Bài 1. Mệnh đề

Bài \(1\). Mệnh đề trang \(5\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
\(a)\) Số \(2^{100}\) có \(50\) chữ số khi viết trong hệ thập phân;
\(b)\) \(0,0001\) là số rất bé;
\(c)\) \(2\sqrt{5} > 5\);
\(d)\) \(2x + 1 > 0\);
\(e)\) Virus SARS-CoV-2 rất nguy hiểm, đúng không?

Trả lời:

Câu \(a)\) “Số \(2^{100}\) có \(50\) chữ số khi viết trong hệ thập phân” là câu khẳng định, có thể đúng hoặc sai nên là một mệnh đề.

Câu \(b)\) “\(0,0001\) là số rất bé” là câu khẳng định, nhưng không có cơ sở khẳng định đúng sai nên không là mệnh đề.

Câu \(c)\) “\(2\sqrt{5} > 5\)” là một khẳng định sai. Do đó \(c)\) là mệnh đề.

Câu \(d)\) “\(2x + 1 > 0\)” là mệnh đề chứa biến.

Câu \(e)\) “Virus SARS-CoV-2 rất nguy hiểm, đúng không?” là câu nghi vấn, do đó không là mệnh đề.

\(\)

Bài \(2\). Hãy viết ba câu là mệnh đề, ba câu không phải là mệnh đề.

Trả lời:

Viết ba câu là mệnh đề:

\(+)\) \(\sqrt{5} > 2\)

\(+)\) \(17\) là số nguyên tố.

\(+)\) Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.

Viết ba câu không là mệnh đề:

\(+)\) Bông hoa thơm quá!

\(+)\) Hôm nay là thứ hai phải không bạn nhỉ?

\(+)\) Số \(\displaystyle \frac{1}{10^5}\) là số rất bé.

\(\)

Bài \(3\). Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây và xét tính đúng sai của các mệnh đề phủ định đó.
\(a)\) \(P:\) “Năm \(2020\) là năm nhuận”;
\(b)\) \(Q:\) “\(\sqrt{2}\) không phải là số vô tỉ”;
\(c)\) \(R:\) “Phương trình \(x^2 + 1 = 0\) có nghiệm”.

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\) là:

\(\overline{P}\): “Năm \(2020\) không là năm nhuận”.

Ta thấy \(2020\) chia hết cho \(4\), do đó là năm nhuận. Vậy mệnh đề \(\overline{P}\) là mệnh đề sai.

\(b)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(Q\) là:

\(\overline{Q}\): “\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ”.

Mệnh đề \(\overline{Q}\) là mệnh đề đúng.

\(c)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(R\) là:

\(\overline{R}\): “Phương trình \(x^2 + 1 = 0\) vô nghiệm”

Ta có: \(x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 1 \geq 1 > 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình \(x^2 + 1 = 0\) vô nghiệm hay mệnh đề \(\overline{R}\) đúng.

\(\)

Bài \(4\). Với mỗi cặp mệnh đề \(P\) và \(Q\) sau đây, hãy phát biểu mệnh đề \(P \overrightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó.
\(a)\) \(P:\) “Hai tam giác \(ABC\) và \(DEF\) bằng nhau”;
\(Q:\) “Hai tam giác \(ABC\) và \(DEF\) đồng dạng”.
\(b)\) \(P:\) “\(b^2 \geq 4ac\)”;
\(Q:\) “Phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) vô nghiệm” (\(a, b, c\) là ba số thực nào đó, \(a \neq 0\)).

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\):

“Hai tam giác \(ABC\) và \(DEF\) bằng nhau thì hai tam giác \(ABC\) và \(DEF\) đồng dạng với nhau”.

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(DEF\) bằng nhau nên \(AB = DE, AC = DF, BC = EF\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{AB}{DE} = \displaystyle \frac{AC}{DF} = \displaystyle \frac{BC}{EF} = 1\)

Suy ra \(\Delta{ABC} \sim \Delta{DEF} (c.c.c)\)

Vậy mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.

\(b)\) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là: “Nếu \(b^2 \geq 4ac\) thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) vô nghiệm”.

Mệnh đề này sai vì:

\(b^2 \geq 4ac \Leftrightarrow b^2 \ – \ 4ac \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \Delta \geq 0\) nên phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm.

\(\)

Bài \(5\). Ta có thể phát biểu lại mệnh đề:
“Mỗi hình thoi là một hình bình hành”
thành mệnh đề kéo theo:
“Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó là một hình bình hành”.
Hãy phát biểu mỗi mệnh đề sau thành mệnh đề kéo theo:
\(a)\) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau;
\(b)\) Tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ;
\(c)\) Lập phương của một số âm là một số âm.

Trả lời:

\(a)\) Nếu một tứ giác đều là hình chữ nhật thì nó có hai đường chéo bằng nhau.

\(b)\) Nếu hai số đều là số hữu tỉ thì tổng của chúng cũng là số hữu tỉ.

\(c)\) Nếu một số nào đó là âm thì lập phương của nó cũng là số âm.

