Bài \(4\). Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trang \(81\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
\(a)\) \(d_1: 3x + 2y \ – \ 5 = 0\) và \(d_2: x \ – \ 4y + 1 = 0 \);
\(b)\) \(d_3: x \ – \ 2y + 3 = 0\) và \(d_4: \ – \ 2x + 4y + 10 = 0\);
\(c)\) \(d_5: 4x + 2y \ – \ 3 = 0\) và \(d_6: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} + t\\y = \displaystyle \frac{5}{2} \ – \ 2t. \end{array} \right. \end{equation}\).
Trả lời:
\(a)\) Toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x + 2y \ – \ 5 = 0\\x \ – \ 4y + 1 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x + 2y = 5\\3x \ – \ 12y = \ – \ 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{9}{7}\\y = \displaystyle \frac{4}{7} \end{array} \right. \end{equation}\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \left(\displaystyle \frac{9}{7}; \displaystyle \frac{4}{7}\right)\)
Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại một giao điểm \(\left(\displaystyle \frac{9}{7}; \displaystyle \frac{4}{7}\right)\)
\(b)\) Toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d_3\) và \(d_4\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \ – \ 2y + 3 = 0\\\ – \ 2x + 4y + 10 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \ – \ 2y = \ – \ 3\\x \ – \ 2y = \ – \ 5 \end{array} \right. \end{equation}\)
Hệ phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng \(d_3\) và \(d_4\) không có điểm chung, hay \(d_3 // d_4\)
\(c)\) Đường thẳng \(d_5\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_5} = (4; 2)\)
Do đó \(d_5\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_5} = (2; \ – \ 4)\)
Đường thẳng \(d_6\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_6} = (1; \ – \ 2)\)
Xét thấy \(\overrightarrow{u_5} = 2 \overrightarrow{u_6}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{u_5}\) và \(\overrightarrow{u_6}\) cùng phương.
Ứng với \(t = 0\) thay vào phương trình \(d_6\) ta được:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} + 0 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\\y = \displaystyle \frac{5}{2} \ – \ 2. 0 = \displaystyle \frac{5}{2} \end{array} \right.\end{equation}\)
Suy ra điểm \(M\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{5}{2}\right)\)
Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d_5\) ta được:
\(4. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right) + 2. \displaystyle \frac{5}{2} \ – \ 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow 0 = 0\) thoả mãn
Khi đó điểm \(M\) vừa thuộc \(d_5\), vừa thuộc \(d_6\)
Vậy hai đường thẳng \(d_5\) và \(d_6\) trùng nhau.
\(\)
Bài \(2\). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1: 2x \ – \ y + 5 = 0\) và \(d_2: x \ – \ 3y + 3 = 0 \).
Trả lời:
Đường thẳng \(d_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (2; \ – \ 1)\)
Đường thẳng \(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (1; \ – \ 3)\)
Do đó, \(\cos{(\overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2})} = \cos{(\overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2})} = \displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|. |\overrightarrow{n_2}|}\)
\(= \displaystyle \frac{2. 1 + (\ – \ 1). (\ – \ 3)}{\sqrt{2^2 + (\ – \ 1)^2}. \sqrt{1^2 + (\ – \ 3)^2}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \((d_1, d_2) = 45^o\)
\(\)
Bài \(3\). Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(A(1; \ – \ 2)\) và \(\Delta_1: 3x \ – \ y + 4 = 0\);
\(b)\) \(B(\ – \ 3; 2)\) và \(\Delta_2: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ 2 + t \\y = 1 \ – \ 2t.\end{array} \right. \end{equation}\).
Trả lời:
\(a)\) Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta_1\) là:
\(d(A, \Delta_1) = \displaystyle \frac{|3. 1 \ – \ (\ – \ 2) + 4|}{\sqrt{3^2 + (\ – \ 1)^2}} = \displaystyle \frac{9}{\sqrt{10}} = \displaystyle \frac{9\sqrt{10}}{10}\)
\(b)\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (1; \ – \ 2)\) nên \(\Delta_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (2; 1)\)
Ứng với \(t = 0\) thay vào phương trình \(\Delta_2\) ta được:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ 2 + 0 = \ – \ 2\\y = 1 \ – \ 2. 0 = 1 \end{array} \right. \end{equation}\)
Suy ra điểm \(C(\ – \ 2; 1)\) thuộc đường thẳng \(\Delta_2\)
Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_2\) là:
\(2. (x \ – \ (\ – \ 2)) + 1. (y \ – \ 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + 3 = 0\)
Do đó, khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng \(\Delta_2\) là:
\(d(B, \Delta_2) = \displaystyle \frac{|2. (\ – \ 3) + 2 + 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(\)
Bài \(4\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hai đường thẳng nào sau đây vuông góc?
