Luyện tập chung

Chương 9 – Luyện tập chung trang 83 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.31. Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Giải

Ta có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của \(∆ABC.\)

Xét \(∆ABM\) vuông tại M và \(∆ACM\) vuông tại M có:

AM là cạnh chung.

BM = CM (AM là đường trung tuyến của BC).

Vậy \(∆ABM = ∆ACM\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

\(∆ABC\) có AB = AC nên \(∆ABC\) cân tại A.

\(\)

9.32. Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

Giải

Xét \(ΔMNC\) có NB ⊥ MC, CB ⊥ MN.

Mà NB cắt CB tại B nên B là trực tâm của \(ΔMNC.\)

Do đó BM ⊥ CN.

\(\)

9.33. Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

Giải

Cách xác định được tâm của mảnh tôn:

Bước 1. Xác định ba điểm A, B, C nằm trên rìa mảnh tôn.

Bước 2. Xác định ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Điểm đó là tâm của mảnh tôn.

Luyện tập chung

9.34. Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của tia AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Giải

Gọi Ax là tia đối của AC.

At là tia phân giác của \(\widehat{ABx}\) nên \(\widehat{xAt} = \widehat{tAB}.\)

Ta có At // BC nên \(\widehat{ABC} = \widehat{tAB}\) (hai góc so le trong).

\(\widehat{ACB} = \widehat{MAt}\) (hai góc đồng vị).

Mà \(\widehat{xAt} = \widehat{tAB}\) nên \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}.\)

Do đó tam giác ABC cân tại A.

\(\)

9.35. Kí hiệu \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh \(S_{GBC} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)

Gợi ý. Sử dụng \(GM = \displaystyle\frac{1}{3}AM\) để chứng minh \(S_{GBM} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{ABM},\) \(S_{GCM} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{ACM}.\)

b) Chứng minh \(S_{GCA} = S_{GAB} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)

Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: \(S_{GBC} = S_{GCA} = S_{GAB} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC},\) điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.

Giải