Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Chương 7 – Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng trang 103 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh \(\widehat{CAD} =\widehat{CBD}.\)

Giải

Ta có CD là đường trung trực của AB nên CA = CB và DA = DB.

Do đó tam giác ABC cân tại C (vì CA = CB), tam giác DAB cân tại D (vì DA = DB).

Suy ra \(\widehat{CAB} =\widehat{CBA};\ \widehat{DAB} =\widehat{DBA}.\)

Mà \(\widehat{CAD}=\widehat{CAB}-\widehat{DAB};\) \(\widehat{CBD}=\widehat{CBA}-\widehat{DBA}\)

Vậy \(\widehat{CAD} =\widehat{CBD}.\)

\(\)

2. Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

Chứng minh:

a) \(AB // CD;\)

b) \(∆MNC = ∆MND;\)

c) \(\widehat{AMD} = \widehat{BMC};\)

d) \(AD = BC,\ \widehat{A} = \widehat{B};\)

e) \(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}.\)

Giải

a) Do a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD nên a ⊥ AB và a ⊥ CD.

Do đó AB // CD.

b) Xét hai tam gíac vuông MNC và có:

MN là cạnh chung;

NC = ND (giả thiết);

Do đó \(∆MNC = ∆MND\) (hai cạnh góc vuông).

c) Do \(∆MNC = ∆MND\) (hai cạnh góc vuông) nên \(\widehat{MCN} = \widehat{MDN}\) (hai góc tương ứng)

Do AM // DN nên \(\widehat{AMD} = \widehat{MDN}\) (hai góc so le trong).

Do BM // CN nên \(\widehat{BMC} = \widehat{MCN}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat{AMD} = \widehat{BMC}\)

d) Do \(∆MNC = ∆MND\) (hai cạnh góc vuông) nên MC = MD (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆AMD và ∆BMC có:

AM = BM (giả thiết).

\(\widehat{AMD} = \widehat{BMC}\) (chứng minh trên).

MD = MC (chứng minh trên).

Do đó \(∆AMD = ∆BMC\) (c.g.c).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng); \(\widehat{MAD} = \widehat{MBC}\) (hai góc tương ứng).

Vậy AD = BC và \(\widehat{A} = \widehat{B}.\)

e) Do \(∆AMD = ∆BMC\) (c.g.c) nên \(\widehat{AMD} = \widehat{BMC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat{MDN} = \widehat{MCN}\) nên \(\widehat{ADM} + \widehat{MDN} = \widehat{BCM} + \widehat{MCN}\) hay \(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}.\)

\(\)

3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.

Giải

a, b lần lượt là đường trung trực của đoạn thẳng AB, BC nên a ⊥ AB tại trung điểm của AB, b ⊥ BC tại trung điểm của BC.

Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.

Vậy a // b.

\(\)

4. Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:

a) MB = AI + IM;

b) MA < MB.

Giải