Bài tập cuối chương III

Bài tập cuối chương \(III\) trang \(60\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{x^2 \ – \ x}\);
\(b)\) \(y = \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 3}\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 1}}\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{x^2 \ – \ x}\) có nghĩa khi \(x^2 \ – \ x \neq 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x \neq 0\\x \neq 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \{x \in \mathbb{R}|x \neq 0, x \neq 1\} = \mathbb{R} \ – \ \{0; 1\}\)

\(b)\) Hàm số \(y = \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 3}\) xác định khi \(x^2 \ – \ 4x + 3 \geq 0\)

Xét tam thức bậc hai \(x^2 \ – \ 4x + 3\) có hệ số \(a = 1, b = \ – \ 4, c = 3, \Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. 1. 3 = 4 > 0\)

Khi đó tam thức \(x^2 \ – \ 4x + 3\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1, x_2 = 3\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta thấy \(x^2 \ – \ 4x + 3\) không âm khi \(x \leq 1\) hoặc \(x \geq 3\)

Do đó nghiệm của bất phương trình là \(x \leq 1\) và \(x \geq 3\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = (\ – \ \infty; 1] \cup [3; +\infty)\)

\(c)\) Hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 1}}\) xác định khi \(x \ – \ 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow x > 1\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = (1; + \infty)\)

\(\)

Bài \(2\). Đồ thị ở Hình \(36\) cho thấy sự phụ thuộc của lượng hàng hóa được sản xuất (cung) (đơn vị: sản phẩm) bởi giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) đối với một loại hàng hóa.
\(a)\) Xác định lượng hàng hóa được sản xuất khi mức giá bán một sản phẩm là \(2\) triệu đồng, \(4\) triệu đồng.
\(b)\) Biết nhu cầu thị trường đang cần là \(600\) sản phẩm. Hỏi với mức giá bán là bao nhiêu thì thị trường cân bằng (thị trường cân bằng khi sản lượng cung bằng sản lượng cầu).

Trả lời:

Hoàn thiện đồ thị Hình \(36\) ta được:

\(a)\) Quan sát đồ thị ta thấy lượng hàng hoá được sản xuất khi mức giá bán \(1\) sản phẩm là \(2\) triệu đồng, \(4\) triệu đồng lần lượt là \(300\) sản phẩm và \(900\) sản phẩm.

\(b)\) Nhu cầu thị trường đang cần là \(600\) sản phẩm thì để thị trường cần bằng tức lượng cung hàng hoá tương ứng là \(600\) sản phẩm, khi đó mức giá bán là \(3\) triệu đồng/ sản phẩm.

\(\)

Bài \(3\). Một nhà cung cấp dịch vị Internet đưa ra hai gói khuyến mại cho người dùng như sau:
Gói \(A\): Giá cước \(190000\) đồng/tháng.
Nếu trả tiền cước ngay \(6\) tháng thì sẽ được tặng thêm một tháng.
Nếu trả tiền cước ngay \(12\) tháng thì sẽ được tặng thêm hai tháng.
Gói \(B\): Giá cước \(189000\) đồng/tháng.
Nếu trả tiền cước ngay \(7\) tháng thì số tiền phải trả cho \(7\) tháng đó là \(1134000\) đồng.
Nếu trả tiền cước ngay \(15\) tháng thì số tiền phải trả cho \(15\) tháng đó là \(2268000\) đồng.
Giả sử số tháng sử dụng Internet là \(x\) (\(x\) nguyên dương).
\(a)\) Hãy lập các hàm số thể hiện số tiền phải trả ít nhất theo mỗi gói \(A, B\) nếu thời gian dùng không quá \(15\) tháng.
\(b)\) Nếu gia đình bạn Minh dùng \(15\) tháng thì nên chọn gói nào?

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(x\) là số tháng sử dụng Internet (\(x\) nguyên dương, \(x \leq 15\)

Gọi \(y\) (đồng, \(y \geq 0\)) là số tiền phải trả khi dùng Internet.

