Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài \(18\). Phương trình quy về phương trình bậc hai trang \(25\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(6.20\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 4x \ – \ 1} = \sqrt{2x^2 \ – \ 4x + 3}\);
\(b)\) \(\sqrt{x^2 + 2x \ – \ 3} = \sqrt{\ – \ 2x^2 + 5}\);
\(c)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 3} = \sqrt{\ – \ x^2 \ – \ x + 1}\);
\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 5x \ – \ 4} = \sqrt{\ – \ 2x^2 + 4x + 2}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 4x \ – \ 1} = \sqrt{2x^2 \ – \ 4x + 3}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(3x^2 \ – \ 4x \ – \ 1 = 2x^2 \ – \ 4x + 3\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 2)(x + 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = 2\\x = \ – \ 2 \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị tìm được này vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{\ – \ 2; 2\}\).

\(b)\) \(\sqrt{x^2 + 2x \ – \ 3} = \sqrt{\ – \ 2x^2 + 5}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(x^2 + 2x \ – \ 3 = \ – \ 2x^2 + 5\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 + 2x \ – \ 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = \ – \ 2\\x = \displaystyle \frac{4}{3} \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{4}{3}\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{4}{3}\).

\(c)\) \(\sqrt{2x^2 + 3x \ – \ 3} = \sqrt{\ – \ x^2 \ – \ x + 1}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2x^2 + 3x \ – \ 3 = \ – \ x^2 \ – \ x + 1\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 + 4x \ – \ 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \ – \ 2\\x = \displaystyle \frac{2}{3} \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 5x \ – \ 4} = \sqrt{\ – \ 2x^2 + 4x + 2}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\ – \ x^2 + 5x \ – \ 4 = \ – \ 2x^2 + 4x + 2\)

\(\Leftrightarrow x^2 + x \ – \ 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \ – \ 3\\x = 2 \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(x = 2\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\)

\(\)

Bài \(6.21\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4\);
\(b)\) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = \ – \ 3 \ – \ x\);
\(c)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 17x + 23} = x \ – \ 3\);
\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 2x + 4} = x \ – \ 2\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4\)

\(\Leftrightarrow 6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2\)

\(\Leftrightarrow 6x^2 + 13x + 13 = 4x^2 + 16x + 16\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 3x \ – \ 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \displaystyle \frac{3 \ – \ \sqrt{33}}{4}\\x = \displaystyle \frac{3 + \sqrt{33}}{4} \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{\displaystyle \frac{3 \ – \ \sqrt{33}}{4}; \displaystyle \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right\}\)

\(b)\) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = \ – \ 3 \ – \ x\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2x^2 + 5x + 3 = (\ – \ 3 \ – \ x)^2\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 + 5x + 3 = 9 + 6x + x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ x \ – \ 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = \ – \ 2\\x = 3 \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(c)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 17x + 23} = x \ – \ 3\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(3x^2 \ – \ 17x + 23 = x^2 \ – \ 6x + 9\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 11x + 14 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = 2\\x = \displaystyle \frac{7}{2} \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\)

\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 2x + 4} = x \ – \ 2\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\ – \ x^2 + 2x + 4 = x^2 \ – \ 4x + 4\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 \ – \ 6x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x(x \ – \ 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = 0\\x = 3 \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có nghiệm \(x = 3\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 3\).

\(\)

Bài \(6.22\). Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB \perp CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21)\). Gọi \(H\) là giao điểm \(AB\) và \(CD\) và đặt \(x = AH\). Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài \(x\), từ đó tính diện tích tứ giác \(ABCD\).

Trả lời:

Ta có: \(AH = x\) suy ra \(x > 0\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(AHD\) ta có:

\(AD^2 = AH^2 + HD^2\)

\(\Rightarrow HD^2 = AD^2 \ – \ AH^2 = 5^2 \ – \ x^2 = 25 \ – \ x^2\)

\(\Rightarrow HD = \sqrt{25 \ – \ x^2}\)

Suy ra: \(HB = AH + AB = x + 2\)

\(HC = HD + CD = \sqrt{25 \ – \ x^2} + 8\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(HBC\) ta có:

\(BC^2 = HB^2 + HC^2\)

\(\Leftrightarrow 13^2 = (x + 2)^2 + (\sqrt{25 \ – \ x^2} + 8)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 + 25 \ – \ x^2 +16. \sqrt{25 \ – \ x^2} + 64 = 169\)

\(\Leftrightarrow 16.\sqrt{25 \ – \ x^2} = \ – \ 4x + 76\)

\(\Leftrightarrow 4.\sqrt{25 \ – \ x^2} = \ – \ x + 19\)

Để tìm \(x\), ta giải phương trình \(4\sqrt{25 \ – \ x^2} = \ – \ x + 19\) \((*)\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(16. (25 \ – \ x^2) = (\ – \ x + 19)^2\)

\(\Leftrightarrow 17x^2 \ – \ 38x \ – \ 39 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 3\\x = \displaystyle \frac{\ – \ 13}{17} \end{matrix} \right.\)

Thay hai nghiệm tìm được vào phương trình \((*)\) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do \(x > 0\) nên chọn nghiệm \(x = 3\)

Suy ra \(AH = 3\)

\(HD = \sqrt{25 \ – \ 3^2} = \sqrt{16} = 4\)

\(HB = 3 + 2 = 5\)

\(HC = 4 + 8 = 12\)

Diện tích tam giác \(HAD\) là:

\(S_{HAD} = \displaystyle \frac{1}{2}. HA. HD = \displaystyle \frac{1}{2}. 3. 4 = 6\)

Diện tích tam giác \(HBC\) là:

\(S_{HBC} = \displaystyle \frac{1}{2}. HB. HC = \displaystyle \frac{1}{2}. 5. 12 = 30\)

\(\Rightarrow\) Diện tích tứ giác \(ABCD\) là:

\(S_{ABCD} = S_{HBC} \ – \ S_{HAD} = 30 \ – \ 6 = 24\)

Vậy diện tích tứ giác \(ABCD\) là \(24\) đvdt.

\(\)

Bài \(6.23\). Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \(A\) cách lề đường một khoảng \(50\) m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \(B\), cách mình một đoạn \(200\) m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là \(5\) km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là \(15\) km/h. Hãy xác định vị trí \(C\) trên lề đường \((H.6.22)\) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

Đổi \(200 m = 0, 2 km\)

\(50 m = 0, 05 km\).

Đặt \(CH = x\) (km). Ta có \(x > 0\).

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(CAH\) ta có:

\(CA^2 = CH^2 + AH^2 = x^2 + 0,05^2\)

\(= x^2 + 0,0025\)

Suy ra quãng đường Minh di chuyển đến lúc gặp nhau là:

\(CA = \sqrt{x^2 + 0,0025}\)

Do vận tốc đi bộ của Minh là \(5\) km/h nên thời gian di chuyển của Minh đến lúc gặp nhau là:

\(t_M = \displaystyle \frac{\sqrt{x^2 + 0,0025}}{5}\) (giờ)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(HAB\) ta có:

\(AB^2 = AH^2 + HB^2\)

\(\Rightarrow HB^2 = AB^2 \ – \ AH^2 = 0,2^2 \ – 0,05^2\)

\(= 0,0375\)

\(\Rightarrow HB = \sqrt{0,0375} = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20}\)

Suy ra quãng đường Hùng di chuyển được đến lúc gặp nhau là:

\(BC = HB \ – \ HC = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20} \ – \ x\)

Do vận tốc đạp xe của Hùng là \(15\) km/h nên thời gian di chuyển của Hùng đến lúc gặp nhau là:

\(t_H = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20} \ – \ x}{15} = \displaystyle \frac{\sqrt{15} \ – \ 20x}{300}\) (giờ)

Hai bạn cùng khởi hành nên để hai bạn không phải chờ nhau thì thời gian di chuyển đến lúc gặp nhau của hai bạn là như nhau.

\(\Leftrightarrow t_M = t_H\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\sqrt{x^2 + 0,0025}}{5} = \displaystyle \frac{\sqrt{15} \ – \ 20x}{300}\)

\(\Leftrightarrow 60\sqrt{x^2 + 0,0025} = \sqrt{15} \ – \ 20x\) \((*)\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(3600. (x^2 + 0,0025) = 15 \ – \ 40\sqrt{15}x + 400x^2\)

\(\Leftrightarrow 3200x^2 + 40\sqrt{15}x \ – \ 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{15} \ – \ 3\sqrt{7}}{160}\\x = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160} \end{matrix} \right.\)

Thay lần lượt các giá tị tìm được vào phương trình \((*)\) ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Kết hợp với điều kiện \(x > 0\) nên chọn \(x = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160}\)

Suy ra \(BC = BH \ – \ BC = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{20} \ – \ \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{15} + 3\sqrt{7}}{160}\)

\(\approx 0,1682 km = 168,2 m\)

Vậy vị trí \(C\) thoả mãn yêu cầu đề bài là điểm cách điểm \(B\) khoảng \(168,2\) m.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 19: Phương trình đường thẳng
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:

Website: https://bumbii.com/

Diễn đàn hỏi đáp: https://hoidap.bumbii.com

Facebook: https://www.facebook.com/bumbiitech

Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x