Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Chương 9 – Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trang 76 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.20. Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Ta có \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\ CG = \displaystyle\frac{2}{3}CP.\)

\(GN = BN-BG = BN-\displaystyle\frac{2}{3}BN = \displaystyle\frac{1}{3}BN.\)

\(GP = CP-CG = CP-\displaystyle\frac{2}{3}CP = \displaystyle\frac{1}{3}CP.\)

Khi đó \(BG : GN = \displaystyle\frac{2}{3}BN : \displaystyle\frac{1}{3}BN = 2,\) \(CG : GP = \displaystyle\frac{2}{3}CP : \displaystyle\frac{1}{3}CP = 2.\)

Do đó \(BG = 2GN,\ CG = 2GP.\)

Vậy \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\) \(CG = \displaystyle\frac{2}{3}CP,\) \(BG = 2GN, CG = 2GP.\)

\(\)

9.21. a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Giả sử tam giác ABC cân tại A có BN, CM là 2 đường trung tuyến.

a) Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.

Do đó BM = CN.

Xét \(∆BCM\) và \(∆CBN\) có:

BM = CN (do \(ΔABC\) cân tại A);

\(\widehat{MBC} =\widehat{NCB}\) (do \(ΔABC\) cân tại A);

BC là cạnh chung;

Vậy \(∆BCM = ∆CBN\) (c.g.c).

Suy ra CM = BN (hai cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b)

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Giả sử BN, CM là hai trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại G, BN = CM.

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\ CG = \displaystyle\frac{2}{3}CM.\)

Do CM = BN nên CG = BG.

\(∆BGC\) có CG = BG nên \(∆BGC\) cân tại G.

Suy ra \(\widehat{GBC} =\widehat{GCB}.\)

Xét \(∆MBC\) và \(∆NCB\) có:

CM = BN (theo giả thiết).

\(\widehat{NBC} =\widehat{MCB}\) (chứng minh trên).

BC là cạnh chung.

Vậy \(∆MBC = ∆NCB\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{MBC} =\widehat{NCB}\) (hai góc tương ứng).

\(∆ABC\) có \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}\) nên \(∆ABC\) cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

\(\)

9.22. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

G là trọng tâm của \(ΔABC\) nên:

\(CG = \displaystyle\frac{2}{3}CN,\ BG = \displaystyle\frac{2}{3}BM.\)

Xét \(ΔGBC\) có \(\widehat{GBC} >\widehat{GCB}\) nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Khi đó \(\displaystyle\frac{2}{3}CN > \displaystyle\frac{2}{3}BM.\)

Suy ra CN > BM.

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến ba đường phân giác trong một tam giác

9.23. Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng \(120^o\).

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Do CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACB} =2\widehat{ICB}.\)

Do BI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABC} =2\widehat{IBC}.\)

Do đó \(\widehat{ABC} +\widehat{ACB} =2(\widehat{IBC} +\widehat{ICB}).\)

\(60^o = 2(\widehat{IBC} +\widehat{ICB}) \)

\(\widehat{IBC} +\widehat{ICB} = 30^o.\)

Xét \(∆IBC\) có \(\widehat{BIC} +\widehat{IBC} +\widehat{ICB} =180^o.\)

Do đó \(\widehat{BIC} =180^o-(\widehat{IBC} +\widehat{ICB})\) \(= 180^o-30^o = 150^o.\)

Vậy \(\widehat{BIC} = 150^o.\)

\(\)

9.24. Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

\(∆ABC\) cân tại A nên AB = AC, \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}.\)

BE là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABE} = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABC}.\)

CF là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACF} = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

Suy ra \(\widehat{ABE} = \widehat{ACF}.\)

Xét \(∆ABE\) và \(∆ACF\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung;

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat{ABE} = \widehat{ACF}\) (chứng minh trên);

Vậy \(∆ABE = ∆ACF\) (g.c.g).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

\(\)

9.25. Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?

Giải

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

a) Do BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{DBR} =\widehat{DBP} =\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{PBR}.\)

Xét \(∆DBR\) vuông tại R và \(∆DBP\) vuông tại P có:

\(\widehat{DBR} =\widehat{DBP}\) (chứng minh trên).

BD là cạnh chung.

Vậy \(∆DBR = ∆DBP\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DR = DP (hai cạnh tương ứng).

b) Do CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{DCQ} =\widehat{DCP} =\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{PCQ}.\)

Xét \(∆DCQ\) vuông tại Q và \(∆DCP\) vuông tại P có:

\(\widehat{DCQ} =\widehat{DCP}\) (chứng minh trên).

CD là cạnh chung.

Vậy \(∆DCQ = ∆DCP\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DQ = DP (hai cạnh tương ứng).

c) Từ a) và b) ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong \(\widehat{BAC}\) và D cách đều hai cạnh AB và AC của BAC nên D nằm trên tia phân giác của \(\widehat{BAC}\).

\(\)

Xem bài giải trước: Luyện tập chung trang 71

Xem bài giải tiếp theo: Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:

Website: https://bumbii.com/

Diễn đàn hỏi đáp: https://hoidap.bumbii.com

Facebook: https://www.facebook.com/bumbiitech

Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x