Theo gói \(A\) ta có:

Nếu \(x \leq 6: y = 190000x\)

Nếu \(6 < x \leq 13: y = 190000. (x \ – \ 1)\)

Nếu \(13 < x \leq 15: y = 190000. (x \ – \ 2)\)

Ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói \(A\) là:

\(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}190000x \text{ khi } x \leq 6\\190000. (x \ – \ 1) \text{ khi } 6 < x \leq 13\\190000.(x \ – \ 2) \text{ khi } 13 < x \leq 15 \end{array} \right.\end{equation}\)

Theo gói \(B\) ta có:

Nếu \(x < 7: y = 189000x\)

Nếu \(x = 7: y = 11134000\)

Nếu \(7 < x < 13: y = 1134000 + (x \ – \ 7). 189000\)

Nếu \(13 \leq x \leq 15: y = 2268000\)

Ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói \(B\) là:

\(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}189000x \text{ khi } x < 7\\1134000 \text{ khi } x = 7\\1134000 + (x \ – \ 7). 189000 \text{ khi } 7 < x < 13\\2268000 \text{ khi } 13 \leq x \leq 15 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(b)\) Theo gói \(A\), khi gia đình bạn Minh dùng \(15\) tháng thì số tiền Internet phải trả là:

\(190000. (15 \ – \ 2) = 2470000\) (đồng)

Theo gói \(B\), số tiền Internet phải trả khi gia đình bạn Minh dùng \(15\) tháng là: \(2268000\) đồng

Do \(2268000 < 2470000\)

Vậy nếu dùng \(15\) tháng thì gia đình bạn Minh nên chọn gói cước \(B\)

\(\)

Bài \(4\). Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) ở mỗi Hình \(37a, 37b\) và nêu:
\(a)\) Dấu của hệ số \(a\);
\(b)\) Tọa độ đỉnh và trục đối xứng;
\(c)\) Khoảng đồng biến;
\(d)\) Khoảng nghịch biến;
\(e)\) Khoảng giá trị \(x\) mà \(y > 0\);
\(g)\) Khoảng giá trị \(x\) mà \(y \leq 0\).

Trả lời:

Quan sát đồ thị Hình \(37a)\) ta thấy:

\(a)\) Bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên hệ số \(a\) mang dấu \(“+”\).

\(b)\) Toạ độ đỉnh \(I(1; \ – \ 1)\) , trục đối xứng \(x = 1\).

\(c)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty)\).

\(d)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\).

\(e)\) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với các khoảng \((\ – \ \infty; 0)\) và \((2; +\infty)\) nên hàm số \(y > 0\) trên các khoảng giá trị của \(x\) là \((\ – \ \infty; 0) \cup (2; +\infty)\).

\(g)\) Phần parabol nằm phía dưới trục hoành tương ứng với khoảng \((0; 2)\)

Vậy khoảng giá trị của \(x\) mà \(y \leq 0\) là \([0; 2]\)

Quan sát đồ thị Hình \(37b)\) ta thấy:

\(a)\) Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên hệ số \(a\) mang dấu \(“-“\).

\(b)\) Toạ độ đỉnh \(I(1; 4)\) , trục đối xứng \(x = 1\).

\(c)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\).

\(d)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1; +\infty)\).

\(e)\) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với khoảng \((\ – \ 2; 3)\) nên khoảng giá trị của \(x\) để \(y > 0\) là \((\ – \ 1; 3)\)

\(g)\) Phần parabol nằm phía dưới trục hoành tương ứng với các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và \((3; +\infty)\) nên khoảng giá trị của \(x\) để \(y \leq 0\) là \((\ – \ \infty; \ – \ 1] \cup [3; +\infty)\).

\(\)

Bài \(5\). Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\);
\(b)\) \(y = x^2 + 2x + 1\);
\(c)\) \(y = \ – \ x^2 + 2x \ – \ 2\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\)

Ta có hệ số \(x = 1 > 0,b = \ – \ 3, c = \ – \ 4,\)

\( \Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 1. (\ – \ 4) = 25 > 0\)

\(+)\) Parabol có bề lõm hướng lên trên.

