Bài 2. Hàm số bậc hai

Bài 2. Hàm số bậc hai trang \(47\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Hàm số nào trong các hàm số sau không phải là hàm số bậc hai?
\(a)\) \(y = 3x^2 + x \ – \ \sqrt{3}\);
\(b)\) \(y = x^2 + |x + 1|\);
\(c)\) \(y = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x^2 + 1 \text{ với } x \geq 0\\\ – \ 2x^2 \ – \ x \text{ với } x < 0 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(d)\) \(y = 2(x^2 + 1) + 3x \ – \ 1\).

Trả lời:

\(+)\) Hàm số \(a)\) có dạng \(y = ax^2 + bx + c\) với \(a = 3 \neq 0, b = 1\) và \(c = \ – \ \sqrt{3}\) nên đây là hàm số bậc hai.

\(+)\) Hàm số \(+)\) không phải là hàm số bậc hai vì công thức của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

\(+)\) Hàm số \(c)\) không phải là hàm số bậc hai vì hàm số này được cho bởi hai công thức.

\(+)\) Hàm số \(d)\) \(y = 2(x^2 + 1) + 3x \ – \ 1 \Leftrightarrow y = 2x^2 + 3x + 1\) nên hàm số \(d\) là hàm số bậc hai vì nó có dạng \(y = ax^2 + bx + c\) với \(a = 2 \neq 0, b = 3\) và \(c = 1\).

Vậy các hàm số \(b)\) và hàm số \(c)\) không phải là hàm số bậc hai.

\(\)

Bài \(2\). Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh \(S\), đi qua các điểm \(A, B, C(0; \ – \ 1)\) được cho trong Hình \(10\).

\(a)\) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
\(b)\) Tìm tập giá trị của hàm số và chỉ ra các khoảng biến thiên của hàm số.

Trả lời:

\(a)\) Vẽ parabol có bề lõm hướng lên trên và đi qua các điểm \(A, S, C, B\) ta được đồ thị của hàm số đã cho như hình sau:

\(b)\) Đồ thị hàm số đã cho là parabol có bề lõm quay lên trên nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng tung độ đỉnh của parabol.

Ta có đỉnh \(S\) có tọa độ \((\ – \ 1; \ – \ 3)\). Suy ra hàm số có tập giá trị là \([\ – \ 3; +\infty)\).

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \((\ – \ 1; +\infty)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ 1; +\infty)\)

\(\)

Bài \(3\). Tìm công thức của hàm số có đồ thị vẽ được ở Bài tập \(2\).

Trả lời:

Gọi công thức tổng quát của hàm số bậc hai có dạng: \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \neq 0\)).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\ – \ 1\) nên \(c = \ – \ 1\)

Đỉnh \(S\) có hoành độ \(x_S = \ – \ 1\) hay \(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ 1\)

Suy ra \(b = 2a\).

Do đó công thức của hàm số là: \(y = ax^2 + 2ax \ – \ 1\).

Đồ thị hàm số đi qua đỉnh \(S(\ – \ 1; \ – \ 3)\) nên ta có: \(\ – \ 3 = a . (\ – \ 1)^2 + 2a . (\ – \ 1) \ – \ 1\).

\(\Rightarrow a = 2 \text{ thoả mãn } a \neq 0\)

\(\Rightarrow b = 2a = 4\).

Vậy công thức hàm số cần tìm là \(y = 2x^2 + 4x \ – \ 1\).

\(\)

Bài \(4\). Tìm công thức hàm số bậc hai biết:
\(a)\) Đồ thị hàm số đi qua \(3\) điểm \(A(1; \ – \ 3), B(0; \ – \ 2), C(2; \ – \ 10)\).
\(b)\) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 3\), cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\ – \ 16\) và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là \(\ – \ 2\).

Trả lời:

Công thức hàm số bậc hai có dạng tổng quát là: \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\).

\(a)\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B(0; \ – \ 2)\) nên ta có:

\(\ – \ 2 = a . 0^2 + b . 0 + c\) \(\Rightarrow c = \ – \ 2\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1; \ – \ 3)\) nên ta có:

\(\ – \ 3 = a . 1^2 + b . 1 + c\) hay \(a + b = \ – \ 1\) \((1)\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(C(2; \ – \ 10)\) nên ta có:

\(\ – \ 10 = a. 2^2 + b . 2 + c\) \(\Leftrightarrow 4a + 2b = \ – \ 8\) \((2)\).

Từ \((1), (2)\) suy ra: \(b = 2, a = \ – \ 3 \text{ thoả mãn }\)

Vậy công thức hàm số là \(y = \ – \ 3x^2 + 2x \ – \ 2\).

\(b)\) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\ – \ 16\) nên \(c = \ – \ 16\).

Khi đó, công thức hàm số là \(f(x) = ax^2 + bx \ – \ 16\).

