Bài tập cuối chương 7

Bài tập cuối chương 7 trang 49 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.

20. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

A. \(x^2-4 = 0.\)

B. \(5x-2 = 0.\)

C. \((x-2)(x-3) = 0.\)

D. \(x^3-8 = 0.\)

Giải

Phương trình bậc nhất một ẩn là \(5x-2 = 0.\)

Chọn đáp án B.

\(\)

21. Nghiệm của phương trình \(3x-4 = 0\) là

A. \(x=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

B. \(x=\displaystyle\frac{-3}{4}.\)

C. \(x=\displaystyle\frac{-4}{3}.\)

D. \(x=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Giải

\(3x-4 = 0\)

\(3x = 4\)

\(x=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Chọn đáp án D.

\(\)

22. Nghiệm của phương trình \(4x + 3 = 0\) là

A. \(x=\displaystyle\frac{-3}{4}.\)

B. \(x=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

C. \(x=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

D. \(x=\displaystyle\frac{-4}{3}.\)

Giải

\(4x + 3 = 0\)

\(4x=-3\)

\(x=\displaystyle\frac{-3}{4}.\)

Chọn đáp án A.

\(\)

23. Phương trình nào sau đây nhận \(x =-1\) làm nghiệm?

A. \(\displaystyle\frac{2x+4}{5}=0.\)

B. \(-\displaystyle\frac{1}{3}x+3=0.\)

C. \(\sqrt{2}x+\sqrt{2}=0.\)

D. \(-|x|+\displaystyle\frac{1}{4}=0.\)

Giải

Thay \(x =-1\) vào từng phương trình, ta có

\(\displaystyle\frac{2x+4}{5}=\displaystyle\frac{2.(-1)+4}{5}=\displaystyle\frac{2}{5}≠0.\)

\(-\displaystyle\frac{1}{3}x+3=-\displaystyle\frac{1}{3}.(-1)+3=\displaystyle\frac{4}{3}≠0.\)

\(\sqrt{2}x+\sqrt{2}=\sqrt{2}.(-1)+\sqrt{2}=0.\)

\(-|x|+\displaystyle\frac{1}{4}=-|-1|+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{-3}{4}≠0.\)

Chọn đáp án C.

\(\)

24 Giải các phương trình sau:

a) \(0,1x-5 = 0,2-x;\)

b) \(\displaystyle\frac{2x-5}{3}=\displaystyle\frac{2-x}{6};\)

c) \(\sqrt{3}x-1=x-3.\)

Giải

a) \(0,1x-5 = 0,2-x\)

\(0,1x + x = 0,2 + 5\)

\(1,1x = 5,2\)

\(x=\displaystyle\frac{52}{11}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{52}{11}.\)

b) \(\displaystyle\frac{2x-5}{3}=\displaystyle\frac{2-x}{6}\)

\(\displaystyle\frac{2(2x-5)}{6}=\displaystyle\frac{2-x}{6}\)

\(4x-10 = 2-x\)

\(4x + x = 2 + 10\)

\(5x = 12\)

\(x=\displaystyle\frac{12}{5}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{12}{5}.\)

c) \(\sqrt{3}x-1=x-3\)

\(\sqrt{3}x-x=-3+1\)

\((\sqrt{3}-1)x=-2\)

\(x=\displaystyle\frac{-2}{\sqrt{3}-1}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{-2}{\sqrt{3}-1}.\)

\(\)

25. Giải các phương trình sau:

a) \(1,5(x-5) + 11 = 7(x-8)-50,5;\)

b) \(\displaystyle\frac{x-4}{5}+\displaystyle\frac{3x-2}{10}-x=\displaystyle\frac{2x-5}{3}-\displaystyle\frac{7x+2}{6};\)

c) \(\displaystyle\frac{x+1}{3}-\displaystyle\frac{3(2x+1)}{4}-\displaystyle\frac{5x+3}{6}=x+\displaystyle\frac{7}{12}.\)

Giải

a) \(1,5(x-5) + 11 = 7(x-8)-50,5\)

\(1,5x-7,5 + 11 = 7x-56-50,5\)

\(1,5x-7x =-56-50,5 + 7,5-11\)

\(-5,5x =-110\)

\(x = 20.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 20.\)

b) \(\displaystyle\frac{x-4}{5}+\displaystyle\frac{3x-2}{10}-x=\displaystyle\frac{2x-5}{3}-\displaystyle\frac{7x+2}{6}\)

\(\displaystyle\frac{6(x-4)}{30}+\displaystyle\frac{3(3x-2)}{30}-\displaystyle\frac{30x}{30}=\displaystyle\frac{10(2x-5)}{30}-\displaystyle\frac{5(7x+2)}{30}\)

\(6x-24 + 9x-6-30x = 20x-50-35x-10\)

\(6x + 9x-30x-20x + 35x = -50-10 + 24 + 6\)

\(0x = -30\) (vô lý).