\(+)\) Toạ độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{3}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{25}{4}\right)\).

\(+)\) Trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).

\(+)\) Giao của parabol với trục tung là \(A(0; \ – \ 4)\).

\(+)\) Giao của parabol với trục hoành \(B(\ – \ 1; 0)\) và \(C(4; 0)\).

\(+)\) Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(D(3; \ – \ 4)\).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số \(y = x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\) như hình dưới.

\(b)\) \(y = x^2 + 2x + 1\)

Ta có hệ số \(a = 1 > 0, b = 2, c = 1\),

\(\Delta = 2^2 \ – \ 4. 1. 1 = 0\)

\(+)\) Parabol có bề lõm hướng lên trên.

\(+)\) Toạ độ đỉnh \(I(\ – \ 1; 0)\).

\(+)\) Trục đối xứng \(x = \ – \ 1\).

\(+)\) Giao của parabol với trục tung là \(A(0; 1)\).

\(+)\) Giao của parabol với trục hoành là \(I(\ – \ 1; 0)\).

\(+)\) Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(B(\ – \ 2; 1)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số \(y = x^2 + 2x + 1\) như hình dưới.

\(c)\) \(y = \ – \ x^2 + 2x \ – \ 2\)

Ta có hệ số \(a = \ – \ 1 < 0, b = 2, c = \ – \ 2\),

\(\Delta = 2^2 \ – \ 4. (\ – \ 1). (\ – \ 2) = \ – \ 4\)

\(+)\) Parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

\(+)\) Toạ độ đỉnh \(I(1; \ – \ 1)\).

\(+)\) Trục đối xứng \(x = 1\).

\(+)\) Giao của parabol với trục tung là \(A(0; \ – \ 2)\).

Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(B(2; \ – \ 2)\)

\(+)\) Parabol không cắt trục hoành

\(+)\) Lấy điểm \(C(3; \ – \ 5)\) thuộc đồ thị hàm số. Điểm \(D\) đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng nên có toạ độ \(D(\ – \ 1; \ – \ 5)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số \(y = \ – \ x^2 + 2x \ – \ 2\) như hình dưới.

\(\)

Bài \(6\). Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
\(a)\) \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 1\);
\(b)\) \(f(x) = x^2 \ – \ x \ – \ 12\);
\(c)\) \(f(x) = 16x^2 + 24x + 9\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 1\) có hệ số \(a = \ – \ 3 < 0, b = 4, c = \ – \ 1\) và \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). (\ – \ 1) = 4 > 0\)

Do đó tam thức \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}; x_2 = 1\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 16x^2 + 24x + 9\) có hệ số \(a = 16> 0, b = 24, c = 9\) và \(\Delta =24^2 \ – \ 4. 16. 9 = 0\)

Do đó tam thức \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = \ – \ \displaystyle \frac{3}{4}\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

\(c)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 1\) có hệ số \(a = \ – \ 3 < 0, b = 4, c = \ – \ 1\) và \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). (\ – \ 1) = 4 > 0\)

Do đó tam thức \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}; x_2 = 1\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

\(\)

Bài \(7\). Giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(2x^2 + 3x + 1 \geq 0\);
\(b)\) \(\ – \ 3x^2 + x + 1 > 0\);
\(c)\) \(4x^2 + 4x + 1 \geq 0\);
\(d)\) \(\ – \ 16x^2 + 8x \ – \ 1 < 0\);
\(e)\) \(2x^2 + x + 3 < 0\);
\(g)\) \(\ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 5 < 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(2x^2 + 3x + 1 \geq 0\)

Tam thức bậc hai \(2x^2 + 3x + 1\) có \(\Delta = 3^2 \ – \ 4. 2. 1 = 1 > 0\) nên tam thức có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 1; x_2 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức không âm là \((\ – \ \infty; \ – \ 1] \cup \left[\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; +\infty\right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((\ – \ \infty; \ – \ 1] \cup \left[\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; +\infty\right)\)

