Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài \(3\). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện trang \(89\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(AC = a\).
\(a)\) Tính số đo của góc nhị diện \([B, SA, C]\).
\(b)\) Tính số đo của góc nhị diện \([B, SA, D]\).
\(c)\) Biết \(SA = a\), tính số đo của góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AB, SA \perp AC\)

Suy ra \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([B, SA, C]\)

Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC = a\) nên tam giác \(ABC\) đều

\(\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 60^o\)

Vậy số đo góc nhị diện \([B, SA, C]\) là \(60^o\)

\(b)\) Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AB, SA \perp AD\)

Suy ra \(\widehat{BAD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([B, SA, D]\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat{BAD} = 180^o \ – \ \widehat{ABC} = 180^o \ – \ 60^o = 120^o\)

Vậy số đo góc nhị diện \([B, SA, D]\) là \(120^o\)

\(c)\) Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \((SC, (ABCD)) = (SC, AC) = \widehat{SCA}\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\), có \(SA = AC = a\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\)

Suy ra \(\widehat{SCA} = 45^o\)

Vậy \((SC, (ABCD)) = 45^o\).

\(\)

Bài \(2\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\), \(SO \perp (ABCD)\), tam giác \(SAC\) là tam giác đều.
\(a)\) Tính số đo của góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\).
\(b)\) Chứng minh rằng \(AC \perp (SBD)\). Tính số đo của góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((SBD)\).
\(c)\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Tính số đo của góc nhị diện \([M, SO, D]\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(SO \perp (ABCD)\)

\(\Rightarrow (SA, (ABCD)) = (SA, OA) = \widehat{SAO}\)

Tam giác \(SAC\) là tam giác đều nên \(\widehat{SAO} = 60^o\)

Suy ra \((SA, (ABCD)) = 60^o\)

\(b)\) Do \(ABCD\) là hình vuông

\(\Rightarrow AC \perp BD\) \((1)\)

Lại có \(SO \perp (ABCD) \Rightarrow SO \perp AC\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra \(AC \perp (SBD)\)

Suy ra \((SA, (SBD)) = (SA, SO) = \widehat{ASO} = \displaystyle \frac{1}{2} \widehat{ASC} = 30^o\)

\(c)\) Do \(SO \perp (ABCD)\)

\(\Rightarrow SO \perp OM, SO \perp OD\)

Vậy \(\widehat{MOD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, SO, D]\)

\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \perp BD\) hay \(\widehat{AOD} = 90^o\)

Tam giác \(AMO\) vuông cân tại \(M\) \(\Rightarrow \widehat{AOM} = 45^o\)

Suy ra \(\Rightarrow \widehat{MOD} = \widehat{AOM} + \widehat{AOD} = 45^o + 90^o = 135^o\)

Vậy số đo góc nhị diện \([M, SO, D]\) là \(135^o\).

\(\)

Bài \(3\). Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là \(100\%\), tương ứng với góc \(90^o\) (độ dốc \(10\%\) tương ứng với góc \(9^o\)). Giả sử có hai điểm \(A, B\) nằm ở độ cao lần lượt là \(200 m, 220 m\) so với mực nước biển và đoạn dốc \(AB\) dài \(120 m\). Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Ta biểu diễn vị trí các điểm như hình dưới:

\(AH\) là độ cao điểm \(A\) so với mực nước biển, \(BK\) là độ cao điểm \(B\) so với mực nước biển.

\(AB\) là chiều dài dốc, \(BI\) là chiều cao dốc. Khi đó độ lớn góc \(\widehat{BAI}\) là độ dốc.

