Bài \(24\). Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trang \(38\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(7.10\). Cho hình chóp \(S.ABC\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
\(a)\) Xác định hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(b)\) Xác định hình chiếu của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(c)\) Xác định hình chiếu của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((SAB)\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(SA \perp (ABC)\)
Do đó \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên \((ABC)\).
\(b)\) Ta có: \(A, B, C\) lần lượt là hình chiếu của \(S, B, C\) trên mặt phẳng \((ABC)\)
Do đó tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(SBC\).
\(c)\) Ta có: \(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABC)\)
\(BC \perp AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)
Suy ra \(BC \perp (SAB)\)
Hay \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \((SAB)\)
\(S, B\) lần lượt là hình chiếu của \(S, B\) trên \((SAB)\)
Vậy \(SB\) là chiếu của tam giác \(SBC\) trên \((SAB)\)
\(\)
Bài \(7.11\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a, SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\).
\(a)\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\).
\(b)\) Tính góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \((SAC)\).
\(c)\) Tìm hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((SAC)\).
Trả lời:
\(a)\) Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
\(C\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
Suy ra \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
\(\Rightarrow (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = \widehat{SCA}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có:
\(\tan{\widehat{SCA}} = \displaystyle \frac{SA}{AC} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1\)
\(\Rightarrow \widehat{SCA} = 45^o\)
\(\Rightarrow (SC, (ABCD)) = 45^o\)
\(b)\) Ta có: \(BD \perp AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông)
\(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABCD)\)
Suy ra \(BD \perp (SAC)\)
\(\Rightarrow (BD, (SAC)) = 90^o\)
\(c)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)
Mà \(BD \perp (SAC) \Rightarrow BO \perp (SAC)\)
Hay \(O\) là hình chiếu của \(B\) trên \((SAC)\)
Lại có \(S\) là hình chiếu của \(S\) trên \((SAC)\)
Vậy \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) trên \((SAC)\)
\(\)
Bài \(7.12\). Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(SA = AB = BC = a\).
\(a)\) Xác định hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((SBC)\).
\(b)\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\).
Trả lời:
\(a)\) Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AD \perp SB, D \in (SB\).
Ta có: \(BC \perp AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\))
\(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABCD)\)
Suy ra \(BC \perp (SAB)\). Mà \(AD \subset (SAB)\)
\(\Rightarrow BC \perp AD\)
Có: \(\begin{equation} \left. \begin{array}{II}BC \perp AD\\AD \perp SB\\ BC \cap SB = \{S\} \end{array} \right\}\end{equation} \Rightarrow AD \perp (SBC)\)
Vậy \(D\) là hình chiếu của \(A\) trên \((SBC)\).
\(b)\) Ta có: \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\), \(C\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \((ABC)\)
Suy ra \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABC)\)
\(\Rightarrow (SC, (ABC))) = (SC, AC) = \widehat{SCA}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có:
\(\tan{\widehat{SCA}} = \displaystyle \frac{SA}{AC} = \displaystyle \frac{a}{a\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \widehat{SCA} \approx 35,26^o\)
Vậy \((SC, (ABCD)) \approx 35,26^o\)
\(\)
Bài \(7.13\). Cho điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((P)\), có hình chiếu \(H\) trên \((P)\). Với mỗi điểm \(M\) bất kì (không trùng \(H\)) trên mặt phẳng \((P)\), ta gọi đoạn thẳng \(SM\) là đường xiên, đoạn thẳng \(HM\) là hình chiếu trên \((P)\) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
\(a)\) Hai đường xiên \(SM\) và \(SM’\) bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu \(HM, HM’\) tương ứng của chúng bằng nhau.
\(b)\) Đường xiên \(SM\) lớn hơn đường xiên \(SM’\) nếu hình chiếu \(HM\) lớn hơn hình chiếu \(HM’\).
Trả lời:
\(a)\) \(+)\) Giả sử \(SM = SM’\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(SMH\) ta có:
\(SM^2 = SH^2 + HM^2\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(SM’H\) ta có:
\(SM’^2 = SH^2 + HM’^2\)
Mà \(SM = SM’\)
Suy ra \(HM = HM’\)
\(+)\) Giả sử \(HM = HM’\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(SMH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(SM^2 = SH^2 + HM^2\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(SM’H\) vuông tại \(H\) ta có:
\(SM’^2 = SH^2 + HM’^2\)
Mà \(HM = HM’\) nên \(SM = SM’\)
\(b)\) Ta có: \(HM > HM’ \Leftrightarrow HM^2 > HM’^2\)
\(\Leftrightarrow HM^2 + SH^2 > HM’^2 + SH^2\)
\(\Leftrightarrow SM^2 > SM’^2 \Leftrightarrow SM > SM’\)
\(\)
Bài \(7.14\). Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong \(5\) phút đầu, và các góc cất cánh lần lượt là \(10^o, 15^o\). Hỏi sau \(1\) phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý: Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.
Trả lời:
Sau \(1\) phút, quãng đường cả hai máy bay bay được là: \(v. 1 = v\)
Khi đó, độ cao của máy bay \(1\) so với mặt đất là:
\(h_1 = v. \sin{10^o} \approx 0,17v\)
Độ cao của máy bay \(2\) so với mặt đất là:
\(h_2 = v. \sin{15^o} \approx 0,26v\)
Ta thấy \(h_2 > h_1\)
Vậy sau \(1\) phút kể từ khi cất cánh, máy bay \(2\) ở độ cao so với mặt đất lớn hơn máy bay \(1\).
\(\)
Bài \(7.15\). Hãy nêu cách đo giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.
Chú ý: Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm của Trái Đất.
Trả lời:
Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm cụ thể, ta cần sử dụng một thiết bị đo góc, thường được gọi là gnomon.
Cách thực hiện đo góc Mặt Trời như sau:
\(1\). Chọn một vị trí cố định trên mặt đất và đặt gnomo vào vị trí đó sao cho nó đứng thẳng đứng và vuông góc với mặt đất.
\(2\). Đợi cho đến thời điểm giữa trưa, khi tia sáng Mặt Trời đứng thẳng trên vị trí của bạn. Bạn có thể biết được thời điểm này thông qua các trang web hoặc ứng dụng dựa trên vị trí của bạn.
\(3\). Xác định bóng của gnomo trên mặt phẳng ngang và vẽ một đường thẳng từ đỉnh của gnomo đến đỉnh của bóng.
\(4\). Sử dụng thiết bị đo góc để đo góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng ngang. Đó chính là góc Mặt Trời tại vị trí và thời điểm đó.
Bài 24. Phép chiếu vuông góc Bài 24. Phép chiếu vuông góc Bài 24. Phép chiếu vuông góc Bài 24. Phép chiếu vuông góc Bài 24. Phép chiếu vuông góc
Xem bài giải trước: Bài 23 – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 25 – Hai mặt phẳng vuông góc
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.