Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài \(23\). Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trang \(31\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(7.5\). Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân tại \(A\) và \(SA \perp (ABC)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(BC \perp (SAM)\);
\(b)\) Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(SA \perp (ABC)\)

\(\Rightarrow SA \perp BC\) \((1)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Rightarrow AM \perp BC\) \((2)\)

Tứ \((1), (2)\) suy ra \(BC \perp (SAM)\)

\(b)\) Có \(BC \perp (SAM)\)

\(\Rightarrow BC \perp SM\)

Xét tam giác \(SBC\) có, \(SM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) (đpcm)

\(\)

Bài \(7.6\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \perp (ABCD)\).
Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp \(S.ABCD\) là tam giác vuông.

Trả lời:

Ta có: \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp BC\)

Mà \(BC \perp AB\)

\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\). Lại có \(SB \subset (SAB)\)

Suy ra \(BC \perp SB\)

Có \(CD \perp AD, CD \perp SA\)

\(\Rightarrow CD \perp (SAD)\). Mà \(SD \subset (SAD)\)

Suy ra \(CD \perp SD\)

\(+)\) Xét tam giác \(SAB\) có:

\(SA \perp AB\) (Do \(SA \perp (ABCD)\))

\(\Rightarrow\) Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\).

\(+)\) Xét tam giác \(SAD\) có:

\(SA \perp AD\) (Do \(SA \perp (ABCD)\))

\(\Rightarrow\) Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\).

\(+)\) Xét tam giác \(SBC\) có:

\(BC \perp SB\)

Suy ra tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).

\(+)\) Xét tam giác \(SCD\) có:

\(CD \perp SD\)

Suy ra tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).

Vậy các mặt bên của hình chóp \(S.ABCD\) là các tam giác vuông.

\(\)

Bài \(7.7\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA \perp (ABCD)\). Gọi \(M, N\) tương ứng là hình chiếu của \(A\) trên \(SB, SD\). Chứng minh rằng:
\(AM \perp (SBC), AN \perp (SCD), SC \perp (AMN)\).

Trả lời:

\(+)\) Do \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp BC\)

Lại có \(BC \perp AB\) (do đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\). Mà \(AM \subset (SAB)\)

Suy ra \(AM \perp BC\) \((1)\)

\(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) nên \(AM \perp SB\) \((2)\)

Từ \((1), (2)\) suy ra:

\(AM \perp (SBC)\)

\(+)\) Chứng minh tương tự \(CD \perp (SAD)\)

\(\Rightarrow CD \perp AN\)

Có \(AN \perp SD, AN \perp CD\)

Suy ra \(AN \perp (SCD)\)

\(+)\) Ta có: \(AM \perp (SBC), SC \subset (SBC)\)

\(\Rightarrow AM \perp SC\) \((3)\)

Lại có \(AN \perp (SCD), SC \subset (SCD)\)

\(\Rightarrow AN \perp SC\) \((4)\)

Từ \((3), (4)\) suy ra:

\(SC \perp (AMN)\)

\(\)

Bài \(7.8\). Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Trả lời:

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

\(\)

Bài \(7.9\). Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột \(1 m\) đến một điểm trên cột, cách chân cột \(1 m\) được kết quả là \(1,5 m\) (\(H.7.27\)). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?