Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Chương 4 – Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông trang 64 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

4.31. Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau?

Giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại B và tam giác ADC vuông tại D ta có:

BC = CD (theo giả thiết);

AB = AD (theo giả thiết);

Vậy \(\Delta ABC = \Delta ADC\) (hai cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác EFG vuông tại E và tam giác KHG vuông tại K ta có:

GF = GH (theo giả thiết);

\(\widehat{EGF} = \widehat{KGH}\) (theo giả thiết);

Vậy \(\Delta EHG = \Delta HFG\) (cạnh huyền – góc nhọn).

c) Xét tam giác OQP vuông tại Q và tam giác OMN vuông tại M ta có:

QP = MN (theo giả thiết);

\(\widehat{MNO}=\widehat{QPO}\ (= 90^o-\widehat{O})\);

Vậy \(\Delta OQP = \Delta OMN\) (cạnh góc vuông – góc nhọn).

d) Xét tam giác XYZ vuông tại X và tam giác STZ vuông tại S ta có:

YZ = TZ (theo giả thiết);

XZ = SZ (theo giả thiết);

Vậy \(\Delta XYZ = \Delta STZ\) (canh huyền – cạnh góc vuông).

\(\)

4.32. Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34. Biết rằng E là trung điểm của BC, chứng minh rằng \(∆ABE = ∆DCE.\)

Giải

Xét tam giác ABE vuông tại B và tam giác DCE vuông tại C ta có:

BE = CE (E là trung điểm của BC);

\(\widehat{BEA}=\widehat{CED}\) (hai góc đối đỉnh);

Vậy \(∆ABE = ∆DCE\) (cạnh góc vuông – góc nhọn).

\(\)

4.33. Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED.

Chứng minh rằng:

a) \(∆AED = ∆BEC.\)

b) \(∆ABC = ∆BAD.\)

Giải

a) Xét tam giác AED vuông tại E và tam giác BEC vuông tại E ta có:

EA = EB (theo giả thiết);

EC = ED (theo giả thiết);

Vậy \(\Delta AED = \Delta BEC\) (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì \(∆AED = ∆BEC\) nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét \(∆ABC\) và \(∆BAD\) có:

BC = AD (chứng minh trên);

AB là cạnh chung;

AC = BD (chứng minh trên).

Vậy \(∆ABC = ∆BAD\) (c.c.c).

\(\)

4.34. Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng BN = CM và BN ⊥ CM.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = \(\displaystyle\frac{AD}{2}\).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\displaystyle\frac{AB}{2}\).

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét \(∆ANB\) vuông tại A và \(∆BMC\) vuông tại B có:

AN = BM (chứng minh trên);

AB = BC (chứng minh trên);

Vậy \(∆ANB = ∆BMC\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do \(∆ANB = ∆BMC\) nên \(\widehat{EMB} =\widehat{CMB} =\widehat{BNA}.\)

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN suy ra:

\(\widehat{BEM} =180^o-\widehat{EMB}-\widehat{MBE}\)

\(=180^o-\widehat{BNA}-\widehat{ABN}\)

\(=\widehat{BAN}=90^o.\)

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

\(\)

4.35. Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37. Biết rằng \(\widehat{DAB} =\widehat{CAB},\) hãy chứng minh CB = DB.

Giải

Xét \(∆ABC\) vuông tại C và \(∆ABD\) vuông tại D có:

AB là cạnh chung;

\(\widehat{CAB} = \widehat{DAB}\) (theo giả thiết);

Vậy \(∆ABC = ∆ABD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

4.36. Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38. Biết rằng \(∆ABC = ∆DEF\), hãy chứng minh AH = DK.

Giải

Vì \(∆ABC = ∆DEF\) nên \(AB = DE;\ \widehat{ABC}=\widehat{DEF}\)

Xét tam giác HAB vuông tại H và tam giác KDE vuông tại K có:

AB = DE (chứng minh trên);

\(\widehat{ABC}=\widehat{DEF}\) (chứng minh trên);

Vậy \(∆HAB = ∆KDE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

\(\)

4.37. Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng:

a) Nếu AB = DE; BC = EF và AH = DK thì \(∆ABC = ∆DEF;\)

b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì \(∆ABC = ∆DEF.\)

Giải

a) Xét \(∆ABH\) vuông tại H và \(∆DEK\) vuông tại K có:

AB = DE (theo giả thiết);

AH = DK (theo giả thiết);

Vậy \(∆ABH = ∆DEK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat{B} =\widehat{E}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(∆ABC\) và \(∆DEF\) có:

\(\widehat{B} =\widehat{E}\) (chứng minh trên)

BA = ED (theo giả thiết)

BC = EF (theo giả thiết)

Vậy \(∆ABC = ∆DEF\) (c.g.c).

b) Xét \(∆ABH\) vuông tại H và \(∆DEK\) vuông tại K có:

AB = DE (theo giả thiết);

AH = DK (theo giả thiết);

Vậy \(∆ABH = ∆DEK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = EK.

Xét \(∆ACH\) vuông tại H và \(∆DFK\) vuông tại K có:

AC = DF (theo giả thiết);

AH = DK (theo giả thiết);

Vậy \(∆ACH = ∆DFK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK.

Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Hai tam giác ABC và DEF có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (theo giả thiết)

AB = DE (theo giả thiết)

Vậy \(∆ABC = ∆DEF\) (c.c.c).

\(\)

4.38. Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

Giải

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông DCB có:

AB = DC (theo giả thiết);

BC là cạnh chung

Vậy \(∆ABC = ∆DCB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì \(∆ABC = ∆DCB\) nên \(\widehat{ABC}=\widehat{DCB},\) \(\widehat{ACB} = \widehat{DBC},\)

Suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}-\widehat{DBC}\) \(=\widehat{DCB}-\widehat{ACB}=\widehat{DCA}.\)

Xét hai tam giác ABD và ACD có:

BA = CD (theo giả thiết);

BD = CA (theo giả thiết);

\(\widehat{ABD}=\widehat{DCA}\).

Vậy \(∆ABD = ∆ACD\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{ADB}=\widehat{DAC}.\)

Gọi E là giao điểm của AC và BD thì ta có:

\(\widehat{ADB}=\displaystyle\frac{\widehat{ADB}+\widehat{DAC}}{2}=\displaystyle\frac{\widehat{ADE}+\widehat{DAE}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{AED}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BEC}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{\widehat{EBC}+\widehat{ECB}}{2}=\displaystyle\frac{\widehat{ACB}+\widehat{DBC}}{2}=\widehat{DBC}.\)

Vậy AD // BC (hai góc so le trong bằng nhau).

\(\)

3.39. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41). Chứng minh rằng:

a) AF = CE.

b) AF // CE.