Bài 7. Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Chương 2 – Bài 7. Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu trang 24 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

2.8. Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8;\)

b) \(8a^3-12a^2b + 6ab^2-b^3.\)

Giải

a) \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

\(= x^3 + 3.x^2.2 + 3.x.2^2 + 2^3\)

\(= (x + 2)^3.\)

b) \(8a^3-12a^2b + 6ab^2-b^3\)

\(= (2a)^3-3.(2a)^2.b + 3.2a.b^2-b^3\)

\(= (2a-b)^3.\)

\(\)

2.9. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\) tại \(x = 49,5;\)

b) \(x^3-9x^2 + 27x-27\) tại \(x = 103.\)

Giải

a) \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\)

\(= (2x)^3 + 3.(2x)^2.1 + 3.(2x).1^2 + 1^3\)

\(= (2x + 1)^3.\)

Tại \(x = 49,5\) thì \((2x + 1)^3 = (2 . 49,5 + 1)^3 = 100^3 = 1 000 000.\)

b) \(x^3-9x^2 + 27x-27\)

\(= x^3-3.x^2.3 + 3.x.3^2-3^3\)

\(= (x-3)^3.\)

Tại \(x = 103\) thì \((x-3)^3 = (103-3)^3 = 100^3 = 1 000 000.\)

\(\)

2.10. Rút gọn:

a) \((x + 1)^3-(x-1)^3-6(x-2)(x + 2);\)

b) \((x-y)^3 + (x + y)^3 + (y-x)^3-3xy(x + y).\)

Giải

a) \((x + 1)^3-(x-1)^3-6(x-2)(x + 2)\)

\(= x^3 + 3x^2 + 3x + 1-(x^3-3x^2 + 3x-1)-6(x^2-4)\)

\(= x^3 + 3x^2 + 3x + 1-x^3 + 3x^2-3x + 1-6x^2 + 24\)

\(= (x^3-x^3) + (3x^2 + 3x^2-6x^2) + (3x-3x) + 1 + 1 + 24\)

\(=26.\)

b) \((x-y)^3 + (x + y)^3 + (y-x)^3-3xy(x + y)\)

\(= x^3-3x^2y + 3xy^2-y^3 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + y^3-3xy^2 + 3x^2y-x^3-3x^2y-3xy^2\)

\(= (x^3 + x^3-x^3) + (-3x^2y + 3x^2y + 3x^2y-3x^2y) + (3xy^2 + 3xy^2-3xy^2-3xy^2) + (-y^3 + y^3 + y^3)\)

\(= x^3 + y^3.\)

\(\)

2.11. Biết số tự nhiên \(a\) chia \(6\) dư \(5.\) Chứng minh rằng \(a^3\) chia \(6\) dư \(5.\)

Giải

Vì \(a\) chia \(6\) dư \(5\) nên \(a = 6n + 5,\) \(n ∈ ℕ.\) Ta có

\(a^3 = (6n + 5)^3\)

\(= (6n)^3 + 3.(6n)^2.5 + 3.6n.5^2 + 5^3\)

\(= 6n[(6n)^2 + 3.6n.5 + 3.5^2] + 125.\)

Vì \(6n[(6n)^2 + 3.6n.5 + 3.5^2] ⋮ 6\) và \(125\) chia \(6\) dư \(5\) nên \(a^3\) chia \(6\) dư \(5.\)

\(\)

2.12. Từ một khối lập phương có độ dài cạnh là \(x + 3\ (cm),\) ta cắt bỏ một khối lập phương có độ dài \(x-1\ (cm)\) (H.2.3). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Từ một khối lập phương có độ dài cạnh là \(x + 3\ (cm),\) ta cắt bỏ một khối lập phương

Giải

Thể tích khối lập phương có độ dài cạnh là \(x + 3\ (cm)\) là: \((x + 3)^3\ (cm^3).\)

Thể tích khối lập phương có độ dài cạnh là \(x-1\ (cm)\) là: \((x-1)^3\ (cm^3).\)

Thể tích phần còn lại là:

\((x + 3)^3-(x-1)^3\)

\(= x^3 + 3.x^2.3 + 3.x.3^2 + 3^3-(x^3-3x^2 + 3x-1)\)

\(= x^3 + 9x^2 + 27x + 27-x^3 + 3x^2-3x + 1\)

\(= (x^3-x^3) + (9x^2 + 3x^2) + (27x-3x) + (27 + 1)\)

\(= 12x^2 + 24x + 28.\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu