Chương 4 – Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng trang 68 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
Giải
4.41. Trong những tam giác dưới đây (H.4.46), tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-411.png)
Giải
\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A vì \(AB = AC.\)
Xét \(\Delta DEF\) có: \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow 70^o + 50^o + \widehat{F}=180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{F}=180^o-70^o-50^o=60^o.\)
\(\Delta DEF\) không phải tam giác cân vì \(\widehat{D} \neq \widehat{E} \neq \widehat{F}.\)
\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh M vì \(\widehat{N}=\widehat{P}=50^o.\)
Xét \(\Delta KGH\) có: \(\widehat{K}+\widehat{G}+\widehat{H}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow 40^o + 70^o + \widehat{H}=180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{H}=180^o-40^o-70^o=70^o.\)
\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh K vì \(\widehat{G}=\widehat{H}=70^o.\)
\(\)
4.42. Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47).
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-412.png)
Giải
\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A vì \(AB = AC.\)
Suy ra \(\widehat{B}=\widehat{C}=65^o.\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o.\)(định lí tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow \widehat{A} + 65^o + 65^o=180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{A}=180^o-65^o-65^o=50^o.\)
\(\Delta MNP\) cân tại đỉnh M vì \(MN = MP.\)
Suy ra \(\widehat{N}=\widehat{P}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-75^o}{2}=52,5^o.\)
\(\)
4.43. Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại đỉnh A.
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-413.png)
Giải
Xét tam giác AEB vuông tại E và tam giác AFC vuông tại F ta có:
BE = CF (theo giả thiết);
\(\widehat{ACF}=\widehat{ABE}\ (=90^o-\widehat{A})\);
Vậy \(\Delta AEB = \Delta AFC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A.
\(\)
4.44. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:
a) \(∆ABD\) vuông tại B.
b) \(∆ABD = ∆BAC.\)
c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-414.png)
Giải
a) Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:
MA = MD (theo giả thiết);
MB = MC (M là trung điểm của BC);
\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\) (hai góc đối đỉnh).
Vậy \(∆AMC = ∆DMB\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{DBM}=\widehat{MCA}\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ABM}+\widehat{DBM}=\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^o.\)
Suy ra \(∆ABD\) vuông tại B.
b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:
BD = AC (do \(∆AMC = ∆DMB\))
AB là cạnh chung
Vậy \(∆ABD = ∆BAC\) (hai cạnh góc vuông).
c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.
Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.
Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).
\(⇒\widehat{BDA} =\widehat{CAD}\) (hai góc so le trong).
Lại có: \(\widehat{ACB} =\widehat{BDA}\) (do \(∆ABD = ∆BAC\)).
Do đó \(\widehat{CAD} =\widehat{ACB},\) hay \(\widehat{CAM} =\widehat{ACM}.\)
Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.
Khi đó MA = MC.
Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Nên MA = MB = MC.
Do đó tam giác AMB cân tại đỉnh M.
\(\)
4.45. Cho tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Chứng minh rằng:
a) Hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau (H.4.50a).
b) Hai đường phân giác BE, CF bằng nhau (H.4.50b).
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-415.png)
Giải
a) BM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM = MC = \(\displaystyle\frac{AC}{2}.\)
CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AN = NB = \(\displaystyle\frac{AB}{2}.\)
Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A).
Do đó AM = MC = AN = NB.
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:
AB = AC (chứng minh trên);
\(\widehat{A}\) là góc chung;
AM = AN (chứng minh trên);
Vậy \(∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c).
Suy ra BM = CN.
b) Do BE là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABE}=\displaystyle\frac{\widehat{ABC}}{2}.\)
Và CF là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACF}=\displaystyle\frac{\widehat{ACB}}{2}.\)
Lại có \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A).
Do đó \(\widehat{ABE} =\widehat{ACF}.\)
Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:
\(\widehat{A}\) là góc chung;
AB = AC (chứng minh trên);
\(\widehat{ABE} =\widehat{ACF}\) (chứng minh trên);
Vậy \(∆ABE = ∆ACF\) (g.c.g)
Suy ra BE = CF.
\(\)
4.46. Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng:
a) \(∆AEB\) và \(∆DEC\) là các tam giác cân đỉnh E.
b) AB // CD.
