Bài \(25\). Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trang \(44\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(7.16\). Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\).
\(a)\) Chứng minh rằng \((SAB) \perp (ABC)\) và \((SAH) \perp (SBC)\).
\(b)\) Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat{ABC} = 30^o, AC = a, SA = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \([S, BC, A]\).
Trả lời:
\(a)\) \(+)\) Ta có: \(SA \perp (ABC)\)
Mà \(SA \subset (SAB)\) nên \((SAB) \perp (ABC)\)
\(+)\) \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\)
\(AH \perp BC\). Mà \(SA \cap AH = \{A\}\)
Suy ra \(BC \perp (SAH)\).
Lại có \(BC \subset (SBC)\)
\(\Rightarrow (SBC) \perp (SAH)\).
\(b)\) Ta có: \(AH \perp BC, SH \perp BC\)
\(\Rightarrow [S, BC, A] = (SH, AH) = \widehat{SHA}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
\(\widehat{ABC} = 30^o \Rightarrow \widehat{ACH} = 90^o \ – \ 30^o = 60^o\)
Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\) có:
\(\sin{\widehat{ACH}} = \displaystyle \frac{AH}{AC} = \sin{60^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AH = AC. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) ta có:
\(\tan{\widehat{SHA}} = \displaystyle \frac{SA}{AH} = \displaystyle \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1\)
\(\Rightarrow \widehat{SHA} = 45^o\)
Vậy \([S, BC, A] = 45^o\)
\(\)
Bài \(7.17\). Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh bằng \(a\).
\(a)\) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
\(b)\) Chứng minh rằng \((ACC’A’) \perp (BDD’B’)\).
\(c)\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Chứng minh rằng \(\widehat{COC’}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \([C, BD, C’]\). Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện \([C, BD, C’], [A, BD, C’]\).
Trả lời:
\(a)\) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
Xét tam giác \(A’AC\) vuông tại \(A\) có:
\(A’C = \sqrt{AA’^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = a\sqrt{3}\)
Vậy độ dài đường chéo hình lập phương là \(a\sqrt{3}\)
\(b)\) Ta có: \(BD \perp AC, BD \perp AA’\)
Mà \(AC \cap AA’ = \{A\}\)
\(\Rightarrow BD \perp (ACC’A’)\)
Lại có \(BD \subset (BDD’B’)\)
Suy ra \((ACC’A’) \perp (BDD’B’)\).
\(c)\) Do \(BD \perp (ACC’A’)\) nên \(BD \perp C’A\)
Mà \(BD \perp CO\) (do \(BD \perp AC\))
Suy ra \([C, BD, C’] = (CO, C’O) = \widehat{COC’}\)
Có \(OC = \displaystyle \frac{AC}{2} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Xét tam giác \(COC’\) vuông tại \(C\) có:
\(\tan{\widehat{COC’}} = \displaystyle \frac{CC’}{OC} = \displaystyle \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{COC’} \approx 54,7^o\)
Ta có: \(BD \perp C’O\) (do \(BD \perp (ACC’A’)\)), \(AO \perp BD\)
\(\Rightarrow [A, BD, C’] = (AO, OC’) = \widehat{AOC’}\)
Có \(\widehat{AOC’} = 180^o \ – \ \widehat{COC’} \approx 180^o \ – \ 54,7^o \approx 125,3^o\)
Vậy \([A, BD, C’] \approx 125,3^o\)
\(\)
Bài \(7.18\). Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\).
\(a)\) Chứng minh rằng \((BDD’B’) \perp (ABCD)\).
\(b)\) Xác định hình chiếu của \(AC’\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
\(c)\) Cho \(AB = a, BC = b, CC’ = c\). Tính \(AC’\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(BB’ \perp (ABCD)\)
Mà \(BB’ \subset (BDD’B’)\)
Suy ra \((BDD’B’) \perp (ABCD)\).
\(b)\) Ta có: \(A\) là hình chiếu của \(A\) trên \((ABCD)\).
\(C\) là hình chiếu của \(C’\) trên \((ABCD)\).
Suy ra \(AC\) là hình chiếu của \(AC’\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
\(c)\) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Xét tam giác \(ACC’\) vuông tại \(C\) ta có:
\(AC’ = \sqrt{AC^2 + CC’^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(\)
Bài \(7.19\). Cho hình chóp \(S.ABC\), đáy có cạnh bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\).