Vậy phương trình không có nghiệm.

c) \(\displaystyle\frac{x+1}{3}-\displaystyle\frac{3(2x+1)}{4}-\displaystyle\frac{5x+3}{6}=x+\displaystyle\frac{7}{12}\)

\(\displaystyle\frac{4(x+1)}{12}-\displaystyle\frac{3.3(2x+1)}{12}-\displaystyle\frac{2(5x+3)}{12}=\displaystyle\frac{12x}{12}+\displaystyle\frac{7}{12}\)

\(4x + 4-18x-9-10x-6 = 12x + 7\)

\(4x-18x-10x-12x = 7-4 + 9 + 6\)

\(-36x = 18\)

\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

\(\)

26. Ga Nam Định cách ga Hà Nội 87 km. Một tàu hoả xuất phát từ ga Hà Nội đi đến ga Sài Gòn, 2 giờ sau một tàu hỏa khác xuất phát từ ga Nam Định cũng đi đến ga Sài Gòn. Sau \(3\displaystyle\frac{2}{5}\) giờ tính từ khi tàu thứ nhất khởi hành ở ga Hà Nội thì hai tàu gặp nhau. Tính tốc độ trung bình của mỗi tàu, biết ga Nam Định nằm trên tuyến đường sắt nối ga Hà Nội với ga Sài Gòn và tốc độ trung bình của tàu thứ nhất lớn hơn tốc độ trung bình của tàu thứ hai là 5 km/h.

Giải

Gọi tốc độ trung bình của tàu thứ nhất là \(x\) (km/h), \(x > 5.\)

Khi đó, tốc độ trung bình của tàu thứ hai là \(x-5\) (km/h).

Đổi \(3\displaystyle\frac{2}{5}\) giờ \(= 3,4\) giờ.

Khi hai tàu gặp nhau, tàu thứ nhất đã đi được quãng đường là \(3,4x\) (km), tàu thứ hai đi được quãng đường là \((3,4-2).(x-5)\) (km).

Do ga Nam Định cách ga Hà Nội 87 km, tức tàu thứ nhất đi được nhiều hơn tàu thứ hai 87 km nên ta có phương trình: \(3,4x-(3,4-2).(x-5) = 87.\)

Giải phương trình:

\(3,4x-(3,4-2).(x-5) = 87\)

\(3,4x-1,4.(x-5) = 87\)

\(3,4x-1,4x + 7 = 87\)

\(2x = 87-7\)

\(2x = 80\)

\(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ trung bình của tàu thứ nhất là \(40\) km/h, của tàu thứ hai là \(40-5 = 35\) km/h.

\(\)

27. Có hai dung dịch acid cùng loại có nồng độ acid lần lượt là 45% và 25%. Tính khối lượng mỗi dung dịch acid đem trộn để được 5 kg dung dịch có nồng độ acid là 33%.

Giải

Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ \(45\%\) đem trộn là \(x\) (kg), \(0 < x < 5.\)

Khi đó, khối lượng dung dịch acid có nồng độ \(25\%\) đem trộn sẽ là \(5-x\) (kg).

Khối lượng acid có trong dung dịch acid có nồng độ \(45\%\) là \(45\%x = 0,45x\) (kg).

Khối lượng acid có trong dung dịch acid có nồng độ \(25\%\) là:

\(25\%(5-x) = 0,25(5-x)\) (kg).

Tổng khối lượng acid sau khi trộn là:

\(0,45x + 0,25(5-x)\) \(= 0,45 + 1,25-0,25x\) \(= 0,2x + 1,25\) (kg).

Sau khi trộn hai dung dịch acid trên được dung dịch acid có nồng độ \(33\%\) nên ta có:

\(\displaystyle\frac{0,2x+1,25}{5}.100\% = 33\%.\)

Giải phương trình:

\(\displaystyle\frac{0,2x+1,25}{5}.100\% = 33\%.\)

\(0,2x + 1,25 = 0,33 . 5\)

\(0,2x + 1,25 = 1,65\)

\(0,2x = 1,65-1,25\)

\(0,2x = 0,4\)

\(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy khối lượng dung dịch acid có nồng độ \(45\%\) đem trộn là \(2\) kg, khối lượng dung dịch acid có nồng độ \(25\%\) đem trộn là \(5-2 = 3\) kg.

