Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Chương 7 – Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác trang 111 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Giải

a) Do I là giao điểm ba đường phân giác của ∆ABC.

Vì thế IM = IN = IP.

Do IM = IN nên ∆IMN cân tại I.

Do IN = IP nên ∆INP cân tại I.

Do IP = IM nên ∆IPM cân tại I.

b) Xét hai tam giác vuông AIP và AIN có:

AI là cạnh chung;

IP = IN (giả thiết).

Suy ra ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Vì AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét hai tam giác vuông BIP và BIM có:

BI là cạnh chung;

IP = IM (giả thiết).

Suy ra ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Vì BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét hai tam giác vuông CIM và CIN có:

CI là cạnh chung;

IM = IN (giả thiết).

Suy ra ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Vì CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

\(\)

2. Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) \(\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = 90^o;\)

b) \(\widehat{BIC} = 90^o + \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}.\)

Giải

a) Do AI là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{IAB} = \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}.\)

Do BI là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{IBC} = \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{ABC}.\)

Do CI là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ICA} = \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{ACB}.\)

Suy ra \(\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = \displaystyle\frac{1}{2} (\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB}).\)

Trong tam giác ABC, ta có \(\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^o\)

Nên \(\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} =\displaystyle\frac{1}{2}.180^o=90^o.\)

Vậy \(\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} =90^o.\)

b) Do CI là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ICB} = \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{ACB}.\)

Suy ra \(\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 90^o.\)

Do đó \(\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 90^o – \widehat{IAB} = 90^o – \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}.\)

Trong tam giác BIC: \(\widehat{BIC} + \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 180^o\)

Nên \(\widehat{BIC} = 180^o – (\widehat{IBC} + \widehat{ICB}) = 180^o – (90^o – \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}) = 90^o + \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}.\)

Vậy \(\widehat{BIC}= 90^o + \displaystyle\frac{1}{2} \widehat{BAC}.\)

\(\)

3. Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.

a) Chứng minh \(\widehat{CBI} > \widehat{ACI};\)

b) So sánh IB và IC.

Giải