\(a)\) Tính \(sin\) của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
\(b)\) Tính \(tang\) của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Trả lời:
Vì hình chóp \(S.ABC\) đều, gọi \(G\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
Khi đó, \(G\) là tâm của đáy \(ABC\) nên \(G\) là trọng tâm, trực tâm tam giác đều \(ABC\).
Kéo dài \(AG\) cắt \(BC\) tại \(D\).
\(a)\) Ta có \(A\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(G\) là hình chiếu của \(S\) trên \((ABC)\).
\(\Rightarrow AG\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
\(\Rightarrow (SA, (ABC)) = (SA, AG) = \widehat{SAG}\)
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên đường cao \(AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AG = \displaystyle \frac{2}{3} AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) ta có:
\(SG = \sqrt{SA^2 \ – \ AG^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}\).
\(\Rightarrow \sin{\widehat{SAG}} = \displaystyle \frac{SG}{SA} = \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}} : b = \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3b^2}}\).
\(b)\) Ta có: \(BC \perp AG, BC \perp SG\)
\(\Rightarrow BC \perp (SAD)\)
\(\Rightarrow BC \perp SD\).
Lại có \(BC \perp AD\) (do \(G\) là trực tâm tam giác \(ABC\))
\((SBC) \cap (ABC) = BC\)
\(\Rightarrow ((SBC), (ABC)) = (SD, AD) = \widehat{SDA}\)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(GD = \displaystyle \frac{1}{3} AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
Xét tam giác \(SGD\) vuông tại \(G\) ta có:
\(\tan{\widehat{SDA}} = \displaystyle \frac{SG}{GD} = \displaystyle \frac{\sqrt{b^2 \ – \ \frac{a^2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \displaystyle \frac{6}{a\sqrt{3}}. \sqrt{b^2 \ – \ \frac{a^2}{3}}\).
\(\)
Bài \(7.20\). Hai mái nhà trong hình \(7.72\) là hai hình chữ nhật. Giả sử \(AB = 4,8 m; OA = 2,8 m; OB = 4 m\).
\(a)\) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.
\(b)\) Chứng minh rằng mặt phẳng \((OAB)\) vuông góc với mặt đất phẳng.
Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
\(c)\) Điểm \(A\) ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm \(B\) là \(0,5 m\). Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa \(OB\) so với mặt đất).
Trả lời:
\(a)\) Vì hai mái nhà trong Hình \(7.72\) là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc giữa hai đường thẳng \(OA\) và \(OB\)
Xét tam giác \(OAB\) có:
\(\cos{\widehat{AOB}} = \displaystyle \frac{OA^2 + OB^2 \ – \ AB^2}{2. OA. OB} = \displaystyle \frac{2,8^2 + 4^2 \ – \ 4,8^2}{2. 2,8. 4} = \displaystyle \frac{1}{28}\).
\(\Rightarrow \widehat{AOB} \approx 88^o\)
\(b)\) Mặt phẳng \((OAB)\) vuông góc với đường nóc nhà.
Lại có đường nóc nhà song song với mặt phẳng đất.
Suy ra mặt phẳng \((OAB)\) vuông góc với mặt đất phẳng đất.
\(c)\) Đường thẳng qua \(B\) song song với mặt đất cắt đường thẳng qua \(A\) vuông góc với mặt đất tại \(H\).
Ta có: \(\sin{\widehat{ABH}} = \displaystyle \frac{0,5}{4,8}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABH} \approx 6^o\)
\(\cos{\widehat{OBA}} = \displaystyle \frac{AB^2 + OB^2 \ – \ OA^2}{2. AB. OB} = \displaystyle \frac{4,8^2 + 4^2 \ – \ 2,8^2}{2. 4,8. 4} = 0,8125\)
\(\Rightarrow \widehat{OBA} \approx 35,7^o\)
Suy ra \(\widehat{OBH} = \widehat{OBA} + \widehat{ABH} \approx 35,7 + 6 \approx 41,7^o\)
Vậy góc giữa mái nhà (chứa \(OB\)) so với mặt đất khoảng \(41,7^o\).
\(\)
Bài \(7.21\). Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là \(tang\) của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá \(\displaystyle \frac{1}{12}\). Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Trả lời:
Giả sử góc tạo bởi đường thẳng dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là \(\alpha\).
Do độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá \(\displaystyle \frac{1}{12}\) nên ta có:
\(\tan{\alpha} \leq \displaystyle \frac{1}{12}\)
\(\alpha \leq 4,76^o\)
Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá \(4,76^o\)
Xem bài giải trước: Bài 24 – Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 26 – Khoảng cách
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.