\(AH = 200, BK = 220, AB = 120\)

Ta thấy \(AH = IK = 200m\)

\(\Rightarrow BI = 220 \ – \ 200 = 20\) (m)

Xét tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) ta có:

\(\sin{\widehat{ABI}} = \displaystyle \frac{BI}{AB} = \displaystyle \frac{20}{120} = \displaystyle \frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow \widehat{ABI} \approx 9,59^o\)

Độ dốc tương ứng là \(\displaystyle \frac{9,59. 100}{90} \approx 10,66 \%\)

Vậy độ dốc của con dốc là \(10,66 \%\)

\(\)

Bài \(4\). Trong Hình \(42\), máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(AB = Ac = 30 cm\) và \(BC = 30\sqrt{3} cm\).

Trả lời:

Gọi \(d\) là đường thẳng chứa bản lề máy tính.

\(d \perp AB, d \perp AC\)

Vậy \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.

Xét tam giác \(ABC\) ta có:

\(\cos{\widehat{BAC}} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC} = \displaystyle \frac{30^2 + 30^2 \ – \ (30\sqrt{3})^2}{2. 30. 30} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{BAC} = 120^o\)

Vậy độ mở của màn hình máy tính là \(120^o\)

\(\)

Bài \(5\). Trong Hình \(43\), xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là \(\widehat{B}, \widehat{C}, \widehat{D}, \widehat{E}\) trong cùng mặt phẳng. Lục giác \(ABCDEG\) nằm trong mặt phẳng đó có \(AB = GE = 2 m, BC = DE, \widehat{A} = \widehat{G} = 90^o, \widehat{B} = \widehat{E} = x, \widehat{C} = \widehat{D} = y\). Biết rằng khoảng cách từ \(C\) và \(D\) đến \(AG\) là \(4 m, AG = 12 m, CD = 1m\). Tìm \(x, y\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Trả lời:

Kẻ \(CH \perp AG, (H \in AG), DK \perp AG, (K \in AG)\)

Gọi \(I\) là giao \(BE\) và \(CH\), \(J\) là giao \(BE\) và \(DK\).

\(ABEG\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow BE = AG = 12\)

\(CDKH, CDJI\) là hình chữ nhật nên \(HK = IJ = CD = 1\)

\(ABIH, EJKG\) là hình chữ nhật nên \(IH = JK = EG = AB = 2\)

\(\Rightarrow AH = GK = BI = EJ = \displaystyle \frac{AG \ – \ HK}{2} = \displaystyle \frac{12 \ – \ 1}{2} = 5,5\)

Lại có \(CH = d(C; AG) = 4\)

\(\Rightarrow CI = CH \ – \ IH = 4 \ – \ 2 = 2\)

Xét tam giác \(BCI\) vuông tại \(I\)

\(\Rightarrow \tan{\widehat{CBI}} = \displaystyle \frac{CI}{BI} = \displaystyle \frac{2}{5,5}\)

\(\Rightarrow \widehat{CBI} \approx 20^o\)

\(\Rightarrow x = \widehat{ABI} + \widehat{CBI} \approx 90^o + 20^o \approx 110^o\)

\(\Rightarrow y = 180^o \ – \ x = 70^o\)

\(\)

Bài \(6\). Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Gọi \(\alpha\) là số đo của góc nhị diện \([A, BC, S]\). Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABC\) và \(SBC\) bằng \(\cos{\alpha}\).

Trả lời:

Kẻ \(AH \perp BC\) (\(H \in BC\))

Có \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\)

Suy ra \(BC \perp (SAH)\)

\(\Rightarrow BC \perp SH\)

\(\Rightarrow \widehat{SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([A, BC, S]\)

\(\Rightarrow \widehat{SHA} = \alpha\)

Ta có: \(S_{\Delta_{ABC}} = \displaystyle \frac{1}{2}. BC. AH\)

\(S_{\Delta_{SBC}} = \displaystyle \frac{1}{2}. BC. SH\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{S_{\Delta_{ABC}}}{S_{\Delta_{SBC}}} = \displaystyle \frac{\frac{1}{2}. BC. AH}{\frac{1}{2}. BC. SH} = \displaystyle \frac{AH}{SH} = \cos{\widehat{SHA}} = \cos{\alpha}\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 2 – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Hai mặt phẳng vuông góc
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech