Bài 16. Hàm số bậc hai

Bài \(16\). Hàm số bậc hai trang \(11\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(6.7\). Vẽ các đường parabol sau:
\(a)\) \(y = x^2 \ – \ 3x + 2\);
\(b)\) \(y = \ – \ 2x^2 + 2x + 3\);
\(c)\) \(y = x^2 + 2x + 1\);
\(d)\) \(y = \ – \ x^2 + x \ – \ 1\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = x^2 \ – \ 3x + 2\)

Ta có: \(a = 1 > 0\) nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên.

• Tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{3}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\right)\).
• Trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
• Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(A(0; 2)\)
• Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(x^2 \ – \ 3x + 2 = 0\) tức là \(x = 1 \text{ và } x = 2\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\) là điểm \(B(3; 2)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

\(b)\) \(y = \ – \ 2x^2 + 2x + 3\)

Ta có: \(a = \ – \ 2 < 0\) nên parabol có bề lõm quay xuống dưới.

• Tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{7}{2}\right)\)
• Trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\)
• Parabol cắt trục tung tại điểm \(A(0; 3)\)
• Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(\ – \ 2x^2 + 2x + 3 = 0\) tức là \(x = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \text { và } x = \displaystyle \frac{1 \ – \ \sqrt{7}}{2}\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là điểm \(B(1; 3)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

\(c)\) \(y = x^2 + 2x + 1\)

Ta có: \(a = 1 > 0\) nên parabol có bề lõm quay lên trên.

• Tọa độ đỉnh \(I(\ – \ 1; 0)\)
• Trục đối xứng \(x = \ – \ 1\)
• Parabol cắt trục tung tại điểm \(A(0; 1)\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(x = \ – \ 1\) là \(B(\ – \ 2; 1)\)
• Lấy điểm \(C(1; 4)\) thuộc Parabol, khi đó ta có điểm đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(\ – \ 3; 4)\).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

\(d)\) \(y = \ – \ x^2 + x \ – \ 1\)

Ta có: \(a = \ – \ 1 < 0\) nên parabol có bề lõm quay xuống dưới.

• Tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{1}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{3}{4}\right)\).
• Trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\)
• Parabol cắt trục tung tại điểm \(A(0; \ – \ 1)\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\) là \(B(1; \ – \ 1)\)
• Lấy điểm \(C(\ – \ 1; \ – \ 3)\) thuộc parabol, điểm đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(2; \ – \ 3)\).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần tìm.

\(\)

Bài \(6.8\). Từ các parabol đã vẽ ở bài tập \(6.7\), hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Trả lời:

Quan sát các đồ thị ta thấy:

\(a)\) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\), đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{3}{2}; + \infty\right)\) nên hàm số \(y = x^2 \ – \ 3x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\), đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{3}{2}; + \infty \right)\).

\(b)\) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2} \right)\), đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; + \infty \right)\) nên hàm số \(y = \ – \ 2x^2 + 2x + 3\) đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; + \infty \right)\).

\(c)\) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và đi lên từ trái qua phải trên khoảng \((\ – \ 1; + \infty)\) nên hàm số \(y = x^2 + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và đồng biến trên khoảng \((\ – \ 1; + \infty)\).

\(d)\) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\) và đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; + \infty \right)\) nên hàm số \(y = \ – \ x^2 + x \ – \ 1\) đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; + \infty \right)\).

\(\)

Bài \(6.9\). Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 1\), trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) Đi qua hai điểm \(A(1; 0)\) và \(B(2; 4)\).
\(b)\) Đi qua điểm \(A(1; 0)\) và có trục đối xứng \(x = 1\).
\(c)\) Có đỉnh \(I(1; 2)\).
\(d)\) Đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 6)\) và có tung độ đỉnh \(\ – \ 0,25\).

Trả lời:

\(a)\) Parabol đi qua hai điểm \(A(1; 0) \text{ và } B(2; 4)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình của parabol, ta có:

\(\left \{\begin{matrix}a.1^2 + b. 1 + 1 = 0\\a. 2^2 + b. 2 + 1 = 4 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a + b = \ – \ 1\\4a + 2b = 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = \ – \ 1 \ – \ b\\4(\ – \ 1 \ – \ b) + 2b = 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = \ – \ 1 \ – \ b\\2b = \ – \ 7 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}b = \displaystyle \frac{\ – \ 7}{2}\\a = \displaystyle \frac{5}{2} \end{matrix} \right.\)

Vậy phương trình parabol là:

\(y = \displaystyle \frac{5}{2}x^2 \ – \ \displaystyle \frac{7}{2}x + 1\).

