Bài tập cuối chương VII trang 119 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Cho tam giác ABC có: \(\widehat{A} =42^o,\ \widehat{B} =37^o.\)
a) Tính \(\widehat{C}.\)
b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.
Giải
a) Do\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (tổng ba góc trong một tam giác)
nên \(42^o+36^o+\widehat{C}=180^o\)
Suy ra \(\widehat{C}=180^o-42^o-37^o=101^o.\)
b) Ta có \(\widehat{B} < \widehat{A} < \widehat{C}\) nên \(AC<BC<AB.\)
\(\)
2. Tìm các số đo x, y trong Hình 140.
Giải
Vì OA = AB = BO nên \(∆ABO\) đều.
Do đó \(\widehat{AOB}=60^o\) hay \(x = 60^o.\)
Vì OA = OC nên \(∆OAC\) cân tại O suy ra \(\widehat{OCA} =\widehat{OAC}\).
Ta có \(\widehat{AOB}\) là góc ngoài tại đỉnh O của \(∆OAC\) nên \(\widehat{AOB} =\widehat{OCA}+\widehat{OAC}.\)
hay \(x = 2y.\)
Do đó \(y = 30^o.\)
\(\)
3. Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?
Giải
Trong tam giác ABC: AB < AC + CB (bất đẳng thức tam giác).
Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.
\(\)
4. Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.
Giải
Xét hai tam giác ABC và MNP có:
AB = MN (giả thiết).
BC = NP (giả thiết).
CA = PM (giả thiết).
Do đó \(∆ABC = ∆MNP\) (c.c.c).
Suy ra \(\widehat{ACB} =\widehat{MPN}.\)
Do I, K lần lượt là trung điểm của BC, NP mà BC = NP nên CI = PK.
Xét hai tam giác ACI và MPK có:
AC = MP (giả thiết);
\(\widehat{ACI} =\widehat{MPK}\) (chứng minh trên);
CI = PK (chứng minh trên).
Do đó \(∆ACI = ∆MPK\) (c.g.c).
Suy ra AI = MK (hai cạnh tương ứng).
\(\)
5. Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Giải
a) Xét hai tam giác AOM và BON có:
AO = BO (giả thiết);
\(\widehat{AOM} =\widehat{BON}\) (hai góc đối đỉnh);
OM = ON (giả thiết).
Do đó \(∆AOM = ∆BON\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{AMO} =\widehat{BNO}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN.
b) Vì AM // BN nên \(\widehat{MAO} =\widehat{NBO}\) (hai góc so le trong);
Xét hai tam giác AOM và BON có:
\(\widehat{MAO} =\widehat{NBO}\) (chứng minh trên);
AO = BO (giả thiết).
\(\widehat{AOM} =\widehat{BON}\) (hai góc đối đỉnh).
Do đó \(∆AOM = ∆BON\) (g.c.g).
Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).
\(\)
6. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{ABC} =70^o.\) Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.
b) Chứng minh BD = CE.
c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.
Giải
a) Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB} =70^o.\)
Trong tam giác ABC: \(\widehat{BAC}=180^o-\widehat{ABC} -\widehat{ACB}\) \(= 180^o-70^o-70^o = 40^o.\)
b) Xét hai tam giác vuông ADB và AEC có:
AB = AC (\(∆ABC\) cân tại A);
\(\widehat{A}\) là góc chung.
Do đó \(∆ADB = ∆AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).
c) Do \(∆ADB = ∆AEC\) nên AD = AE (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông AEH và ADH có:
AE = AD (chứng minh trên);
AH là cạnh chung.
Do đó \(∆AEH = ∆ADH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{HAE} =\widehat{HAD}\) (hai góc tương ứng).
Do đó AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
\(\)
7. Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.
Giải
Hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(∆ABC.\)
Suy ra AI ⊥ BC.
Hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K nên K là trực tâm của \(∆ECD.\)
Suy ra EK ⊥ CD.
Do B, C, D thẳng hàng nên AI ⊥ BC suy ra AI ⊥ BD.
EK ⊥ CD nên EK ⊥ BD.
Do đó AI // EK.
\(\)
8. Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).
Chứng minh:
a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;
b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.
