Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Chương 8 – Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác trang 69 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Giải

Xét tam giác ABC:

– Có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\displaystyle\frac{BD}{CD}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{BD}{CD}=\displaystyle\frac{4}{6}=\displaystyle\frac{2}{3} ⇒CD=\displaystyle\frac{3}{2}BD\)

Mà \(BD+CD=BC\) \(⇒BD+\displaystyle\frac{3}{2}BD=5⇒BD=2.\)

– Có BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\displaystyle\frac{CE}{AE}=\displaystyle\frac{BC}{AB}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{CE}{AE}=\displaystyle\frac{5}{4} ⇒AE=\displaystyle\frac{4}{5}CE\)

Mà \(AE+EC=AC\) \(⇒\displaystyle\frac{4}{5}CE+CE=6⇒CE=\displaystyle\frac{10}{3}.\)

– Có CF là đường phân giác của góc ACB nên \(\displaystyle\frac{AF}{BF}=\displaystyle\frac{AC}{BC}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AF}{BF}=\displaystyle\frac{AC}{BC}⇒BF=\displaystyle\frac{6}{5}AF\)

Mà \(AF+BF=AB\) \(⇒AF+\displaystyle\frac{5}{6}AF=4⇒AF=\displaystyle\frac{23}{11}.\)

\(\)

2. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh \(\displaystyle\frac{EC}{EA}=2\displaystyle\frac{DM}{DA}.\)

Giải

Tam giác ABC có BE là đường phân giác nên \(\displaystyle\frac{EC}{EA}=\displaystyle\frac{BC}{AB}\)

Mà M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến) nên BC = 2BM

Suy ra \(\displaystyle\frac{EC}{EA}=2\displaystyle\frac{BM}{AB}\) (1)

Tam giác ABM có BD là đường phân giác nên \(\displaystyle\frac{DM}{DA}=\displaystyle\frac{BM}{AB}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle\frac{EC}{EA}=2\displaystyle\frac{DM}{DA}.\)

\(\)

3. Quan sát Hình 43 và chứng minh \(\displaystyle\frac{DB}{DC}:\displaystyle\frac{EB}{EG}=\displaystyle\frac{AG}{AC}.\)

Giải

Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên \(\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}.\)

Tam giác ABG có AE là đường phân giác nên \(\displaystyle\frac{EB}{EG}=\displaystyle\frac{AB}{AG}.\)

Do đó \(\displaystyle\frac{DB}{DC}:\displaystyle\frac{EB}{EG}=\displaystyle\frac{AB}{AC}:\displaystyle\frac{AB}{AG}\) \(=\displaystyle\frac{AB}{AC}.\displaystyle\frac{AG}{AB}=\displaystyle\frac{AG}{AC}.\)

\(\)

4. Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Giải

Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O.

Vì ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường cao nên AO cũng là đường phân giác của góc BAD.

Tam giác AMD có AN là đường phân giác của góc MAD nên \(\displaystyle\frac{ND}{MN}=\displaystyle\frac{AD}{AM}\ (1)\)

Ta có: \(AM = \displaystyle\frac{1}{3}AB\) mà \(AD = AB\)

Suy ra \(AM = \displaystyle\frac{1}{3}AD\ (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle\frac{ND}{MN}=\displaystyle\frac{AD}{\displaystyle\frac{1}{3}AD}\) hay \(\displaystyle\frac{ND}{MN}=3.\)

Do đó \(ND = 3MN.\)

\(\)

5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Giải

a) Tam giác ABC vuông tại A: \(AB^2+AC^2=BC^2.\)

Suy ra \(BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = 5.\)

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên \(\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\)

Mà \(DC = BC-DB\) nên \(\displaystyle\frac{DB}{BC-DB}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\) hay \(\displaystyle\frac{DB}{5-DB}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Do đó \(DB = \displaystyle\frac{15}{7};\) \(DC = 5-\displaystyle\frac{15}{7} = \displaystyle\frac{20}{7}\)

b) Từ D kẻ đường thẳng DE vuông góc với AC. DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)

Suy ra \(\displaystyle\frac{DE}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{BC}\) hay \(\displaystyle\frac{DE}{3}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{7}}{5}\)

Do đó: \(DE = \displaystyle\frac{12}{7}\).

c) Vì DE // AB nên \(\displaystyle\frac{BD}{BC}=\displaystyle\frac{AE}{AC}\) hay \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{15}{7}}{5}=\displaystyle\frac{AE}{4}\)

Suy ra \(AE = \displaystyle\frac{12}{7}.\)

Tam giác ADE vuông tại E: \(AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\displaystyle\frac{12\sqrt{2}}{7}.\)

\(\)

6. Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45). Chứng minh AD.BC = AC.BD.