Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Chương 4 – Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng trang 68 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

4.41. Trong những tam giác dưới đây (H.4.46), tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?

Giải

\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A vì \(AB = AC.\)

Xét \(\Delta DEF\) có: \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow 70^o + 50^o + \widehat{F}=180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{F}=180^o-70^o-50^o=60^o.\)

\(\Delta DEF\) không phải tam giác cân vì \(\widehat{D} \neq \widehat{E} \neq \widehat{F}.\)

\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh M vì \(\widehat{N}=\widehat{P}=50^o.\)

Xét \(\Delta KGH\) có: \(\widehat{K}+\widehat{G}+\widehat{H}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow 40^o + 70^o + \widehat{H}=180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{H}=180^o-40^o-70^o=70^o.\)

\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh K vì \(\widehat{G}=\widehat{H}=70^o.\)

\(\)

4.42. Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47).

Giải

\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A vì \(AB = AC.\)

Suy ra \(\widehat{B}=\widehat{C}=65^o.\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{A} + 65^o + 65^o=180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{A}=180^o-65^o-65^o=50^o.\)

\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh M vì \(MN = MP.\)

Suy ra \(\widehat{N}=\widehat{P}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-75^o}{2}=52,5^o.\)

\(\)

4.43. Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Giải

Xét tam giác AEB vuông tại E và tam giác AFC vuông tại F ta có:

BE = CF (theo giả thiết);

\(\widehat{ACF}=\widehat{ABE}\ (=90^o-\widehat{A})\);

Vậy \(\Delta AEB = \Delta AFC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A.

\(\)

4.44. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a) \(∆ABD\) vuông tại B.

b) \(∆ABD = ∆BAC.\)

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Giải

a) Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (theo giả thiết);

MB = MC (M là trung điểm của BC);

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\) (hai góc đối đỉnh).

Vậy \(∆AMC = ∆DMB\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{DBM}=\widehat{MCA}\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ABM}+\widehat{DBM}=\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^o.\)

Suy ra \(∆ABD\) vuông tại B.

b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do \(∆AMC = ∆DMB\))

AB là cạnh chung

Vậy \(∆ABD = ∆BAC\) (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

\(⇒\widehat{BDA} =\widehat{CAD}\) (hai góc so le trong).

Lại có: \(\widehat{ACB} =\widehat{BDA}\) (do \(∆ABD = ∆BAC\)).

Do đó \(\widehat{CAD} =\widehat{ACB},\) hay \(\widehat{CAM} =\widehat{ACM}.\)

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó tam giác AMB cân tại đỉnh M.

\(\)

4.45. Cho tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Chứng minh rằng:

a) Hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau (H.4.50a).

b) Hai đường phân giác BE, CF bằng nhau (H.4.50b).

Giải

a) BM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM = MC = \(\displaystyle\frac{AC}{2}.\)

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AN = NB = \(\displaystyle\frac{AB}{2}.\)

Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A).

Do đó AM = MC = AN = NB.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat{A}\) là góc chung;

AM = AN (chứng minh trên);

Vậy \(∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c).

Suy ra BM = CN.

b) Do BE là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABE}=\displaystyle\frac{\widehat{ABC}}{2}.\)

Và CF là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACF}=\displaystyle\frac{\widehat{ACB}}{2}.\)

Lại có \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A).

Do đó \(\widehat{ABE} =\widehat{ACF}.\)

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

\(\widehat{A}\) là góc chung;

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat{ABE} =\widehat{ACF}\) (chứng minh trên);

Vậy \(∆ABE = ∆ACF\) (g.c.g)

Suy ra BE = CF.

\(\)

4.46. Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng:

a) \(∆AEB\) và \(∆DEC\) là các tam giác cân đỉnh E.

b) AB // CD.

Giải

a) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:

AB là cạnh huyền chung;

AD = CB (theo giả thiết);

Vậy \(∆ADB = ∆BCA\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat{DBA} =\widehat{CAB}.\)

Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.

Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:

AD = CB (theo giả thiết);

EA = EB (\(∆EAB\) cân tại E);

Vậy \(∆ADE = ∆BCE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ED = EC.

Do đó tam giác EDC cân tại đỉnh E.

b) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:

\(\widehat{EBA} +\widehat{EAB} +\widehat{AEB} =180^o\)

Mà \(\widehat{EBA} =\widehat{EAB}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat{EBA} =\displaystyle\frac{180^o-\widehat{AEB}}{2}.\) (1)

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:

\(\widehat{EDC} +\widehat{ECD} +\widehat{DEC} =180^o\)

Mà \(\widehat{EDC} =\widehat{ECD}\) (\(∆ECD\) cân tại E).

Suy ra \(\widehat{EDC} =\displaystyle\frac{180^o-\widehat{DEC}}{2}.\) (2)

Ta lại có: \(\widehat{AEB} =\widehat{DEC}\) (hai góc đối đỉnh). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{EBA} =\widehat{EDC}\), hay \(\widehat{DBA} =\widehat{BDC}.\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy AB // DC.

\(\)

4.47. Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có \(\widehat{ABH} =60^o.\) Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều và BH = \(\displaystyle\frac{AB}{2}.\)

Giải

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AH là cạnh chung;

HB = HC (theo giả thiết);

Vậy \(∆ABH = ∆ACH\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC. (1)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

\(⇒\widehat{C} =\widehat{B} =\widehat{ABH} =60^o.\)

Ta có: \(\widehat{BAC} +\widehat{B} +\widehat{C} =180^o\) (định lí tổng ba góc trong tam giác).

\(\widehat{BAC} =180^o-\widehat{B}-\widehat{C}\)

\(=180^o-60^o-60^o=60^o.\)

Khi đó \(\widehat{B} =\widehat{BAC},\) do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.

Vậy \(∆ABC\) đều.

Vì điểm H nằm giữa điểm B và điểm C mà HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra \(BH=\displaystyle\frac{BC}{2}.\)

Mà BC = AB (chứng minh trên).

Vậy \(BH = \displaystyle\frac{AB}{2}\).

\(\)

4.48. Đường thẳng d trong hình nào dưới đây là trung trực của đoạn thẳng AB?

Giải

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Do đó chỉ có đường thẳng d trong Hình 4.53a là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

\(\)

4.49. Cho A là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho A không thuộc BC. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a) AB = AC.

b) Tam giác ABC đều.

c) \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}.\)

d) Tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Giải

Điểm A thuộc đường trung trực của BC nên AB = AC (điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).

Do đó \(∆ABC\) cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}.\)

Vậy các câu a), c), d) đúng.

Câu b) chưa đúng vì ta chưa đủ dữ kiện để tam giác ABC đều, do ta chỉ có AB = AC, và độ dài đoạn thẳng BC bất kì.

\(\)

4.50. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đường cao AH. Cho M là một điểm tùy ý trên đường thẳng AH sao cho M không trùng với A (H.4.54). Chứng minh rằng: \(\widehat{MBA} =\widehat{MCA}.\)