\(\Delta_1: mx \ – \ y + 1 = 0\) và \(\Delta_2: 2x \ – \ y + 3 = 0\).
Trả lời:
Đường thẳng \(\Delta_1\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1} = (m; \ – \ 1)\)
Đường thẳng \(\Delta_2\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2} = (2; \ – \ 1)\)
Hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}\)
\(\Leftrightarrow m. 2 + (\ – \ 1). (\ – \ 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow m = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)
Vậy với \(m = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\) thì hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) vuông góc với nhau.
\(\)
Bài \(5\). Cho ba điểm \(A(2; \ – \ 1), B(1; 2)\) và \(C(4; \ – \ 2)\). Tính số đo góc \(BAC\) và góc giữa hai đường thẳng \(AB, AC\).
Trả lời:
Ta có:
\(\overrightarrow{AB} = (\ – \ 1; 3)\)
\(\overrightarrow{AC} = (2; \ – \ 1)\)
\(\Rightarrow \cos{\widehat{BAC}} = \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} = \displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|}\)
\(= \displaystyle \frac{(\ – \ 1). 2 + (3. (\ – \ 1)}{\sqrt{(\ – \ 1)^2 + 3^2}. \sqrt{2^2 + (\ – \ 1)^2}} = \ – \ \displaystyle \frac{5}{5\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{BAC} = 135^o\)
\(\cos{(AB, AC)} = |\cos{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}| = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra \((AB, AC) = 45^o\)
\(\)
Bài \(6\). Cho ba điểm \(A(2; 4), B(\ – \ 1; 2)\) và \(C(3; \ – \ 1)\). Viết phương trình đường thẳng đi qua \(B\) đồng thời cách đều \(A\) và \(C\).
Trả lời:
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\) và cách đều \(A\) và \(C\).
\(d\) đi qua \(B(\ – \ 1; 2)\) nên \(d\) có phương trình:
\(a. (x \ – \ (\ – \ 1)) + b. (y \ – \ 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow ax + by + a \ – \ 2b = 0\) (\(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\))
Đường thẳng \(d\) cách đều \(A\) và \(B\) nên:
\(d(A; d) = d(C; d)\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{|a. 2 + b. 4 + a \ – \ 2b|}{\sqrt{a^2 +b^2}} = \displaystyle \frac{|a. 3 + b. (\ – \ 1) + a \ – \ 2b|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
\(\Leftrightarrow |3a + 2b| = |4a \ – \ 3b|\)
\(+)\) Trường hợp \(1\): \(3a + 2b = 4a \ – \ 3b\)
\(\Leftrightarrow a = 5b\)
Với \(b = 1\) ta được \(a = 5\)
Phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là:
\(5x + y + 5 \ – \ 2 = 0 \Leftrightarrow 5x + y + 3 = 0\)
\(+)\) Trường hợp \(2\): \(3a + 2b = \ – \ (4a \ – \ 3b) = 3b \ – \ 4a\)
\(\Leftrightarrow b = 7a\)
Với \(a = 1\) thì \(b = 7\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là:
\(x + 7y + 1 \ – \ 2. 7 = 0 \Leftrightarrow x + 7y \ – \ 13 = 0\)
Vậy có hai đường thẳng \(d\) thoả mãn:
\(5x + y + 3 = 0\) và \(x + 7y \ – \ 13 = 0\).
\(\)
Bài \(7\). Có hai con tàu \(A\) và \(B\) cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình rađa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) với đơn vị theo các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t \geq 0\)), vị trí của tàu \(A\) có toạ độ được xác định bởi công thức \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 3 \ – \ 33t\\y = \ – \ 4 + 25t \end{array} \right.\end{equation}\), vị trí của tàu \(B\) có toạ độ là \((4 \ – \ 30t; 3 \ – \ 40t)\).
