) \(3,412\) \(\) \(4,236\)
\(2,593\) \(\) \(3,270\) \(\) \(3,813\) \(\) \(4,042\) \(\) \(3,387\).
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Trả lời:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\(2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387; 3,412; 3,813;\) \(3,920; 4,042; 4,236\).

Giá trị lớn nhất là \(4,236\)

Giá trị nhỏ nhất là \(2,593\)

Khoảng biến thiên \(R = 4,236 \ – \ 2,593 = 1,643\)

Vì \(n = 10\) là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa và bằng:

\(Q_2 = \displaystyle \frac{3,387 + 3,412}{2} = 3,3995\)

Nửa số liệu bên trái gồm \(5\) số liệu nên tứ phân vị thứ nhất là \(Q_1 = 3,155\)

Nửa số liệu bên phải gồm \(5\) số liệu nên tứ phân vị thứ ba là \(Q_3 = 3,920\).

Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 3,920 \ – \ 3,155 = 0,765\)

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236}{10}\)

\(= 3,4805\)

Khi đó phương sai là:

\(s^2 = \displaystyle \frac{(2,593 \ – \ 3,4805)^2 + (2,977 \ – \ 3,4805)^2 + … + (4,042 \ – \ 3,4805)^2 + (4,236 \ – \ 3,4805)^2}{10}\)

\(\approx 0,24\)

Suy ra độ lệch chuẩn là:

\(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,24} \approx 0,49\)

Vậy khoảng biến thiên \(R = 1,643\), khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = 0,765\), độ lệch chuẩn \(s \approx 0,49\)

\(\)

Bài \(5.16\). Tỉ lệ thất nghiệp ở một quốc gia vào năm \(2007\) (đơn vị \(\%\) được cho như sau:

\(7,8\) \(\) \(3,2\) \(\) \(7,7\) \(\) \(8,7\) \(\) \(8,6\) \(\) \(8,4\) \(\) \(7,2\) \(\) \(3,6\).

\(5,0\) \(\) \(4,4\) \(\) \(6,7\) \(\) \(7,0\) \(\) \(4,5\) \(\) \(6,0\) \(\) \(5,4\).

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Trả lời:

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\(3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0; 6,7; 7,0; 7,2; 7,7; \)

\(7,8; 8,4; 8,6; 8,7\).

Vì \(n = 15\) là số lẻ nên số trung vị là giá trị chính giữa và bằng \(6,7\).

Nửa số liệu bên trái có \(7\) giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là \(Q_1 = 4,5\)

Nửa số liệu bên phải có \(7\) giá trị nên tứ phân vị thứ ba là \(Q_3 = 7,8\)

Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 7,8 \ – \ 4,5 = 3,3\)

Ta có: \(Q_1 \ – \ 1,5\Delta_Q = 4,5 \ – \ 1,5. 3,3 = \ – \ 0,45\)

\(Q_3 + 1,5\Delta_Q = 7,8 + 1,5. 3,3 = 12,75\)

Ta thấy trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.

Vậy mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Xem bài giải tiếp theo:
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:

Website: https://bumbii.com/

Diễn đàn hỏi đáp: https://hoidap.bumbii.com

Facebook: https://www.facebook.com/bumbiitech

Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x