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-416.png)
Giải
a) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:
AB là cạnh huyền chung;
AD = CB (theo giả thiết);
Vậy \(∆ADB = ∆BCA\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{DBA} =\widehat{CAB}.\)
Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.
Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:
AD = CB (theo giả thiết);
EA = EB (\(∆EAB\) cân tại E);
Vậy \(∆ADE = ∆BCE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra ED = EC.
Do đó tam giác EDC cân tại đỉnh E.
b) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:
\(\widehat{EBA} +\widehat{EAB} +\widehat{AEB} =180^o\)
Mà \(\widehat{EBA} =\widehat{EAB}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat{EBA} =\displaystyle\frac{180^o-\widehat{AEB}}{2}.\) (1)
Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:
\(\widehat{EDC} +\widehat{ECD} +\widehat{DEC} =180^o\)
Mà \(\widehat{EDC} =\widehat{ECD}\) (\(∆ECD\) cân tại E).
Suy ra \(\widehat{EDC} =\displaystyle\frac{180^o-\widehat{DEC}}{2}.\) (2)
Ta lại có: \(\widehat{AEB} =\widehat{DEC}\) (hai góc đối đỉnh). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{EBA} =\widehat{EDC}\), hay \(\widehat{DBA} =\widehat{BDC}.\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy AB // DC.
\(\)
4.47. Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có \(\widehat{ABH} =60^o.\) Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều và BH = \(\displaystyle\frac{AB}{2}.\)
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-417.png)
Giải
Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:
AH là cạnh chung;
HB = HC (theo giả thiết);
Vậy \(∆ABH = ∆ACH\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC. (1)
Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.
\(⇒\widehat{C} =\widehat{B} =\widehat{ABH} =60^o.\)
Ta có: \(\widehat{BAC} +\widehat{B} +\widehat{C} =180^o\) (định lí tổng ba góc trong tam giác).
\(\widehat{BAC} =180^o-\widehat{B}-\widehat{C}\)
\(=180^o-60^o-60^o=60^o.\)
Khi đó \(\widehat{B} =\widehat{BAC},\) do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.
Vậy \(∆ABC\) đều.
Vì điểm H nằm giữa điểm B và điểm C mà HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.
Suy ra \(BH=\displaystyle\frac{BC}{2}.\)
Mà BC = AB (chứng minh trên).
Vậy \(BH = \displaystyle\frac{AB}{2}\).
\(\)
4.48. Đường thẳng d trong hình nào dưới đây là trung trực của đoạn thẳng AB?
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-418.png)
Giải
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Do đó chỉ có đường thẳng d trong Hình 4.53a là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
\(\)
4.49. Cho A là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho A không thuộc BC. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
a) AB = AC.
b) Tam giác ABC đều.
c) \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}.\)
d) Tam giác ABC cân tại đỉnh A.
Giải
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-419.png)
Điểm A thuộc đường trung trực của BC nên AB = AC (điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).
Do đó \(∆ABC\) cân tại đỉnh A.
Suy ra \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}.\)
Vậy các câu a), c), d) đúng.
Câu b) chưa đúng vì ta chưa đủ dữ kiện để tam giác ABC đều, do ta chỉ có AB = AC, và độ dài đoạn thẳng BC bất kì.
\(\)
4.50. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đường cao AH. Cho M là một điểm tùy ý trên đường thẳng AH sao cho M không trùng với A (H.4.54). Chứng minh rằng: \(\widehat{MBA} =\widehat{MCA}.\)
![Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/12/image-420.png)
Giải
Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:
AB = AC (\(∆ABC\) cân tại A)
AH là cạnh chung
Vậy \(∆ABH = ∆ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{BAH} =\widehat{CAH},\) hay \(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}.\)
Xét tam giác ABM và ACM có:
AB = AC (\(∆ABC\) cân tại A)
\(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}\)
AM là cạnh chung.
Vậy \(∆ABM = ∆ACM\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{MBA} =\widehat{MCA}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Xem bài giải tiếp theo: Ôn tập chương IV
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
![](https://bumbii.com/wp-content/uploads/2022/10/hadd.png)