Bài 5. Hình chữ nhật - Hình vuông

Chương 3 – Bài 5. Hình chữ nhật – Hình vuông trang 87 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho hình 14. Tìm x.

Giải

Áp dụng định lí Pythagoge vào \(ΔABC\) vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\) hay \(BC = 10\ (cm)\)

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:

\(AM=\displaystyle\frac{1}{2}BC=\displaystyle\frac{1}{2}.10=5\ (cm)\)

Vậy \(x=5\ cm.\)

\(\)

2. Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải

Lấy điểm P đối xứng với điểm M qua QN.

\(\)

3. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Giải

a) Ta có: I là trung điểm của AC (giả thiết);

I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I).

Suy ra tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà \(\widehat{AHC} =90^o\) (AH là đường cao của \(ΔABC\)).

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) \(ΔAHC\) có HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC);

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC).

Mà HI cắt AM tại G nên G là trọng tâm của \(ΔAHC\).

⇒ \(HG=\displaystyle\frac{2}{3}HI\) và \(GI=\displaystyle\frac{1}{3}HI\) (1)

Tương tự \(ΔAEC\) có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

⇒ K là trọng tâm của \(ΔAEC\).

⇒ \(KE=\displaystyle\frac{2}{3}IE\) và \(KI=\displaystyle\frac{1}{3}IE\) (2)

HI = IE (E đối xứng với H qua I) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(HG=KE=\displaystyle\frac{2}{3}IE\)

Ta có: \(GK=GI+IK=\displaystyle\frac{1}{3}IE+\displaystyle\frac{1}{3}IE=\displaystyle\frac{2}{3}IE\)

Suy ra \(HG=KE=GK\left(=\displaystyle\frac{2}{3}IE\right).\)

\(\)

4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE//AB, vẽ DF//AC (E ∈ AC, F ∈ AB). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật;

b) Tứ giác BFED là hình bình hành.

Giải

a) Ta có: AE//DF (AC//FD); AF//DE (AB//DE)

⇒ AEDF là hình bình hành.

Mà \(\widehat{FAE} =90^o\) (ΔABC vuông tại A)

Nên AEDF là hình chữ nhật.

b) \(ΔABC\) có D là trung điểm của BC và FD//AC ⇒ F là trung điểm của AB.

\(ΔABC\) có D là trung điểm của BC và DE//AB ⇒ E là trung điểm của AC.

⇒ EF là đường trung bình của \(ΔABC.\)

⇒ \(EF//BC\) và \(EF=\displaystyle\frac{1}{2}BC.\)

Lại có \(BD=\displaystyle\frac{1}{2}BC\) (D là trung điểm của BC).

⇒ EF//BD và EF = BD

Vậy tứ giác BFED là hình bình hành.

\(\)

5. Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác.

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.