Một trong hai giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ bằng \(\ – \ 2\) nên ta có:

\(a . (\ – \ 2)^2 + b . (\ – \ 2) \ – \ 16 = 0\) \(\Leftrightarrow 2a \ – \ b \ – \ 8 = 0\) \((3)\)

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 3\) nên \(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = 3 \Rightarrow b = \ – \ 6a\) \((4)\)

Thay \((4)\) vào \((3)\) ta được:

\(2a \ – \ (\ – \ 6a) \ – \ 8 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \text{ thoả mãn }\)

\(\Rightarrow b = \ – \ 6 . 1 = \ – \ 6\).

Vậy công thức hàm số là \(y = x^2 \ – \ 6x \ – \ 16\).

\(\)

Bài \(5\). Tìm khoảng biến thiên và tập giá trị của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = f(x) = \ – \ 2x^2 \ – \ 4x + 7\);
\(b)\) \(y = f(x) = x^2 \ – \ 6x + 1\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = f(x) = \ – \ 2x^2 \ – \ 4x + 7\) có hệ số \(a = \ – \ 2 < 0\) và đồ thị của hàm số là parabol có toạ độ đỉnh \(S\) là:

\(x_S = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ \displaystyle \frac{\ – \ 4}{2. (\ – \ 2)} = \ – \ 1\)

\(\Rightarrow y_S = (\ – \ 2). (\ – \ 1)^2 \ – \ 4. (\ – \ 1) + 7 = 9\)

\(\Rightarrow S(\ – \ 1; 9)\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và nghịch biến trên \((\ – \ 1; +\infty)\).

Tập giá trị của hàm số là \(T = (\ – \ \infty; 9]\).

\(b)\) Hàm số \(y = f(x) = x^2 \ – \ 6x + 1\) có hệ số \(a = 1 > 0\) và đồ thị của hàm số là parabol có toạ độ đỉnh \(S\) là:

\(x_S = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ \displaystyle \frac{\ – \ 6}{2. 1)} = 3\)

\(\Rightarrow y_S = 3^2 \ – \ 6. 3 + 1 = \ – \ 8\)

\(\Rightarrow S(3; \ – \ 8)\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên \((3; +\infty)\) và nghịch biến trên \((\ – \ \infty; 3)\).

Tập giá trị của hàm số là \(T = [\ – \ 8; +\infty)\).

\(\)

Bài \(6\). Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất của hàm số, tập giá trị và các khoảng biến thiên của hàm số biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh \(S\) như Hình \(11\).

Trả lời:

Hàm số có đồ thị là parabol nên đó là hàm số bậc hai. Do đó hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Do parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh \(S(2; \ – \ 1)\) nên hàm số có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số có tập giá trị \(T = (\ – \ \infty; \ – \ 1)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 2)\), nghịch biến trên khoảng \((2; +\infty)\)

\(\)

Bài \(7\). Giả sử hàm số bậc hai mô phỏng vòm phía trong một trụ của cầu Nhật Tân là
\(y = f(x) = \ – \ \displaystyle \frac{187}{856} x^2 + \displaystyle \frac{8041}{856}x\) (đơn vị đo: mét)
\(a)\) Hãy tính chiều dài đoạn dây dọi sử dụng nếu khoảng cách từ chân của trụ cầu đến quả nặng là \(30cm\).
\(b)\) Hãy tính khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng nếu biết chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là \(15m\).

Trả lời:

Từ bài \(4\) phần Bài tập mẫu, ta có đồ thị hàm số \(y = f(x) = \ – \ \displaystyle \frac{187}{856} x^2 + \displaystyle \frac{8041}{856}x\) như hình sau:

Xét điểm \(B\).

\(a)\) Chiều dài đoạn dây dọi sử dụng chính là tung độ của điểm \(B\) trên parabol tức là \(l = y_B = BB’\).

Đổi \(30 cm = 0,3 m\)

Ta có \(x_B = 0,3 \)

\(\Rightarrow l = y_B = BB’ = \ – \ \displaystyle \frac{187}{856} 0,3^2 + \displaystyle \frac{8041}{856}. 0,3 \approx 2,8 (m)\).

Vậy chiều dài đoạn dây dọi khoảng \(2,8 m\).

\(b)\) Khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng chính là hoành độ điểm \(B\) trên parabol \((x_B)\) tương với \(y_B = 15\)

\(y_B = f(x_B) = \ – \ \displaystyle \frac{187}{856} x_B^2 + \displaystyle \frac{8041}{856}x_B = 15\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 187 x_B^2 + 8041 x_B \ – \ 12840 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x_1 \approx 41,34\\x_2 = 1,66 \end{array} \right. \end{equation}\).

Vậy khoảng cách từ chân trụ cầu bên trái đến quả nặng là khoảng \(1,66 m\), khoảng cách từ chân trụ cầu bên phải đến quả nặng khoảng \(41,34 m\).

Theo đề bài. Ta chọn kết quả \(1,66 m\).Bà|i 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai

Xem bài giải trước: Bài 1 – Hàm số và đồ thị
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương III
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech