Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Chương 8 – Bài 3: Đường trung bình của tam giác trang 65 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thỏa mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC.

Giải

Xét tam giác ABC với MN // BC, ta có:

\(\displaystyle\frac{AM}{MN}=\displaystyle\frac{AN}{NC}\) (định lí Thalès)

Mà AM = MB (M là trung điểm của AB)

Suy ra AN = NC.

Vì MN // BC nên ta có: \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{MN}{BC}\) (hệ quả định lí Thalès)

Mà AM = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB (M là trung điểm của AB)

Suy ra MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC.

\(\)

2. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

a) MN // CP;

b) AQ = QM;

c) CP = 4PQ.

Giải

a) Ta có M là trung điểm của BC (Vì AM là trung tuyến của ∆ABC).

Lại có PN = NB nên N là trung điểm của BP.

Do đó MN là đường trung bình của ∆BCP.

Suy ra PC // NM (tính chất đường trung bình).

b) Xét tam giác AMN với MN // CP, ta có:

\(\displaystyle\frac{AP}{PN}=\displaystyle\frac{AQ}{QM}\) (định lí Thalès)

Mà AP = PN (P là trung điểm của AN)

Suy ra AQ = QM.

c) P, Q lần lượt là trung điểm AN, AM nên PQ là đường trung bình của ∆AMN.

Suy ra PQ = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)MN hay MN = 2PQ.

Mặt khác MN là đường trung bình của ∆BCP nên MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)CP.

Do đó CP = 2MN = 2.2PQ.

Vậy CP = 4PQ.

\(\)

3. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

c) Cho AC ⊥ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải

a) Tam giác ABD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, DA.

Suy ra MQ là đường trung bình nên MQ // BD (1)

Tam giác BDC có: N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Suy ra NP là đường trung bình nên NP // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP (3)

Tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AC (4)

Tam giác ADC có: P, Q lần lượt là trung điểm của CD, DA.

Suy ra PQ là đường trung bình nên PQ // AC (5)

Từ (4) và (5) suy ra: MN // PQ (6)

Từ (3) và (6) suy ra: MNPQ là hình bình hành.

b) MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra MQ = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BD

NP là đường trung bình của tam giác BDC, suy ra NP = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BD

MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC

PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC

Mà AC = BD do đó MQ = NP = MN = PQ.

Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh trên).

Suy ra MNPQ là hình thoi.

c) Ta có: MQ // BD; MN // AC

Mà AC ⊥ BD Suy ra MQ ⊥ MN.

Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh câu a)

Do đó MNPQ là hình chữ nhật.

\(\)

4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải

Tam giác ABH có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH.

Suy ra MN là đường trung bình nên MN // AH và MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AH (1)

Tam giác ACH có: P, Q lần lượt là trung điểm của CH, AC.

Suy ra PQ là đường trung bình nên PQ // AH và PQ = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AH (2)

Từ (1), (2) suy ra: MN // PQ và MN = PQ.

Do đó MNPQ là hình bình hành (3)

Ta có: MN // AH

Mà AH ⊥ BC (H là trực tâm tam giác ABC)

Suy ra MN ⊥ BC

Mà MQ // BC (MQ là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó MN ⊥ MQ (4)

Từ (3)(4) suy ra: MNPQ là hình chữ nhật.

\(\)

5. Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số 1 và số 2, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?