Giải
a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của \(∆ABC\) nên OA = OB = OC.
Xét hai tam giác vuông OMA và OMB có:
OM là cạnh chung.
OA = OB (chứng minh trên).
Do đó \(∆OMA = ∆OMB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{OMA} =\widehat{OMB}\) (hai góc tương ứng).
Vậy MO là tia phân giác của \(\widehat{BMA}\) hay MO là tia phân giác của \(\widehat{NMP}.\)
b) Thực hiện nối OP.
Xét hai tam giác vuông OPA và OPC có:
OP là cạnh chung.
OA = OC (chứng minh trên).
Do đó \(∆OPA = ∆OPC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{OPA} =\widehat{OPC}\) (hai góc tương ứng).
Do đó PO là tia phân giác của \(\widehat{CPA}\) hay PO là tia phân giác của \(\widehat{NPM}.\)
Trong \(∆NMP\) có O là giao điểm hai đường phân giác của góc M và góc P.
Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên O là giao điểm ba đường phân giác của \(∆MNP.\)
\(\)
9. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Giải
a) Vẽ đường trung tuyến AM của \(∆ABC.\) Suy ra G thuộc đường thẳng AM.
Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có:
AM là cạnh chung;
AB = AC (\(∆ABC\) cân tại A);
MB = MC (M là trung điểm của BC).
Suy ra \(∆ABM = ∆ACM\) (c.c.c).
Do đó \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) và \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^o\) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^o\) nên \(AM ⊥ BC.\)
Hay AM là đường cao của \(∆ABC\) và H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết).
Suy ra điểm H thuộc đường thẳng AM.
Do \(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}\) nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
Mà I là giao điểm của ba đường phân giác suy ra điểm I thuộc đường thẳng AM.
Do AB = AC và MB = MC nên AM là đường trung trực của cạnh BC. Suy ra điểm O thuộc đường thẳng AM.
Như vậy, các điểm G, H, I, O thuộc đường thẳng AM hay các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác
Vẽ đường cao AM của tam giác ABC. Do các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng nên AM là đường phân giác của tam giác ABC.
Xét hai tam giác vuông ABM và ACM, ta có:
AM là cạnh chung;
\(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}\) (vì AM là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\)).
Suy ra ∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn).
Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy tam giác ABC là tam giác cân.
\(\)
10. Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.
Giải
Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.
Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.
Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại D.
\(\)
11. Cho tam giác MNP có \(\widehat{M}=40^o,\ \widehat{N}=70^o.\) Khi đó \(\widehat{P}\) bằng:
A. \(10^o.\)
B. \(55^o.\)
C. \(70^o.\)
D. \(110^o.\)
Giải
\(\widehat{P}=180^o-\widehat{M}-\widehat{N}=180^o-40^o-70^o=70^o.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
12. Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?
A. Góc HPN.
B. Góc NMP.
C. Góc MPN.
D. Góc NHP.
Giải
Gọi A, B lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến MN, NP.
Xét tam giác MAH vuông tại A: \(\widehat{HMA}+\widehat{MHA}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{HMA}=90^o-\widehat{MHA}.\)
Xét tam giác PBH vuông tại B: \(\widehat{HPB}+\widehat{PHB}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{HPB}=90^o-\widehat{PHB}.\)
Mà \(\widehat{MHA}=\widehat{PHB}\) nên \(\widehat{HMA}=\widehat{HPB}\) hay \(\widehat{HMN}=\widehat{HPN}.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
13. Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Giải
Xét MNP có: NP – MN < MP < NP + MN (bất đẳng thức tam giác)
Hay 2 – 1 < x < 2 + 1
Do đó: 1 < x < 3.
Mà x ∈ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.
Vậy x = 2.
Chọn đáp án B.
\(\)
14. Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số \(\displaystyle\frac{MG}{MI}\) bằng
A. \(\displaystyle\frac{3}{4}.\)
B. \(\displaystyle\frac{1}{2}.\)
C. \(\displaystyle\frac{2}{3}.\)
D. \(\displaystyle\frac{1}{3}.\)
Giải
Vì G là trọng tâm của tam giác MNP nên \(\displaystyle\frac{MG}{MI}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
