Bài 25: Đa thức một biến

Chương 7 – Bài 25: Đa thức một biến trang 30 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

7.5. a) Tính \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^3\right).\left(-4x^2\right).\) Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính \(\displaystyle\frac{1}{2}x^3-\displaystyle\frac{5}{2}x^3.\) Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Giải

a) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^3\right).\left(-4x^2\right)=\left[\displaystyle\frac{1}{2}.(-4)\right].\left(x^3.x^2\right)=-2x^5.\)

Hệ số của đơn thức là \(-2.\)

Bậc của đơn thức là \(5.\)

b) \(\displaystyle\frac{1}{2}x^3-\displaystyle\frac{5}{2}x^3=\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{5}{2}\right)x^3=-2x^3.\)

Hệ số của đơn thức là \(-2.\)

Bậc của đơn thức là \(3.\)

\(\)

7.6. Cho hai đa thức:

\(A(x) = x^3 + \displaystyle\frac{3}{2}x-7x^4 + \displaystyle\frac{1}{2}x-4x^2 + 9\) và \(B(x) = x^5-3x^2 + 8x^4-5x^2-x^5 + x-7.\)

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Giải

a) \(A(x) = x^3 + \displaystyle\frac{3}{2}x-7x^4 + \displaystyle\frac{1}{2}x-4x^2 + 9\)

\(= -7x^4 + x^3-4x^2 + (\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}x) + 9\)

\(= -7x^4 + x^3-4x^2 + 2x + 9.\)

\(B(x) = x^5-3x^2 + 8x^4-5x^2-x^5 + x-7\)

\(= (x^5-x^5) + 8x^4 + (-3x^2-5x^2) + x-7\)

\(= 8x^4 + (-8)x^2 + x-7\)

\(= 8x^4-8x^2 + x-7.\)

b) Đa thức A(x): Bậc của đa thức là: \(4,\) hệ số cao nhất là: \(-7,\) hệ số tự do là: \(9.\)

Đa thức B(x): Bậc của đa thức là: \(4,\) hệ số cao nhất là: \(8,\) hệ số tự do là: \(-7.\)

\(\)

7.7. Cho hai đa thức:

\(P(x) = 5x^3 + 2x^4-x^2 + 3x^2-x^3-2x^4-4x^3\) và \(Q(x) = 3x-4x^3 + 8x^2-5x + 4x^3 + 5.\)

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(-1) và Q(0).

Giải

a) \(P(x) = 5x^3 + 2x^4-x^2 + 3x^2-x^3-2x^4-4x^3\)

\(= (2x^4-2x^4) + (5x^3-x^3-4x^3) + (-x^2 + 3x^2)\)

\(= 2x^2.\)

\(Q(x) = 3x-4x^3 + 8x^2-5x + 4x^3 + 5\)

\(= (-4x^3 + 4x^3) + 8x^2 + (3x-5x) + 5\)

\(= 8x^2 + (-2x) + 5\)

\(= 8x^2-2x + 5.\)

b) \(P(1) = 2.1^2 = 2.\)

\(P(0) = 2. 0^2 = 0.\)

\(Q(-1) = 8.(-1)^2-2.(-1) +5 = 8 +2 +5 =15.\)

\(Q(0) = 8.0^2-2.0 + 5 = 5.\)

\(\)

7.8. Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được \(22\ m^3\) nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được \(16\ m^3\) nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (\(m^3\)), biết rằng trước khi bơm, trong bể có \(1,5\ m^3\) nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Giải

Lượng nước bơm được khi cả hai máy chạy trong x giờ và máy thứ hai chạy thêm \(0,5\) giờ là \(22x + 16x + 16\ .\ 0,5 = 38x + 8\ (m^3).\)

Do trước khi bơm thì trong bể có \(1,5\ m^3\) nên đa thức biểu thị dung tích của bể là

\(1,5 + 38x + 8 = 38x + 9,5\ (m^3).\)

Đa thức \(38x + 9,5\) có hệ số cao nhất là \(38,\) hệ số tự do là \(9,5.\)

\(\)

7.9. Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• Bậc của F(x) bằng \(3.\)

• Hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng \(2.\)

• Hệ số cao nhất của F(x) bằng \(-6\) và hệ số tự do bằng \(3.\)

Giải

Đa thức cần tìm là \(F(x) =-6x^3 + 2x^2 + 2x + 3.\)

\(\)

7.10. Kiểm tra xem:

a) \(x =-\displaystyle\frac{1}{8}\) có phải là nghiệm của đa thức \(P(x) = 4x + \displaystyle\frac{1}{2}\) không?

b) Trong ba số \(1;\ -1\) và \(2,\) số nào là nghiệm của đa thức \(Q(x) = x^2 + x-2\)?

Giải

a) Thay \(x = -\displaystyle\frac{1}{8}\) vào đa thức P(x) ta được:

\(P\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)=4.\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}=0.\)

Vậy \(x = -\displaystyle\frac{1}{8}\) là nghiệm của đa thức \(P(x) = 4x + \displaystyle\frac{1}{2}.\)

b) Thay x lần lượt là \(1;\ -1\) và \(2\) vào đa thức Q(x) ta được:

\(Q(1) = 1^2 + 1-2 = 1 + 1-2 = 0.\)

\(Q(-1) = (-1)^2 + (-1)-2 = 1-1-2 =-2.\)

\(Q(2) = 2^2 + 2-2 = 4 + 2-2 = 4.\)

Vậy trong ba số đã cho thì chỉ có \(1\) là nghiệm của đa thức \(Q(x) = x^2 + x-2.\)

\(\)

7.11. Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Giải

a) Số tiền Quỳnh còn lại là: \(100-37-x =-x + 63\) (nghìn đồng).

Bậc của đa thức là \(1.\)

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho nên \(-x + 63 = 0.\)

\(⇒x=63.\)

Vậy giá tiền cuốn sách là \(63\) nghìn đồng.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 24: Biểu thức đại số

Xem bài giải tiếp theo: Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống