Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Chương 9 – Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác trang 81 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.26. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

Giải

Gọi I, J, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét \(ΔHBC\) có HI ⊥ BC, CJ ⊥ BH.

Mà HI cắt CJ tại A nên A là trực tâm của \(ΔHBC.\)

Xét \(ΔHCA\) có HJ ⊥ AC, CI ⊥ AH.

Mà HJ cắt CI tại B nên B là trực tâm của \(ΔHCA.\)

Xét \(ΔHAB\) có HK ⊥ AB, BI ⊥ AH.

Mà HK cắt BI tại C nên C là trực tâm của \(ΔHAB.\)

\(\)

9.27. Cho tam giác ABC có \(\widehat{A} = 100^o\) và trực tâm H. Tính góc BHC.

Giải

Gọi I, J, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có \(\widehat{BAI} =\widehat{KAH}\) (hai góc đối đỉnh),

\(\widehat{DAC} =\widehat{JAH}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó \(\widehat{BAI} +\widehat{IAC} =\widehat{KAH} +\widehat{JAH} = 100^o.\)

Xét \(∆JAH\) vuông tại J: \(\widehat{JHA} +\widehat{JAH} = 90^o\)

Do đó \(\widehat{JHA} =90^o-\widehat{JAH}.\)

Xét \(∆KAH\) vuông tại K: \(\widehat{KHA} +\widehat{KAH} = 90^o\)

Do đó \(\widehat{KHA} =90^o-\widehat{KAH}.\)

Khi đó \(\widehat{JHA} +\widehat{KHA} =90^o-\widehat{JAH} +90^o-\widehat{KAH}\)

\(\widehat{BHC} =180^o-(\widehat{JAH} +\widehat{KAH}).\)

Do đó \(\widehat{BHC} = 180^o-100^o = 80^o.\)

Vậy \(\widehat{BHC} = 80^o.\)

\(\)

9.28. Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Giải

O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên \(OA = OB = OC.\)

\(⇒ ΔOAB\) cân tại O.

Giả sử O là trung điểm BC.

\(⇒\widehat{OAB} =\widehat{OBA}.\)

Vậy \(ΔOAC\) cân tại O.

Suy ra \(\widehat{OAC} =\widehat{OCA}\)

Xét tam giác ABC có:

\(\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C} =180^o\)

\(⇒\widehat{A} +\widehat{OAB} +\widehat{OAC} =180^o\)

\(⇒\widehat{A} +\widehat{A} =180^o\)

\(⇒\widehat{A} =90^o.\)

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Sự đồng quy của ba đường trung trực ba đường cao trong một tam giác

9.29. a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

Giải

Để xác định bán kính của đường viền này ta thực hiện như sau:

Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền ngoài của chi tiết máy.

Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OA (hoặc OB hoặc OC) là bán kính của đường tròn.

b) Coi ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều ba đỉnh A, B, C nên M là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC.

Vậy M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

\(\)

9.30. Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47).Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.