Chương 3 – Bài 4. Hình bình hành – Hình thoi trang 80 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?
Giải
Điều kiện để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành:
a) AB = CD hoặc AD//BC.
b) EH = FG hoặc EH//FG.
c) OP = OM.
d) \(\widehat{V} =\widehat{T}\)
\(\)
2. Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 20).
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID.
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành ta có: AB//CD và AB = CD.
Xét hai tam giác vuông AHB và CKD có:
AB = CD (chứng minh trên);
\(\widehat{KDC} =\widehat{ABH}\) (AB//DC, hai góc so le trong).
Do đó \(ΔAHB=ΔCKD\) (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = CK.
Ta có : AH ⊥ BD; CK ⊥ BD
⇒ AH // CK.
Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.
b) AKCH là hình bình hành nên AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó I là trung điểm của AC.
ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID.
\(\)
3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Giải
a) Ta có: AD = BC (ABCD là hình bình hành);
E là trung điểm của AD nên \(ED = \displaystyle\frac{1}{2}AD;\)
F là trung điểm của BC nên \(BF = \displaystyle\frac{1}{2}BC.\)
⇒ ED = BF.
Vì ABCD là hình bình hành ⇒ AD//BC
Hay ED//BF.
Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) Hình bình hành ABCD có O là trung điểm của BD.
Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.
Vậy E, O, F thẳng hàng.
\(\)
4. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh rằng DE//BF.
b) Tứ giác DEBF là hình gì?
Giải
a) ABCD là hình bình hành do đó AB//CD; \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}.\)
\(\widehat{B_2} =\displaystyle\frac{\widehat{ABC}}{2}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)).
\(\widehat{D_2} =\displaystyle\frac{\widehat{ADC}}{2}\) (DE là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)).
\(⇒\widehat{B_2}=\widehat{D_2}.\)
Ta có AB//CD \(⇒\widehat{D_2} =\widehat{AED}\) (hai góc so le trong).
Nên \(\widehat{AED} =\widehat{B_2}\)
Mà \(\widehat{AED}\) và \(\widehat{B_2}\) ở vị trí đồng vị.
⇒ DE//BF.
b) Tứ giác DEBF có DE//BF và EB//DF (AB//CD)
Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành.
\(\)
5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; E và F là giao điểm của AK và CI với BD.
a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang.
b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.
Giải
a) Ta có I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD nên:
\(AI=\displaystyle\frac{1}{2}AB;\ CK=\displaystyle\frac{1}{2}CD.\)
Mà AB = CD (ABCD là hình bình hành).
⇒ AI = CK.
ABCD là hình bình hành ta có: AB//CD hay AI//CK.
Tứ giác AICK là hình bình hành.
Suy ra AK//IC hay AE//IF.
Tứ giác AEFI có AE//IF nên là hình thang.
b) \(ΔABE\) có I là trung điểm của AB và IF//AE.
Nên F là trung điểm của EB ⇒BF = EF (1)
\(ΔDCF\) có K là trung điểm của CD và EK//FC.
Nên E là trung điểm của DF ⇒DE=EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = BF.
\(\)
6. Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.
Giải
E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC.
⇒ EF là đường trung bình của \(ΔABC\)
⇒ EF//AC và \(EF=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (1)
H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC.
⇒ HG là đường trung bình của \(ΔACD\)
⇒ HG//AC và \(HG=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ EF//HG và EF = HG.
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.
Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC ⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mà \(\widehat{BAD} =90^o\) ⇒ ABCD là hình chữ nhật.
Xét ΔEBF và ΔCGF có :
EB = EC (giả thiết);
BF = FC (giả thiết);
\(\widehat{EBF} = \widehat{GCF}\ (=90^o).\)
\(⇒ΔEBF=ΔGCF\) (c.g.c)
⇒EF = GF.
Chứng minh tương tự ta có GF = GH, GH = EF.
⇒ EF = GF = GH = EH.
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.
\(\)
7. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.
Giải
Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
⇒ O là trung điểm của AC và BD.
⇒ \(AO = \displaystyle\frac{AC}{2}= \displaystyle\frac{6}{2}=3\ (cm)\) và \(DO = \displaystyle\frac{BD}{2}= \displaystyle\frac{8}{2} = 4\ (cm)\)
\(AC ⊥ BD\) tại O (ABCD là hình thoi)
Áp dụng định lí Pythagoge vào \(ΔADO\) vuông tại O có \(AD^2=AO^2+DO^2\)
\(⇒AD^2=3^2+4^2=25⇒AD = 5\ (cm).\)
Vậy AB = BC = DC = AD = 5 (cm).
\(\)
8. Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau
b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.
Giải
a) Tứ giác ABCD có:
AD và BC cắt nhau tại M (giả thiết);
M là trung điểm của BC (giả thiết)
M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)
Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà AD⊥BC (vì D đối xứng với A qua BC)
Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.
b) Tứ giác OAMB có:
OM và AB cắt nhau tại E (giả thiết);
E là trung điểm của OM (giả thiết);
E là trung điểm của AB (giả thiết);
Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.
Suy ra \(\widehat{AOB} =\widehat{AMB} =90^o,\) \(\widehat{OBM} =\widehat{OAM} =180^o-90^o=90^o\)
Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.
Xét tam giác AOB và MBO ta có:
AO = MB (OAMB là hình bình hành);
\(\widehat{AOB} =\widehat{MBO} =90^o\);
OB là cạnh chung.
Suy ra \(ΔAOB=ΔMBO\) (c.g.c)
c) Ta có \(ME=\displaystyle\frac{1}{2}AB\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Và \(AE=\displaystyle\frac{1}{2}AB\) (E là trung điểm của AB)
\(⇒EM=EA=\displaystyle\frac{1}{2}AB\) (1)
Ta có \(MF=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Và \(AF=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (F là trung điểm của AC)
\(⇒MF=AF=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (2)
\(AB=AC\) (\(ΔABC\) cân tại A) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF
Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.
\(\)
9. Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22.
Giải
Các hình bình hành là: ABCD, AEIK, FGHI.
Các hình thang là: AEIK, AFIK, EGHI, FBHI, EBHI, AGHK, AGHK, ABHK,ABCJ.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 3. Hình thang – Hình thang cân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5. Hình chữ nhật – Hình vuông
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