\(b)\) \(\ – \ 3x^2 + x + 1 \geq 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ 3x^2 + x + 1\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). 1 = 13 > 0\) nên tam thức có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1 \ – \ \sqrt{13}}{6}; x_2 =\displaystyle \frac{1 + \sqrt{13}}{6}\) và hệ số \(a = – \ 3 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức mang dấu \(“+”\) là \(\left(\displaystyle \frac{1 \ – \ \sqrt{13}}{6}; \displaystyle \frac{1 + \sqrt{13}}{6}\right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(\displaystyle \frac{1 \ – \ \sqrt{13}}{6}; \displaystyle \frac{1 + \sqrt{13}}{6}\right)\).

\(c)\) \(4x^2 + 4x + 1 \geq 0\)

Tam thức bậc hai \(4x^2 + 4x + 1\) có \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. 4. 1 = 0\) nên tam thức có nghiệm kép là \(x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 4 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy \(4x^2 + 4x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right\}\) và \(4x^2 + 4x + 1 = 0\) tại \(x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\mathbb{R}\).

\(d)\) \(\ – \ 16x^2 + 8x \ – \ 1 < 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ 16x^2 + 8x \ – \ 1\) có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. (\ – \ 16). (\ – \ 1) = 0\) nên tam thức có nghiệm kép là \(x = \displaystyle \frac{1}{4}\) và hệ số \(a = \ – \ 16 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy \(4x^2 + 4x + 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{1}{4}\right\}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{1}{4}\right\}\).

\(e)\) \(2x^2 + x + 3 < 0\)

Tam thức bậc hai \(2x^2 + x + 3\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. 2. 3 = \ – \ 23 < 0\) và hệ số \(a = 2 > 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy \(2x^2 + x + 3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

\(g)\) \(\ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 5 < 0\)

Tam thức bậc hai \(\ – \ 3x^2 + 4x \ – \ 5\) có \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). (\ – \ 5) = \ – \ 44 < 0\) và hệ số \(a = \ – \ 3 < 0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy \(2x^2 + x + 3 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(8\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{x + 2} = x\);
\(b)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 2} = \sqrt{x^2 + x + 6}\);
\(c)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 1} = x + 3\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{x + 2} = x\) \((1)\)

Điều kiện \(x \geq 0\)

Bình phương hai vế của \((1)\) ta được:

\(x + 2 = x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ x \ – \ 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 1\\x = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta thấy nghiệm \(x = 2\) thoả mãn \(x \geq 0\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).

\(b)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 2} = \sqrt{x^2 + x + 6}\) \((2)\)

Bình phương hai vế của \((2)\) ta được:

\(2x^2 + 3x \ – \ 2 = x^2 + x + 6\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 2x \ – \ 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 4\\x = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

Thử cả hai giá trị của \(x\) vừa tìm được vào phương trình \((2)\) ta thấy đều thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \ – \ 4\) và \(x = 2\).

\(c)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 1} = x + 3\) \((3)\)

Ta giải bất phương trình \(x + 3 > 0\) \(\Leftrightarrow x > \ – \ 3\)

Bình phương hai vế của \((3)\) ta được:

\(2x^2 + 3x \ – \ 1 = (x + 3)^2\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 + 3x \ – \ 1 = x^2 + 6x + 9\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 3x \ – \ 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 2\\x = 5 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta thấy cả hai giá trị \(x\) vừa tìm được đều thoả mãn \(x > \ – \ 3\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \ – \ 2\) và \(x = 5\)

\(\)

Bài \(9\). Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí \(A\) đến vị trí \(S\) và từ vị trí \(S\) đến vị trí \(C\) trên cù lao như Hình \(38\). Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ \(A\) đến \(S\) và từ \(S\) đến \(C\) lần lượt là \(3\) triệu đồng và \(5\) triệu đồng. Biết tổng số tiền công là \(16\) triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.