\(a)\) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A\) và \(B\).
\(b)\) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
\(c)\) Nếu tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(B\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Trả lời:
\(a)\) Giả sử đường đi của tàu \(A\) là \(d_1\). Khi đó \(d_1\) có phương trình:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 3 \ – \ 33t\\y = \ – \ 4 + 25t \end{array} \right. \end{equation}\)
Giả sử đường đi của tàu \(B\) là \(d_2\). Khi đó \(d_2\) có phương trình:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 4 \ – \ 30t\\y = 3 \ – \ 40t \end{array} \right. \end{equation}\)
Khi đó, vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(d_1, d_2\) lần lượt là \(\overrightarrow{u_1} = (\ – \ 33; 25)\) và \(\overrightarrow{u_2} = (\ – \ 30; \ – \ 40)\).
Do đó ta có:
\(\cos{(d_1, d_2)} = \cos{(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2})}\)
\(= \displaystyle \frac{|(\ – \ 33). (\ – \ 30) + 25. (\ – \ 40)|}{\sqrt{(\ – \ 33)^2 + 25^2}. \sqrt{(\ – \ 30)^2 + (\ – \ 40)^2}} = \displaystyle \frac{10}{50\sqrt{1714}} = \displaystyle \frac{1}{5\sqrt{1714}}\)
Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A\) và \(B\) là \(\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{1714}}\)
\(b)\) Ứng với \(t = 0\) thì \(A(3; \ – \ 4), B(4; 3)\)
Đường thẳng \(d_1\) đi qua điểm \(A(3; \ – \ 4)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (25; 33)\) nên \(d_1\) có phương trình tổng quát là:
\(25. (x \ – \ 3) + 33. (y \ – \ (\ – \ 4)) = 0\)
\(\Leftrightarrow 25x + 33y + 57 = 0\)
Đường thẳng \(d_2\) đi qua điểm \(B(4; 3)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (4; \ – \ 3)\) nên đường thẳng \(d_2\) có phương trình tổng quát là:
\(4. (x \ – \ 4) \ – \ 3. (y \ – \ 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 4x \ – \ 3y \ – \ 7 = 0\)
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}25x + 33y + 57 = 0\\4x \ – \ 3y \ – \ 7 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{20}{69}\\y = \ – \ \displaystyle \frac{403}{207} \end{array} \right. \end{equation}\)
Hệ phương trình có nghiệmn duy nhất nên hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại điểm có toạ độ \(\left(\displaystyle \frac{20}{69}; \ – \ \displaystyle \frac{403}{207}\right)\).
Vậy hai tàu gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí toạ độ \(\left(\displaystyle \frac{20}{69}; \ – \ \displaystyle \frac{403}{207}\right)\).
Thay toạ độ điểm \(\left(\displaystyle \frac{20}{69}; \ – \ \displaystyle \frac{403}{207}\right)\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d_1\) ta được:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{20}{69} = 3 \ – \ 33t\\\ – \ \displaystyle \frac{403}{207} = \ – \ 4 +25t \end{array} \right. \end{equation} \)
\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{17}{207}\)
Vậy sau \(\displaystyle \frac{17}{207}\) giờ thì hai tàu gần nhau nhất.
\(c)\) Vì tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu nên thời gian tàu \(A\) chạy ứng với \(t = 0\)
Do đó tàu \(A\) đứng ở vị trí \(A(3; \ – \ 4)\).
Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường đi của tàu \(B\) hay chính là khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(d_2: 4x \ – \ 3y \ – \ 7 = 0\)
Ta có: \(d(A; d_2) = \displaystyle \frac{|4. 3 \ – \ 3. (\ – \ 4) \ – \ 7|}{\sqrt{4^2 + (\ – \ 3)^2}} = \displaystyle \frac{17}{5} = 3,4\)
Vậy nếu tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(B\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng \(3,4\) km.
Bài 4. Vị trí tương đối Bài 4. Vị trí tương đối Bài 4. Vị trí tương đối Bài 4. Vị trí tương đối Bài 4. Vị trí tương đối Bài 4. Vị trí tương đối
Xem bài giải trước: Bài 3 – Phương trình đường thẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5 – Phương trình đường tròn
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.