\(b)\) Parabol đi qua điểm \(A(1; 0)\) nên ta có:

\(0 = a. 1^2 + b. x + 1\)

\(\Leftrightarrow a = \ – \ 1 \ – \ b\) \((1)\)

Lại có: Parabol có trục đối xứng \(x = 1\) suy ra:

\(\displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 1\)

\(\Leftrightarrow a = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(\ – \ 1 \ – \ b = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2}\)

\(\Leftrightarrow b = \ – \ 2\)

\(\Rightarrow a = 1\)

Vậy phương trình parabol là \(y = x^2 \ – \ 2x + 1\).

\(c)\) Parabol có đỉnh \(I(1; 2)\) nên ta có:

\(\displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 1\)

\(\Leftrightarrow a = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2}\)

Và \(2 = a. 1^2 + b. 1 + 1\)

\(\Rightarrow 2 = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2} + b + 1\)

\(\Rightarrow b = 2\)

\(\Rightarrow a = \ – \ 1\)

Vậy phương trình Parabol là \(y = \ – \ x^2 + 2x + 1\).

\(d)\) Parabol đi qua điểm \(C(\ – \ 1; 1)\) nên ta có tọa độ điểm \(C\) thỏa mãn:

\(1 = a. (\ – \ 1)^2 \ – \ b + 1\)

\(\Leftrightarrow a = b\)

Ta có: \(\Delta = b^2 \ – \ 4ac = a^2 \ – \ 4a\)

Tung độ đỉnh bằng \(\ – \ 0,25\) nên ta có:

\(\ – \ \displaystyle \frac{\Delta}{4a} = \ – \ 0,25\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a^2 \ – \ 4a}{4a} = 0,25\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a}{4} \ – \ 1 = 0,25\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a}{4} = 1,25\)

\(\Leftrightarrow a = 5\)

\(\Rightarrow b = a = 5\)

Vậy phương trình parabol là: \(y = 5x^2 + 5x + 1\)

\(\)

Bài \(6.10\). Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + c\) biết rằng parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh là \(I(6; \ – \ 12)\).

Trả lời:

Điều kiện xác định parabol là \(a \neq 0\)

Parabol có đỉnh \(I(6; \ – \ 12)\) nên phương trình parabol được viết dưới dạng:

\(y = a (x \ – \ 6)^2 \ – \ 12\)

Lại có parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình:

\(0 = a. (8 \ – \ 6)^2 \ – \ 12\)

\(\Leftrightarrow 4a = 12\)

\(\Leftrightarrow a = 3\) thỏa mãn \(a \neq 0\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là \(y = 3. (x \ – \ 6)^2 \ – \ 12 = 3x^2 \ – \ 36x + 96\).

\(\)

Bài \(6.11\). Gọi \((P)\) là đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\). Hãy xác định dấu của hệ số \(a\) và biệt thức \(\Delta\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \((P)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
\(b)\) \((P)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
\(c)\) \((P)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
\(d)\) \((P)\) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Trả lời:

\(a)\) Vì \((P)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên:

• Bề lõm của đồ thị phải quay lên trên. Suy ra hệ số \(a > 0\)
• Đỉnh \(I\left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2a}; \ – \ \displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\) nằm phía trên trục hoành hay \(y_I > 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ \displaystyle \frac{\Delta}{4a} > 0\)

\(\Leftrightarrow \Delta < 0\) (do \(a > 0\))

\(b)\) Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên:

• Bề lõm của đồ thị hàm số phải quay xuống dưới. Suy ra hệ số \(a < 0\)
• Đỉnh \(I\left(\ – \ \displaystyle \frac{b}{2a}; \ – \ \displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\) nằm phía dưới trục hoành hay \(y_I < 0\)

\(\Leftrightarrow \ – \ \displaystyle \frac{\Delta}{4a} < 0\)

\(\Leftrightarrow \Delta < 0\) (do \(a < 0\))

\(c)\) \((P)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm phan biệt. Do đó biệt thức \(\Delta > 0\)

\((P)\) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên. Do đó hệ số \(a > 0\).

\(d)\) \((P)\) tiếp xúc với trục hoành nên phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm kép, do đó biệt thức \(\Delta = 0\).

\((P)\) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên. Do đó hệ số \(a > 0\).

\(\)

Bài \(6.12\). Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội \((H.6.14)\) có dạng một parabol. Khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8\) m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng \(0,5\) m là \(2,93\) m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là \(12\) m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Trả lời:

Giả sử parabol có phương trình \(y = ax^2 + bx + c \text{ với } a \neq 0\).

