Chương 2 – Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học trang 28 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
2.10. Những số nào sau đây có căn bậc hai số học?
\(0,9;\ -4;\ 11;\ -100;\ \displaystyle\frac{4}{5};\ \pi.\)
Giải
Chỉ những số không âm mới có căn bậc hai số học.
Vì vậy trong các số đã nêu, \(0,9;\ 11;\ \displaystyle\frac{4}{5};\ \pi\) là những số có căn bậc hai số học.
\(\)
2.11. Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng?
A. \(\sqrt{0,1}=0,01; \hspace{1,5cm}\) B. \(\sqrt{16}=-4;\)
C. \(\sqrt{-0,09}=0,3; \hspace{1,2cm}\) D.\(\sqrt{0,04}=0,2.\)
Giải
Chọn D
Vì \(0,01^2=0,0001≠0,1\) nên A sai.
Căn bậc hai số học là số không âm nên B sai.
Số âm không có căn bậc hai nên C sai.
\(0,2^2=0,04\) nên D đúng
\(\)
2.12. Những biểu thức nào dưới đây có giá trị bằng \(\displaystyle\frac{3}{7}\)?
\(\sqrt{\displaystyle\frac{3^2}{7^2}}; \hspace{2cm} \displaystyle\frac{\sqrt{3^2}+\sqrt{39^2}}{\sqrt{7^2}+\sqrt{91^2}};\)
\(\displaystyle\frac{39}{91}; \hspace{2cm} \displaystyle\frac{\sqrt{3^2}-\sqrt{39^2}}{\sqrt{7^2}-\sqrt{91^2}}.\)
Giải
Ta có \(\sqrt{\displaystyle\frac{3^2}{7^2}}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{3}{7}^2\right)}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3^2}+\sqrt{39^2}}{\sqrt{7^2}+\sqrt{91^2}}=\displaystyle\frac{3+39}{7+39}=\displaystyle\frac{42}{98}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)
\(\displaystyle\frac{39}{91}=\displaystyle\frac{39:13}{91:13}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3^2}-\sqrt{39^2}}{\sqrt{7^2}-\sqrt{91^2}}=\displaystyle\frac{3-39}{7-91}=\displaystyle\frac{-36}{-84}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)
Vậy cả bốn số đã cho đều bằng \(\displaystyle\frac{3}{7}.\)
\(\)
2.13. Số nào trong các số: \(-\displaystyle\frac{16}{3};\) \(\sqrt{36};\) \(\sqrt{47};\) \(-2\pi;\) \(\sqrt{0,01};\) \(2+\sqrt{7}\) là số vô tỉ?
Giải
Các số \(-\displaystyle\frac{16}{3};\) \(\sqrt{36}=6;\) \(\sqrt{0,01}=0,1\) đều là số hữu tỉ.
Số \(47\) là số tự nhiên không chính phương nên \(\sqrt{47}\) là số vô tỉ.
Vì \(\pi\) là số vô tỉ nên \(-2\pi\) là số vô tỉ.
Số \(7\) là số tự nhiên không chính phương nên \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ, do đó \(2+\sqrt{7}\) cũng là số vô tỉ.
\(\)
2.14. Số nào trong các số sau là số vô tỉ?
\(a=0,777\ldots;\)
\(b=0,70700700070000\ldots;\)
\(c=\displaystyle\frac{-1}{7};\)
\(d=\sqrt{(-7)^2}.\)
Giải
\(a=0,777\ldots=0,(7)\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên a là số hữu tỉ.
\(b=0,70700700070000\ldots\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên b là số vô tỉ.
\(c=\displaystyle\frac{-1}{7}= -0,142857142857\ldots = -0,(142857)\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên c là số hữu tỉ.
\(d=\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\) d là số nguyên nên d là số hữu tỉ.
Vậy trong các số đã cho chỉ có số b là số vô tỉ.
\(\)
2.15. Tìm căn bậc hai số học của các số sau: \(81;\ 8\ 100;\ 0,81;\ 81^2.\)
Giải
\(\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=9.\)
\(\sqrt{8100}=\sqrt{90^2}=90.\)
\(\sqrt{0,81}=\sqrt{0,9^2}=0,9.\)
\(\sqrt{81^2}=81.\)
\(\)
2.16. Cho \(a=\sqrt{961}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}\) và \(b=\sqrt{1024}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}-1\). So sánh a và b.
