Chương 7 – Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác trang 118 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:
a) AH và BC;
b) BH và CA;
c) CH và AB.
Giải
a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.
c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.
\(\)
2. Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Giải
a) Tam giác ABC nhọn:
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-785.png)
Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.
b) Tam giác ABC vuông tại A:
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-786.png)
Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.
Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó A trùng H.
c) Tam giác ABC có góc A tù:
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-787.png)
Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.
\(\)
3. Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.
Giải
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-788.png)
Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.
Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó DC ⊥ AB.
\(\)
4. Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, \(\widehat{HCA} = 25^o.\) Tính \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{HBA}.\)
Giải
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-789.png)
Xét \(∆AFC\) vuông tại F: \(\widehat{FCA} + \widehat{FAC} = 90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{FAC} = 90^o – \widehat{FCA} = 90^o – 25^o = 65^o\) hay \(\widehat{BAC} = 65^o.\)
Xét \(∆BEA\) vuông tại E: \(\widehat{EBA} + \widehat{EAB} = 90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{EBA} = 90^o – \widehat{EAB} = 90^o – 65^o = 25^o\) hay \(\widehat{HBA} = 25^o.\)
\(\)
5. Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2023/05/image-790.png)
Giải
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.
Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.
Do AB // CD nên AK ⊥ AB.
Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.
Do AD // BC nên AH ⊥ AD.
Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.
\(\)
6. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;
b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Giải
a)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAC}\)
Do M là trung điểm của BC nên BM = CM.
Xét hai tam giác AMB và AMC có:
AB = AC (chứng minh trên);
\(\widehat{ABM} = \widehat{ACM}\) (chứng minh trên);
BM = CM (chứng minh trên).
Do đó \(∆AMB = ∆AMC\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng) và \(\widehat{MAB} = \widehat{MAC}\) (hai góc tương ứng).
Do \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) mà \(\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^o\) nên \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^o.\)
Khi đó AM vuông góc với BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lại có \(\widehat{MAB} = \widehat{MAC}\) nên AM là đường phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương 7
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/10/hadd.png)