Chọn hệ trục toạ độ như hình dưới với trục \(Oy\) là trục đối xứng của parabol.

Ta có khoảng cách giứa hai chân cổng là \(AB = 8\)m.

\(O\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AO = BO = 4\) m.

Lấy điểm \(C\) cách \(A\) một khoảng \(0,5\) m tức \(AC = 0,5\) m.

Khi đó ta có \(CD = 2,93\)m.

\(\Rightarrow CO = 4 \ – \ 0,5 = 3,5\) m.

Toạ độ các điểm lần lượt là \(A(\ – \ 4; 0), B(4; 0), C(\ – \ 3,5; 0), D(\ – \ 3,5; 2,93)\).

Parabol đi qua các điểm \(A, B, D\) nên toạ độ các điểm thoả mãn phương trình parabol, ta có hệ sau:

\(\left \{\begin{matrix}0 = a. (\ – \ 4)^2 + b. (\ – \ 4) + c\\0 = a. 4^2 + b. 4 + c\\2,93 = a. (\ – \ 3,5)^2 + b. (\ – \ 3,5) + c \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}16a \ – \ 4b + c = 0\\16a + 4b + c = 0\\12,25a \ – \ 3,5b + c = 2,93 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}8b = 0\\16a + 4b + c = 0\\12,25a \ – \ 3,5b + c = 2,93 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}b = 0\\16a + c = 0\\12,25a + c = 2,93 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}b = 0\\a = \displaystyle \frac{\ – \ 293}{375}\\c = \displaystyle \frac{4688}{375} \end{matrix} \right.\)

Do đó ta có phương trình parabol là:

\(y = \displaystyle \frac{\ – \ 293}{375}x^2 + \displaystyle \frac{4688}{375}\)

Suy ra toạ độ đỉnh \(I\left(0; \displaystyle \frac{4688}{375}\right)\).

Chiều cao của cổng chính bằng tung độ của đỉnh \(I\) và bằng \(\displaystyle \frac{4688}{375} \approx 12,5\) m.

Vậy kết quả bạn An tính được không chính xác.

\(\)

Bài \(6.13\). Bác Hùng dùng \(40\) m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
\(a)\) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng \(x\) (mét) của nó.
\(b)\) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Trả lời:

\(a)\) Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng \(x\) (mét) được biểu diễn như sau:

Tấm lưới dài \(40\) m chính là chu vi hình chữ nhật \(ABCD\)

Suy ra nửa chu vi hình chữ nhật là \(20\) m.

Do đó chiều dài hình chữ nhật là: \(20 \ – \ x\) (mét)

Khi đó, diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng \(x\) (mét) là:

\(S(x) = x. (20 \ – \ x) = \ – \ x^2 + 20x\) \(((m^2)\).

\(b)\) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn, ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S(x)\).

Ta thấy \(S(x)\) là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống dưới do \(a = \ – \ 1 < 0\)

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Ta có toạ độ đỉnh \(I(10; 100)\)

Suy ra hàm số \(S(x)\) đạt giá trị lớn nhất \(S = 100\) tại \(x = 10\)

Khi đó chiều dài mảnh vườn là \(20 \ – \ 10 = 10\) (mét)

Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài canh bằng \(10\) m.

\(\)

Bài \(6.14\). Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc \(O\) (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là một parabol có phương trình \(y = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{1000}x^2 + x\), trong đó \(x\) (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc \(O\), \(y\) (mét) là độ cao của vật so với mặt đất \((H.6.15)\).
\(a)\) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
\(b)\) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc \(O\). Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Trả lời:

\(a)\) Độ cao cực đại của vật trong quá trình bay chính là tung độ đỉnh của parabol có phương trình \(y =\displaystyle \frac{\ – \ 3}{1000}x^2 + x\)

Ta có toạ độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{500}{3}; \displaystyle \frac{250}{3}\right)\).

Vậy độ cao cực đại của vật trong quá trình bay là \(\displaystyle \frac{250}{3} \approx 83,33\) mét.

\(b)\) Khi vật chạm đất, ta có \(y = 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\ – \ 3}{1000}x^2 + x = 0\)

\(\Leftrightarrow x.\left(\displaystyle \frac{\ – \ 3}{1000}x + 1\right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = 0 (\text{ Loại })\\x = \displaystyle \frac{1000}{3} \end{matrix} \right.\)

Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc toạ độ \(O\) hay tầm xa của quỹ đạo là \(\displaystyle \frac{1000}{3}\) mét.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 15: Hàm số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech