Bài 5: Tam giác đồng dạng

Chương 8 – Bài 5: Tam giác đồng dạng trang 73 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho ∆ABC ∽ ∆MNP và \(\widehat{A}=45^o,\ \widehat{B}=60^o.\) Tính các góc C, M, N, P.

Giải

Xét tam giác ABC có: \(\widehat{C} = 180^o-\widehat{A}-\widehat{B} = 75^o.\)

Vì ∆ABC ∽ ∆MNP nên:

\(\widehat{A}=\widehat{M}=45^o\)

\(\widehat{B}=\widehat{N}=60^o\)

\(\widehat{C}=\widehat{P}=75^o\)

\(\)

2. Cho ∆ABC ∽ ∆MNP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, MN = 5. Tính độ dài các cạnh NP, PM.

Giải

Vì ∆ABC ∽ ∆MNP nên \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{BC}{NP}=\displaystyle\frac{CA}{PM}\) hay \(\displaystyle\frac{4}{5}=\displaystyle\frac{6}{NP}=\displaystyle\frac{5}{PM}\)

Ta có: \(\displaystyle\frac{4}{5}=\displaystyle\frac{6}{NP}\) nên \(NP = 7,5.\)

\(\displaystyle\frac{4}{5}=\displaystyle\frac{5}{PM}\) nên \(PM = 6,25.\)

\(\)

3. Ba vị trí A, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A’B’C’ trên bản vẽ. Biết tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số \(\displaystyle\frac{1}{1000000}\) và A’B’ = 4 cm, B’C’ = 5 cm, C’A’ = 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét).

Giải

Ta có: ∆A’B’C’ ∽ ∆ABC theo tỉ số \(\displaystyle\frac{1}{1000000}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{A’B’}{AB}=\displaystyle\frac{B’C’}{BC}=\displaystyle\frac{C’A’}{CA}=\displaystyle\frac{1}{1000000}\)

Hay \(\displaystyle\frac{4}{AB}=\displaystyle\frac{5}{BC}=\displaystyle\frac{6}{CA}=\displaystyle\frac{1}{1000000}\)

Ta có: \(\displaystyle\frac{4}{AB}=\displaystyle\frac{1}{1000000}\) nên \(AB = 4 000 000;\)

\(\displaystyle\frac{5}{BC}=\displaystyle\frac{1}{1000000}\) nên \(BC = 5 000 000.\)

\(\)

4. Trong Hình 54, độ rộng của khúc sông được tính bằng khoảng cách giữa hai vị trí C, D. Giả sử chọn được các vị trí A, B, E sao cho ∆ABE ∽ ∆ACD và đo được AB = 20 m, AC = 50 m, BE = 8 m. Tính độ rộng của khúc sông đó.

Giải

Vì ∆ABE ∽ ∆ACD nên \(\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{BE}{CD}\) hay \(\displaystyle\frac{20}{50}=\displaystyle\frac{8}{CD}.\)

Do đó \(CD = 20\ m.\)

Vậy độ rộng của khúc sông đó là \(20\ m.\)

\(\)

5. Cho tam giác ABC. (Hình 55), các điểm M, N thuộc cạnh AB thỏa mãn AM = MN = NB, các điểm P, Q thuộc cạnh AC thỏa mãn AP = PQ = QC. Tam giác AMP đồng dạng với những tam giác nào?

Giải

Vì AM = MN và AP = PQ nên M và P lần lượt là trung điểm của AN và AQ nên MP là đường trung bình của tam giác ANQ.

Suy ra MP // NQ.

Do đó ∆AMP ∽ ∆ANQ (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thalès).

Ta có: \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{AP}{AC}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

Suy ra MP//BC (Định lý Thales đảo).

Do đó ∆AMP ∽ ∆ABC (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thalès).

\(\)

6. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua D lần lượt cắt đoạn thẳng BC và tia AB tại M và N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh:

a) ∆NBM ∽ ∆NAD;

b) ∆NBM ∽ ∆DCM;

c) ∆NAD ∽ ∆DCM.

Giải

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành) mà M thuộc BC nên BM // AD.

Suy ra ∆NBM ∽ ∆NAD (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thalès).

b) Ta có: AB // CD (ABCD là hình bình hành) mà N thuộc AB nên BN // CD.

Suy ra ∆NBM ∽ ∆DCM (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thalès).

c) Ta có: ∆NBM ∽ ∆NAD (câu a) và ∆NBM ∽ ∆DCM (câu b)

Do đó ∆NAD ∽ ∆DCM.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác