Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Chương 8 – Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 75 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

\(1.\) Quan sát Hình \(8\). Thay \(\fbox{?}\) bằng số thích hợp.

\(EG = \fbox{?}\ EM;\hspace{2cm} GM = \fbox{?}\ EM;\)

\(GM = \fbox{?}\ EG; \hspace{2cm} FG = \fbox{?}\ GN;\)

\(FN = \fbox{?}\ GN;\hspace{2cm} FN = \fbox{?}\ FG.\)

Giải

Ta có G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH do đó G là trọng tâm của tam giác EFH nên:

\(EG = \displaystyle\frac{2}{3} EM;\hspace{2cm} GM = \displaystyle\frac{1}{3} EM;\)

\(GM = \displaystyle\frac{1}{2} EG; \hspace{2cm} FG = 2 GN;\)

\(FN = 3 GN;\hspace{2cm} FN = \displaystyle\frac{3}{2} FG.\)

\(\)

\(2.\) Quan sát Hình \(9\).

a) Biết AM = \(15\) cm, tính AG.

b) Biết GN = \(6\) cm, tính CN.

Giải

a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó \(AG = \displaystyle\frac{2}{3}.AM = \displaystyle\frac{2}{3}\ .\ 15 = 10\) cm.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(GN = \displaystyle\frac{1}{3}CN\).

Do đó \(CN = 3GN = 3\ .\ 6 = 18\) cm.

\(\)

\(3.\) Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Giải

a) Do AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên M là trung điểm của BC.

=> BM = CM.

Xét \(\Delta BMG\) và \(\Delta CME\) có:

BM = CM (chứng minh trên).

\(\widehat{BMG} =\widehat{CME}\) (đối đỉnh).

MG = ME (giả thiết).

Do đó \(\Delta BMG=\Delta CME\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{BGM} =\widehat{CEM}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Do G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GM\).

Lại có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên \(GE = GM + ME = 2GM\).

Suy ra AG = GE.

Do đó G là trung điểm của AE.

Tam giác ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của tam giác ABE.

Do đó AF = 2FI.

\(4.\) Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Giải

a) N là trung điểm của AB => AN = NB = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) AB

M là trung điểm của AC => AM = MC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) AC

=> AN = AM

Xét \(\Delta ANC\) và \(\Delta AMB\) ta có:

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}\) là góc chung

AN = AM

=> \(\Delta ANC=\Delta AMB\) (c.g.c).

=> NC = MB (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AI đi qua trung điểm của BC.

Mà AI cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

\(\)

\(5.\) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC (G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN).

\(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BM,\ GM = \displaystyle\frac{1}{3}BM,\ CG = \displaystyle\frac{2}{3}CN,\ GN = \displaystyle\frac{1}{3}CN\).

Mà BM = CN nên BG = CG, GM = GN.

Xét \(\Delta BGN\) và \(\Delta CGM\) có:

GM = GN (chứng minh trên).

\(\widehat{NIB} =\widehat{MIC}\) (đối đỉnh).

BG = CG (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta BGN=\Delta CGM\) (c.g.c).

Suy ra BN = CM.

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Suy ra BN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB, CM = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC.

Do đó AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

\(\)

\(6.\) Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình \(10\)). Biết BE = \(9\) cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.

Giải

D là trung điểm của AB => AD = DB = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) AB.

E là trung điểm của AC => AE = EC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) AC.

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta CBE\) ta có:

\(\widehat{DBC}  = \widehat{ECB}\)  (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BC là cạnh chung

DB = EC (chứng minh trên)

=> \(\Delta BCD=\Delta CBE\) (c.g.c).

Suy ra CD = BE = \(9\) cm.

F là trọng tâm tam giác ABC, suy ra DF = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)CD = \(3\) cm.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Chân Trời Sáng Tạo.

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x