Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Chương 7 – Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác trang 118 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;

b) BH và CA;

c) CH và AB.

Giải

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.

\(\)

2. Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Giải

a) Tam giác ABC nhọn:

Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.

b) Tam giác ABC vuông tại A:

Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Tam giác ABC có góc A tù:

Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.

\(\)

3. Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Giải

Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC ⊥ AB.

\(\)

4. Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, \(\widehat{HCA} = 25^o.\) Tính \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{HBA}.\)

Giải

Xét \(∆AFC\) vuông tại F: \(\widehat{FCA} + \widehat{FAC} = 90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).

Suy ra \(\widehat{FAC} = 90^o – \widehat{FCA} = 90^o – 25^o = 65^o\) hay \(\widehat{BAC} = 65^o.\)

Xét \(∆BEA\) vuông tại E: \(\widehat{EBA} + \widehat{EAB} = 90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).

Suy ra \(\widehat{EBA} = 90^o – \widehat{EAB} = 90^o – 65^o = 25^o\) hay \(\widehat{HBA} = 25^o.\)

\(\)

5. Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Giải

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.

Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.

Do AB // CD nên AK ⊥ AB.

Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.

Do AD // BC nên AH ⊥ AD.

Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.

\(\)

6. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAC}\)

Do M là trung điểm của BC nên BM = CM.

Xét hai tam giác AMB và AMC có:

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat{ABM} = \widehat{ACM}\) (chứng minh trên);

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó \(∆AMB = ∆AMC\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng) và \(\widehat{MAB} = \widehat{MAC}\) (hai góc tương ứng).