\(\)

Bài \(6\). Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.
\(a)\) Nếu một số chia hết cho \(6\) thì nó chia hết cho \(3\);
\(b)\) Nếu tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) thì tam giác \(ABC\) cân;
\(c)\) Nếu tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^o\) thì tam giác \(ABC\) đều.

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu một số chia hết cho \(6\) thì nó chia hết cho \(3\)” là mệnh đề “Nếu một số chia hết cho \(3\) thì nó chia hết cho \(6\)”.

Mệnh đề đảo là mệnh đề sai.

Giả sử: Chọn số \(3\), ta có \(3\) chia hết cho \(3\) nhưng \(3\) không chia hết cho \(6\).

\(b)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) thì tam giác \(ABC\) cân” là mệnh đề “Nếu tam giác \(ABC\) cân thì \(AB = AC\)”.

Đây là mệnh đề đúng (theo tính chất của tam giác cân).

\(c)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^o\) thì tam giác \(ABC\) đều” là mệnh đề “ Nếu tam giác \(ABC\) đều thì nó có hai góc bằng \(60^o\)”.

Mệnh đề này là mệnh đề đúng. Vì \(\Delta{ABC}\) đều nên ba góc của tam giác bằng nhau và bằng \(60^o\), do đó \(\Delta{ABC}\) đều thì hiển nhiên nó có hai góc bằng \(60^o\).

\(\)

Bài \(7\). Sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” và cặp mệnh đề \(P,Q\) sau đây để thành lập một mệnh đề đúng.
\(a)\) \(P: “a = b”, Q: “a^2 = b^2″\) (\(a, b\) là hai số thực nào đó).
\(b)\) \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau”;
\(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân”.
\(c)\) \(P:\) “Tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(45^o\), \(Q\): “Tam giác \(ABC\) vuông cân.

Trả lời:

\(a)\) Ta thấy: Khi \(P\) đúng thì \(Q\) đúng nên mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng.

Phát biểu mệnh đề: “Với \(a, b\) là hai số thực nào đó, \(a = b\) là điều kiện đủ để \(a^2 = b^2\) (hoặc \(“a^2 = b^2\) là điều kiện cần để \(a = b\)”)

\(b)\) Ta thấy khi \(Q\) đúng thì \(P\) đúng nên mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề đúng.

Phát biểu mệnh đề: “Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình thang cân” (hoặc “Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo bằng nhau”).

c) Ta thấy khi \(P\) đúng thì \(Q\) đúng và ngược lại, khi \(Q\) đúng thì \(P\) cũng đúng.

Do đó, \(P\) và \(Q\) là hai mệnh đề tương đương.

Phát biểu mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông cân là tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(45^o\)”.

\(\)

Bài \(8\). Dùng kí hiệu \(\forall\) hoặc \(\exists\) để viết các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
\(a)\) Mọi số thực khác \(0\) nhân với nghịch đảo của nó bằng \(1\).
\(b)\) Có số tự nhiên mà bình phương của nó bằng \(20\).
\(c)\) Bình phương của mọi số thực đều dương.
\(d)\) Có ba số tự nhiên khác không sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình phương của số còn lại.

Trả lời:

\(a)\) \(“\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 0, x. \displaystyle \frac{1}{x} = 1″\).

Đây là mệnh đề đúng.

\(b)\) \(“\exists x \in \mathbb{N}, x^2 = 20″\).

Đây là mệnh đề sai. Do ta có: \((\sqrt{20})^2 = (\ – \ \sqrt{20})^2 = 20\) tức là có hai số \(\sqrt{20}\) và \(\ – \ \sqrt{20}\) có bình phương bằng \(20\) nhưng đó không phải số tự nhiên.

\(c)\) \(“\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0″\).

Đây là mệnh đề sai. Vì tồn tại số thực \(0\) có \(0^2 = 0\).

\(d)\) \(“\exists x, y, z \in \mathbb{N^*}, x^2 + y^2 = z^2″\).

Đây là mệnh đề đúng. Set cặp số \((x; y; z) = (3; 4; 5)\) thoả mãn \(3^2 + 4^2 = 5^2\).

\(\)

Bài \(9\). Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
\(a)\) \(\exists x \in \mathbb{N}, 2x^2 + x = 1\);
\(b)\) \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 5 > 4x\)

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(2x^2 + x = 1 \Leftrightarrow 2x^2 + x \ – \ 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 1\\x = \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{equation}\)

Mà hai nghiệm đều không phải là số tự nhiên nên mệnh đề đã cho là sai.

Mệnh đề phủ định là:

\(“\forall x \in \mathbb{N}, 2x^2 + x \ – \ 1 \neq 0″\).

\(b)\) Ta có: \(x^2 + 5 > 4x \Leftrightarrow x^2 \ – \ 4x + 5 > 0\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1)^2 + 1 > 0\) luôn đúng với mọi số thực \(x\).

Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là:

\(“\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 5 \leq 4x\)

Bài 1. Mệnh đề Bài 1. Mệnh đề Bài 1. Mệnh đề Bài 1. Mệnh đề Bài 1. Mệnh đề Bài 1. Mệnh đề