Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Chương 9 – Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông trang 102 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

9.23. Điều kiện nào dưới đây chứng tỏ hai tam giác vuông đồng dạng?

a) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.

b) Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.

c) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.

d) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

Giải

Phương án b và d là điều kiện chứng tỏ hai tam giác vuông đồng dạng.

\(\)

9.24. Cặp tam giác vuông nào đồng dạng với nhau trong hình 9.58.

Giải

Cặp tam giác vuông ở hình d. Vì cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia \(\left(\displaystyle\frac{1}{1,5}=\displaystyle\frac{3}{4,5}=\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

\(\)

9.25. Cho góc nhọn xOy, các điểm A, N nằm trên tia Ox, các điểm B, M nằm trên tia Oy sao cho AM, BN lần lượt vuông góc với Oy, Ox. Chứng minh tam giác OAM đồng dạng với tam giác OBN.

Giải

Xét tam giác OBN có \(\widehat{BON}+\widehat{ONB}+\widehat{NBO}=180^o\)

Xét tam giác MOA có \(\widehat{MOA}+\widehat{OMA}+\widehat{OMA}=180^o\)

Mà \(\widehat{ONB}=\widehat{OMA}=90^o;\) \(\widehat{O}\) chung.

Suy ra \(\widehat{NBO}=\widehat{OMA}.\)

Tam giác vuông OBN (vuông tại N) và tam giác vuông OAM (vuông tại M) có:

\(\widehat{NBO}=\widehat{OMA}.\)

Do đó \(\Delta OAM ∽ \Delta OBN.\)

\(\)

9.26. Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn AC = 3AB, B’D’= 3A’B’

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’.

b) Nếu A’B’ = 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là \(2\ m^2\) thì diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là bao nhiêu.

Giải

a) Ta có \(AC=3AB ⇒ \displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{1}{3};\) \(B’D’=3A’B’ ⇒ \displaystyle\frac{A’B’}{B’D’}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{B’D’}.\)

Lại có: \(A’C’= B’D’\) (hai hình chéo của chữ nhật) nên \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}.\)

Tam giác vuông \(ABC\) (vuông tại \(B\)) và tam giác vuông \(A’B’C’\) (vuông tại \(C\)) có:

\(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}\)

Do đó \(\Delta ABC ∽ \Delta A’B’C’.\)

b) Vì \(A’B’=2AB ⇒ \displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{1}{2}\) mà \(\Delta ABC ∽ \Delta A’B’C’.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}=\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

Diện tích \(ABCD\) là: \(AB.BC.\)

Diện tích \(A’B’C’D’\) là: \(A’B’.B’C’.\)

Tỉ lệ hai hình chữ nhật \(ABCD\) và \(A’B’C’D’:\)

\(\displaystyle\frac{AB.BC}{A’B’.B’C’}=\displaystyle\frac{AB}{A’B’}.\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

\(⇒ S_{A’B’C’D’}=4S_{ABCD}\)

mà \(S_{ABCD}=2m^{2} ⇒ S_{A’B’C’D’}=8m^{2}.\)

\(\)

9.27. Cho tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Gọi A’H’ và AH lần lượt là các đường cao đỉnh A’ và A của tam giác A’B’C’ và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\displaystyle\frac{A’H’}{AH}=k;\)

b) Diện tích tam giác A’B’C’ bằng \(k^2\) lần diện tích tam giác ABC.

Giải

a) Vì \(\Delta A’B’C’ ∽ \Delta ABC\) nên \(\widehat{B}=\widehat{B’};\) \(\displaystyle\frac{A’B’}{AB}=\displaystyle\frac{A’C’}{AC}=\displaystyle\frac{B’C’}{BC}=k.\)

Hai tam giác vuông A’H’B’ (vuông tại H’) và AHB (vuông tại H), có: \(\widehat{B}=\widehat{B’}\)

Do đó \(\Delta A’H’B’ ∽ \Delta AHB.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{A’H’}{AH}=\displaystyle\frac{A’B’}{AB}\)

mà \(\displaystyle\frac{A’B’}{AB}=k\) \(⇒\displaystyle\frac{A’H’}{AH}=k.\)

b) Diện tích tam giác ABC là: \(\displaystyle\frac{1}{2}AH.BC.\)

Diện tích tam giác A’B’C’ là: \(\displaystyle\frac{1}{2}A’H’.B’C’.\)

Tỉ lệ giữa hai tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}A’H’.B’C’}{\displaystyle\frac{1}{2}AH.BC}=\displaystyle\frac{A’H’}{AH}.\displaystyle\frac{B’C’}{BC}=k.k=k^{2}.\)

\(\)

9.28. Một người ở vị trí điểm A muốn đo khoảng cách đến điểm B ở bên kia sông mà không thể qua sông được. Sử dụng giác kế, người đó xác định được một điểm M trên bờ sông sao cho AM = 2 m, AM vuông góc với AB và đo được số đo góc AMB. Tiếp theo, người đó vẽ trên giấy tam giác A’M’B’ vuông tại A’ có AM’ = 1 cm, \(\widehat{A’M’B’} =\widehat{AMB}\) và đo được A’B’ = 5 cm (H.9.59). Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét?