Bài \(2\). Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp trang \(26\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(1\). Cần xếp một nhóm \(5\) học sinh ngồi vào một dãy \(5\) chiếc ghế.
\(a)\) Có bao nhiêu cách xếp?
\(b)\) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?
Trả lời:
\(a)\) Mỗi cách sắp xếp \(5\) bạn học sinh ngồi vào \(5\) chiếc ghế là một hoán vị của \(5\) bạn học sinh.
Do đó số cách sắp xếp \(5\) bạn học sinh ngồi vào \(5\) chiếc ghế là:
\(P_5 = 5 ! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120\) (cách)
Vậy có tất cả \(120\) cách sắp xếp một nhóm \(5\) bạn học sinh ngồi vào một dãy gồm \(5\) chiếc ghế.
\(b)\) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái thì số cách sắp xếp \(4\) bạn còn lại ngồi vào \(4\) chiếc ghế là hoán vị của \(4\) bạn học sinh.
Do đó số cách sắp xếp \(4\) bạn học sinh ngồi vào \(4\) chiếc ghế là:
\(P_4 = 4 ! = 4. 3. 2. 1 = 24\) (cách)
Vậy có \(24\) cách sắp xếp một nhóm \(5\) học sinh ngồi vào một dãy \(5\) chiếc ghế trong đó bạn Nga ngồi chiếc ghế ngoài cùng bên trái.
\(\)
Bài \(2\). Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?
\(a)\) \(1; 2; 3; 4; 5; 6\);
\(b)\) \(0; 1; 2; 3; 4; 5\).
Trả lời:
\(a)\) Việc lập số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau từ \(6\) chữ số đã cho là chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\).
Do đó, số số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là:
\(A_6^4 = 6. 5. 4. 3 = 360\) (số)
Vậy có \(360\) số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.
\(b)\) Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abcd}\) trong đó \(a, b, c, d\) là các chữ số khác nhau từ \(6\) chữ số đã cho và \(a \neq 0\).
Do trong \(6\) chữ số đã cho bao gồm cả chữ số \(0\) nên việc lập số có bốn chữ số cần tìm được chia thành \(4\) giai đoạn sau:
Giai đoạn \(1\): Vì \(a \neq 0\) nên \(a\) có \(5\) cách chọn
Giai đoạn \(2\): Ứng với mỗi \(a\) đã chọn, có \(5\) cách để chọn \(b\)
Giai đoạn \(3\): Ứng với mỗi cặp chữ số \(a; b\) đã chọn, ta có \(4\) cách để chọn \(c\)
Giai đoạn \(4\): Ứng với mỗi \(a; b; c\) đã chọn, ta có \(3\) cách để chọn \(d\).
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho là:
\(5. 5. 4. 3 = 300\) (số)
Vậy có \(300\) số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.
\(\)
Bài \(3\). Tổ Một có \(4\) bạn nam và \(5\) bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử \(3\) bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?
\(a)\) \(3\) bạn được chọn bất kì;
\(b)\) \(3\) bạn gồm \(2\) nam và \(1\) nữ.
Trả lời:
Tổ Một có \(4\) bạn nam và \(5\) bạn nữ nên tổ Một có tất cả \(9\) bạn.
\(a)\) Việc lựa chọn \(3\) bạn bất kì trong \(9\) bạn của tổ Một để làm trực nhật là tổ hợp chập \(3\) của \(9\).
Do đó số cách chọn \(3\) bạn bất kì trong \(9\) bạn của tổ Một làm trực nhật là:
\(C_9^3 = \displaystyle \frac{9!}{3!. 6!} = 84\) (cách)
Vậy có \(84\) cách chọn bất kì \(3\) bạn của tổ làm trực nhật.
\(b)\) Việc chọn \(3\) bạn gồm \(2\) bạn nam và \(1\) bạn nữ chia làm hai giai đoạn sau:
Giai đoạn \(1\): Chọn \(2\) bạn nam từ \(4\) bạn nam là tổ hợp chập \(2\) của \(4\).
Nên có \(C_4^2 = 6\) (cách)
Giai đoạn \(2\). Chọn \(1\) bạn nữ trong \(5\) bạn nữ là tổ hợp chập \(1\) của \(\)
Nên có \(C_5^1 = 5\) (cách)
Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(6. 5 = 30\) cách chọn \(3\) bạn làm trực nhật bao gồm \(2\) bạn nam và \(1\) bạn nữ.
Vậy có \(30\) cách cử \(3\) bạn của tổ làm trực nhật gồm \(2\) nam và \(1\) nữ.
\(\)
Bài \(4\). Từ một danh sách gồm \(8\) người, người ta bầu ra một uỷ ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một uỷ viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu uỷ ban này?
Trả lời:
Việc bầu ra một uỷ ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một uỷ viên là chỉnh hợp chập \(4\) của \(8\).
Do đó số khả năng có thể về kết quả bầu uỷ ban là:
\(A_8^4 = 8. 7. 6. 5 = 1680\) (khả năng)
Vậy có \(1680\) khả năng có thể có về kết quả bầu uỷ ban.
\(\)
Bài \(5\). Một nhóm gồm \(7\) bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, \(3\) bạn hỗ trợ đi lại, \(2\) bạn hỗ trợ tắm rửa và \(2\) bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?
Trả lời:
Việc phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên được chia làm ba giai đoạn sau:
Giai đoạn \(1\): Chọn \(3\) bạn trong \(7\) bạn làm công việc hỗ trợ đi lại là tổ hợp chập \(3\) của \(7\). Do đó có \(C_7^3\) cách.
Giai đoạn\(2\): Ứng với \(3\) bạn hỗ trợ đi lại, chọn \(2\) trong \(4\) bạn còn lại hỗ trợ tắm rửa là tổ hợp chập \(2\) của \(4\). Do đó ta có: \(C_4^2\) cách.
Giai đoạn \(3\): Ứng với \(3\) bạn hỗ trợ đi lại, \(2\) bạn hỗ trợ tắm rửa, chọn \(2\) bạn còn lại hỗ trợ ăn uống nên ta có \(1\) cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có tổng số cách phân công các bạn tỏng nhóm làm các công việc là:
\(C_7^3. C_4^2. 1\)
\(= \displaystyle \frac{7!}{3!. 4!}. \displaystyle \frac{4!}{2!. 2!} = 210\) (cách)
Vậy có tất cả \(210\) cách để phân công các bạn trong nhóm là các công việc trên.
\(\)
Bài \(6\). Có \(4\) đường thẳng song song cắt \(5\) đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình \(10\)). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
Trả lời:
Ta có mỗi hình bình hành được tạo từ \(2\) cặp đường thẳng song song.
Việc tạo hình bình hành từ \(4\) đường thẳng song song cắt \(5\) đường thẳng song song khác được chia làm hai giai đoạn:
Giai đoạn \(1\): Chọn \(1\) cặp đường thẳng song song từ \(4\) đường thẳng song song là tổ hợp chập \(2\) của \(4\). Do đó ta có \(C_4^2\) cách chọn.
Giai đoạn \(2\): Ứng với mỗi cặp đường thẳng song song vừa chọn, ta chọn \(1\) cặp đường thẳng song song từ \(5\) đường thẳng song song khác là tổ hợp chập \(2\) của \(5\). Do đó ta có \(C_5^2\) cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách tạo hình bình hành là:
\(C_4^2. C_5^2 = \displaystyle \frac{4!}{2!. 2!}. \displaystyle \frac{5!}{2!. 3!} = 60\) (cách)
Vậy có ttất cả \(60\) hình bình hành được tạo thành.
\(\)
Bài \(7\). Mùa giải \(2019\), giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có \(14\) đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?
Trả lời:
Mỗi trận đấu gồm \(2\) đội từ \(14\) đội tham gia và các đội đấu vòng tròn hai lượt đi và về nên mỗi trận đấu là một cách chọn \(2\) đội sắp xếp chúng.
Do đó, mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập \(2\) của \(14\) phần tử.
Vậy số trận đấu có thể xảy ra là:
\(A_4^2 = 14. 13 = 182\) (trận).
Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-1-quy-tac-cong-va-quy-tac-nhan/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-3-nhi-thuc-newton/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.