\(\)

28. Có hai loại dung dịch muối I và muối II. Người ta hoà 200 g dung dịch muối I với 300 g dung dịch muối II thì được dung dịch có nồng độ muối là 33%. Tính nồng độ muối trong mỗi dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.

Giải

Gọi nồng độ muối của dung dịch I là \(x\%,\) \(20 < x < 100.\)

Nồng độ muối của dung dịch II là \(x\%-20\%.\)

Khối lượng muối trong dung dịch I là \(200.x\% = 2x\) (g).

Khối lượng muối trong dung dịch II là \(300.(x\%-20\%) = 3x-60\) (g).

Sau khi hòa tan hai dung dịch muối trên thì được dung dịch có nồng độ muối là \(33\%\) nên ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{2x+3x-60}{200+300}.100\%=33\%.\)

Giải phương trình:

\(\displaystyle\frac{2x+3x-60}{200+300}.100\%=33\%\)

\(\displaystyle\frac{5x-60}{500}.100\%=33\%\)

\(5x-60 = 0,33 . 500\)

\(5x = 165 + 60\)

\(5x = 225\)

\(x = 45\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I là \(45\%,\) của dung dịch II là \(45\%-20\% = 25\%.\)

\(\)

29. Một tổ may dự định mỗi ngày may 30 bộ quần áo. Nhưng do tăng năng suất, mỗi ngày may thêm được 8 bộ quần áo nên chẳng những tổ may đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn may vượt mức 20 bộ quần áo. Hỏi số bộ quần áo tổ may đó dự định may theo kế hoạch là bao nhiêu?

Giải

Gọi x là số bộ quần áo tổ may dự định may (x ∈ ℕ*) thì số ngày dự định may là \(\displaystyle\frac{x}{30}\) (ngày).

Thực tế mỗi ngày tổ may đó may được 30 + 8 = 38 bộ quần áo, may được tất cả x + 20 bộ quần áo nên số ngày thực tế là \(\displaystyle\frac{x+20}{38}\) (ngày).

Do tổ may hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày, ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{x}{30}-\displaystyle\frac{x+20}{38} = 2.\)

Giải phương trình:

\(\displaystyle\frac{x}{30}-\displaystyle\frac{x+20}{38} = 2\)

\(\displaystyle\frac{38x}{30.38}-\displaystyle\frac{(30(x+20))}{38.30}=\displaystyle\frac{2.30.38}{30.38}\)

\(38x-30x-600 = 2 280\)

\(38x-30x = 2 280 + 600\)

\(8x = 2 880\)

\(x = 360\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tổ may dự định may \(360\) bộ quần áo.

\(\)

30 Một bể nước có dung tích 1 250 l. Một người thợ cho một vòi nước lạnh chảy vào bể, mỗi phút chảy được 30 l, rồi khóa vòi nước lạnh và cho vòi nước nóng chảy vào bể, mỗi phút chảy được 40 l cho đến khi bể đầy nước. Tính thời gian mỗi vòi chảy vào bể, biết hai vòi chảy tổng cộng trong 35 phút.

Giải

Gọi thời gian vòi nước lạnh chảy vào bể là x (phút), x > 0.

Thời gian vòi nước nóng chảy vào bể là 35 – x (phút).

Dung tích nước mà vòi nước lạnh chảy vào bể là: 30x (l).

Dung tích nước mà vòi nước nóng chảy vào bể là: 40(35 – x) (l).

Theo giả thiết, ta có phương trình: 30x + 40(35 – x) = 1 250.

Giải phương trình:

30x + 40(35 – x) = 1 250

30x + 1 400 – 40x = 1 250

30x – 40x = 1250 – 1400

– 10x = – 150

x = 15 (thoả mãn điều kiện).

Vậy vòi nước lạnh chảy trong 15 phút, vòi nước nóng chảy trong 35 – 15 = 20 phút.

\(\)

31. Ở siêu thị điện máy gần nhà bác Kiên, một máy tính được bán với giá 10,5 triệu đồng chưa kể thuế giá trị gia tăng (VAT). Bác Kiên mua chiếc máy tính đó cùng một bộ loa phải trả tổng cộng 12,65 triệu đồng, trong đó đã tính cả 10% thuế VAT. Hỏi giá tiền của bộ loa (không kể thuế VAT) là bao nhiêu?

Giải

Gọi x (triệu đồng) là giá tiền không kể thuế VAT của bộ loa, x > 0.

Số tiền (không kể thuế VAT) của máy tính và bộ loa là 10,5 + x (triệu đồng).

Số tiền phải trả thuế VAT là (10,5 + x).10% (triệu đồng).

Tổng số tiền bác Kiên phải trả là 12,65 triệu đồng, nên ta có phương trình:

10,5 + x + (10,5 + x).10% = 12,65.

Giải phương trình:

10,5 + x + (10,5 + x) . 10% = 12,65

10,5 + x + (10,5 + x) . 0,1 = 12,65

10,5 + x + 1,05 + 0,1x = 12,65

x + 0,1x = 12,65 – 10,5 – 1,05

1,1x = 1,1

x = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy giá tiền không kể thuế VAT của bộ loa là 1 triệu đồng.

\(\)

32. Anh Ngọc đi xe máy, trong tháng 1 dùng hết 20 l xăng, tháng 2 dùng hết 15 l xăng, cả hai tháng mua hết 740 000 đồng tiền xăng. Biết giá xăng ở tháng 2 giảm hơn giá xăng ở tháng 1 là 2 000 đồng/l. Tính giá của 1 l xăng ở tháng 1.

Giải

Gọi x (đồng) là giá 1 l xăng ở tháng 1, x > 2 000.

Giá 1 l xăng ở tháng 2 là x – 2 000 (đồng).

Số tiền xăng anh Ngọc trả cho tháng 1 là: 20x (đồng).

Số tiền xăng anh Ngọc trả cho tháng 2 là: 15(x – 2 000) (đồng).

Tổng số tiền xăng anh Ngọc phải trả cho hai tháng là: 20x + 15(x – 2 000) (đồng).

Do đó, ta có phương trình: 20x + 15.(x – 2 000) = 740 000

Giải phương trình:

20x + 15.(x – 2 000) = 740 000

20x + 15x – 30 000 = 740 000

35x = 740 000 + 30 000

35x = 770 000

x = 22 000 (thoả mãn điều kiện).

Vậy giá 1 l xăng ở tháng 1 là 22 000 đồng.

\(\)

33. Diện tích hình thang bằng 140 cm², chiều cao bằng 8 cm. Tìm độ dài hai cạnh đáy, biết chúng hơn kém nhau 15 cm.

Giải

Gọi độ dài đáy nhỏ là x (cm), x > 0.

Khi đó, độ dài đáy lớn là x + 15 (cm).

Diện tích hình thang là [(x + x + 15).8] : 2 (cm²).

Do đó, ta có phương trình: [(x + x + 15).8] : 2 = 140.

Giải phương trình:

[(x + x + 15).8] : 2 = 140

(2x + 15).8 = 140.2

16x + 120 = 280

16x = 280 – 120

16x = 160

x = 10 (thoả mãn điều kiện).

Vậy độ đài đáy nhỏ là 10 cm, độ dài đáy lớn là 10 + 15 = 25 (cm).

\(\)

34. Một tam giác vuông có độ dài cạnh nhỏ nhất là 5 cm, cạnh huyền có độ dài lớn hơn độ dài cạnh góc vuông còn lại là 1 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Giải

Gọi độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là x (cm), x > 5.

Độ dài cạnh góc vuông còn lại là x – 1 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có phương trình:

(x – 1)² + 5² = x².

Giải phương trình:

(x – 1)² + 5² = x²

x² – 2x + 1 + 25 = x²

x² – x² – 2x = – 25 – 1

-2x = -26

x = 13 (thoả mãn điều kiện).

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là 13 cm.

\(\)

35. Bạn Đức chơi trò ném đồng xu vào trong vòng tròn như Hình 3:

– Lượt chơi thứ nhất (ném đồng xu 2 lần): một đồng xu rơi vào phần trong (hình tròn màu trắng), một đồng xu rơi vào phần ngoài (hình vành khăn màu đen); tổng số điểm đạt được là 17 (điểm).

– Lượt chơi thứ hai (ném đồng xu 5 lần): hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài, tổng số điểm đạt được là 41 (điểm).

Tính số điểm ấn định cho phần trong, phần ngoài.

Giải

Gọi số điểm ấn định cho phần trong là x (điểm), 0 < x < 17.

Số điểm ấn định cho phần ngoài là 17 – x (điểm).

Ở lượt chơi thứ hai, hai đồng xu rơi vào phần trong được số điểm là 2x (điểm) và ba đồng xu rơi vào phần ngoài được số điểm là 3(17 – x) (điểm).

Tổng số điểm đạt được ở lượt chơi thứ hai là 2x + 3(17 – x) (điểm).

Do đó, ta có phương trình: 2.x + 3.(17 – x) = 41.

Giải phương trình:

2.x + 3.(17 – x) = 41

2x + 51 – 3x = 41

2x – 3x = 41 – 51