Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Chương 7 – Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 107 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)(AM + BN + CP)

Giải

Ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(GA = \displaystyle\frac{2}{3} AM;\) \(GB = \displaystyle\frac{2}{3} BN;\) \(GC = \displaystyle\frac{2}{3} CP.\)

Do đó GA + GB + GC = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)(AM + BN + CP)

\(\)

2. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) ∆GBC cân tại G.

Giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}.\)

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét hai tam giác NBC và MCB có:

BN = MC (chứng minh trên);

\(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (chứng minh trên);

BC là cạnh chung.

Do đó ∆NBC = ∆MCB (c.g.c).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra \(GB = \displaystyle\frac{2}{3} BM;\) \(GC = \displaystyle\frac{2}{3} CN.\)

Mà BM = CN nên GB = GC.

Do GB = GC nên ∆GBC cân tại G.

\(\)

3. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) ∆MBG = ∆MCD;

c) CD = 2GN.

Giải

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(GM = \displaystyle\frac{1}{2} GA.\)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra \(GM = \displaystyle\frac{1}{2} GD.\)

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét hai tam giác MBG và MCD có:

MB = MC (giả thiết).

\(\widehat{GMB} = \widehat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆MBG = ∆MCD (c.g.c).

c) Do ∆MBG = ∆MCD (c.g.c) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

\(\)

4. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) ∆AHB = ∆AHM;

b) \(AG = \displaystyle\frac{2}{3} AB.\)

Giải

a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Xét hai tam giác vuông AHB và AHM có:

AH là cạnh chung.

HB = HM (giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆AHM (hai cạnh góc vuông).

b) Do ∆AHB = ∆AHM nên AB = AM (hai cạnh tương ứng).

Hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AG = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)AM mà AB = AM

Vậy AG = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)AM.

\(\)

5. Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.