Giải
\(a=\sqrt{961}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}\) \(=\sqrt{31^2}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}\) \(=31+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}.\)
\(b=\sqrt{1024}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}-1\) \(=\sqrt{32^2}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}-1\) \(=32+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}-1\) \(=31+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}.\)
Vì \(962 < 1023\) nên \(\sqrt{962}<\sqrt{1023}\)
\(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1023}}.\)
Do đó \(31+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{962}}>31+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2023}}\)
Suy ra \(a>b.\)
\(\)
2.17. Xét số \(a = 1 + \sqrt{2}.\)
a) Làm tròn số a đến hàng phần trăm;
b) Làm tròn số a đến chữ số thập phân thứ năm;
c) Làm tròn số a với độ chính xác 0,0005.
Giải
Ta có \(\sqrt{2}=1,41412135623730\ldots\) nên \(a=2,41412135623730\ldots\)
Do đó:
a) Nếu làm tròn số a đến hàng phần trăm thì \(a \approx 2,41;\)
b) Nếu làm tròn số a đến chữ số thập phân thứ năm thì \(a \approx 2,41421;\)
c) Để kết quả có độ chính xác 0,0005 thì ta phải làm tròn số a đến hàng phần nghìn, như vậy \(a \approx 2,414.\)
\(\)
2.18. Biểu thức \(\sqrt{x+8}-7\) có giá trị nhỏ nhất bằng:
\(A.\ \sqrt{8}-7; \hspace{2cm} B.\ -7;\)
\(C.\ 0; \hspace{3,2cm} D.\ \sqrt{-8}-7.\)
Giải
Chọn B
Vì \(\sqrt{x+8} ≥ 0\) với mọi \(x ≥ -8\)
Nên \(\sqrt{x+8}-7 ≥ -7\) với mọi \(x ≥ -8\)
Giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{x+8}-7\) là \(-7\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x + 8 = 0\) hay \(x = -8.\)
\(\)
2.19. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(3-\sqrt{x-6}\) bằng:
\(A.\ 3-\sqrt{6}; \hspace{2cm} B.\ 3-\sqrt{-6};\)
\(C.\ 3+\sqrt{6}; \hspace{2cm} D, 3.\)
Giải
Ta có \(\sqrt{x-6}≥0\) nên \(-\sqrt{x-6} \leq 0\) với mọi \(x ≥ 6\)
Suy ra \(3-\sqrt{x-6} \leq 3\) với mọi \(x ≥ 6\)
Giá trị lớn nhất của \(3-\sqrt{x-6}\) là \(3\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x-6 = 0\) hay \(x =6.\)
\(\)
2.20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\displaystyle\frac{4}{3+\sqrt{2-x}}.\)
Giải
Ta có \(\sqrt{2-x} \geq 0\) với mọi \(x \leq 2\)
Nên \(3+\sqrt{2-x} \geq 3\)
Biểu thức đã cho có tử và mẫu đều là số dương, tử số là \(4\) không đổi, do đó biểu thức có giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.
Do đó \(\displaystyle\frac{4}{3+\sqrt{2-x}} \leq \displaystyle\frac{4}{3}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(\displaystyle\frac{4}{3+\sqrt{2-x}}\) là \(\displaystyle\frac{4}{3}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2-x=0\) hay \(x=2.\)
\(\)
2.21. Tìm số tự nhiên n nhỏ hơn 45 sao cho \(x=\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{2}\) là số nguyên.
Giải
Vì \(x=\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{2}\) là số nguyên nên \(\sqrt{n}-1\) phải chia hết cho \(2\) và \(\sqrt{n}\) cũng là số nguyên hay n là các số chính phương. Mà \(n < 45\) nên ta có các số chính phương nhỏ hơn \(45\) là \(\{0; 1; 4; 9; 16; 25; 36\}.\)
Vì \(\sqrt{n}-1\) chia hết cho \(2\) nên \(\sqrt{n}\) là số lẻ nên n lẻ. Do đó, \(n ∈ \{1; 9; 25\}.\)
Vậy để \(x=\displaystyle\frac{\sqrt{n}-1}{2}\) là số nguyên thì \(n ∈ \{1; 9; 25\}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn
Xem bài giải tiếp theo: Bài 7: Tập hợp các số thực
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
