Bài \(5\). Phương trình đường tròn trang \(87\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\(a)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 2x + 2y \ – \ 7 = 0\);
\(b)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 8x + 2y + 20 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(x^2 + y^2 \ – \ 2x + 2y \ – \ 7 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2 \ – \ 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 9\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1)^2 + (y + 1)^2 = 3^2\)
Vậy phương trình trên là phương trình đường tròn tâm \(I(1; \ – \ 1)\) với bán kính \(R = 3\).
\(b)\) Ta có: \(x^2 + y^2 \ – \ 8x + 2y + 20 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2 \ – \ 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = \ – \ 3\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 4)^2 + (y + 1)^2 = \ – \ 3\)
Do \(\ – \ 3 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.
\(\)
Bài \(2\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) Đường tròn có phương trình \((x + 1)^2 + (y \ – \ 5)^2 = 9\);
\(b)\) Đường tròn có phương trình \(x^2 + y^2 \ – \ 6x \ – \ 2y \ – \ 15 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \((x + 1)^2 + (y \ – \ 5)^2 = 9\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ (\ – \ 1))^2 + (y \ – \ 5)^2 = 3^2\)
Do đó đường tròn đã cho có tâm \(I(\ – \ 1; 5)\) và bán kính \(R = 3\).
\(b)\) Ta có: \(x^2 + y^2 \ – \ 6x \ – \ 2y \ – \ 15 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 3)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 5^2\)
Do đó đường tròn đã cho có tâm \(I(3; 1)\) và bán kính \(R = 5\)
\(\)
Bài \(3\). Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) Đường tròn có tâm \(I(\ – \ 3; 4)\) bán kính \(R = 9\);
\(b)\) Đường tròn có tâm \(I(5; \ – \ 2)\) và đi qua điểm \(M(4; \ – \ 1)\);
\(c)\) Đường tròn có tâm \(I(1; \ – \ 1)\) và có một tiếp tuyến là \(\Delta\): \(5x \ – \ 12y \ – \ 1 = 0\);
\(d)\) Đường tròn đường kính \(AB\) với \(A(3; \ – \ 4)\) và \(B(\ – \ 1; 6)\);
\(e)\) Đường tròn đi qua ba điểm \(A(1; 1), B(3; 1), C(0; 4)\).
Trả lời:
\(a)\) Phương trình đường tròn có tâm \(O(– 3; 4)\) và bán kính \(R = 9\) là:
\((x \ – \ (\ – \ 3))^2 + (y \ – \ 4)^2 = 9^2\)
\(\Leftrightarrow (x + 3)^2 + (y \ – \ 4)^2 = 81\)
\(b)\) Đường tròn có tâm \(I(5; \ – \ 2)\) và đi qua điểm \(M(4; \ – \ 1)\) thì có bán kính là:
\(R = IM = \sqrt{(4 \ – \ 5)^2 + (\ – \ 1 \ – \ (\ – \ 2))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
Vậy phương trình đường tròn cần lập là:
\((x \ – \ 5)^2 + (y \ – \ (\ – \ 2))^2 = (\sqrt{2})^2\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 5)^2 + (y + 2)^2 = 2\)
\(c)\) Khoảng cách từ tâm \(I\) của đường tròn đến tiếp tuyến \(\Delta\) chính bằng bán kính của đường tròn cần lập.
\(\Rightarrow R = d(I, \Delta) = \displaystyle \frac{|5. 1 \ – \ 12. (\ – \ 1) \ – \ 1|}{\sqrt{5^2 + (\ – \ 12)^2}}\)
\(= \displaystyle \frac{16}{13}\)
Vậy phương trình đường tròn cần lập là:
\((x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ (\ – \ 1))^2 = \left(\displaystyle \frac{16}{13}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1)^2 + (y + 1)^2 = \displaystyle \frac{256}{169}\)
\(d)\) Ta có: \(AB = \sqrt{(\ – \ 1 \ – \ 3)^2 + ( 6 \ – \ (\ – \ 4))^2} = 2\sqrt{29}\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì toạ độ điểm \(I\) thoả mãn:
\(x_I = \displaystyle \frac{x_A + x_B}{2} = \displaystyle \frac{3 + (\ – \ 1)}{2} = 1\)
\(y_I = \displaystyle \frac{y_A + y_B}{2} = \displaystyle \frac{\ – \ 4 + 6}{2} = 1\)
\(\Rightarrow I(1; 1)\)
Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và có bán kính \(R = \displaystyle \frac{1}{2} AB = \sqrt{29}\)
Vậy phương trình đường tròn cần lập là:
\((x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 29\)
\(\)
Bài \(4\). Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(3\) thuộc đường tròn
\((x + 2)^2 + (y + 7)^2 = 169\).
Trả lời:
Ta có: \((x + 2)^2 + (y + 7)^2 = 169\)
\(\Leftrightarrow (x – (–2))^2 + (y – (–7))^2 = 13^2\).
Do đó, đường tròn đã cho có tâm \(I(– 2; – 7)\) và bán kính \(R = 13\).
Hoành độ của tiếp điểm là \(3\) hay \(x = 3\), thay vào phương trình đường tròn ta được:
\((3 + 2)^2 + (y + 7)^2 = 169\)
\(\Leftrightarrow (y + 7)^2 = 144\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y + 7 = 12\\y + 7 = \ – \ 12 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y = 5\\y = \ – \ 19 \end{array} \right. \end{equation}\)
Do đó, ta tìm được các điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng \(3\) là \(A(3; 5)\) và \(B(3; – 19)\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I(\ – \ 2; \ – \ 7)\) tại điểm \(A(3; 5)\) là:
\((3 \ – \ (\ – \ 2))(x \ – \ 3) + (5 \ – \ (\ – \ 7))(y \ – \ 5) = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x + 12y \ – \ 75 = 0\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại \(B(3; \ – \ 19)\) là
\((3 \ – \ (\ – \ 2))(x – 3) + (\ – \ 19 \ – \ (\ – \ 7))(y \ – \ (\ – \ 19)) = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x \ – \ 12y \ – \ 243 = 0\).
Vậy các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \(5x + 12y \ – \ 75 = 0\) và \(5x \ – \ 12y \ – \ 243 = 0\).
\(\)
Bài \(5\). Tìm \(m\) sao cho đường thẳng \(3x + 4y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn
\((x + 1)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 4\).
Trả lời:
Đường tròn \((x + 1)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 4\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ (\ – \ 1))^2 + (y \ – \ 2)^2 = 2^2\)
Suy ra đường tròn có tâm \(I(\ – \ 1; 2)\) và bán kính \(R = 2\)
Gọi \(d\) là đường thẳng \(3x + 4y + m = 0\).
Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((x + 1)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 4\) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I(\ – \ 1; 2)\) đến đường thẳng \(d\) chính bằng bán kính đường tròn tâm.
\(\Leftrightarrow d(I, d) = R = 2\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{|3. (\ – \ 1) + 4. 2 + m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{|5 + m|}{5} = 2\)
\(\Leftrightarrow |5 + m| = 10\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}5 + m = 10\\5 + m = \ – \ 10 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}m = 5\\m = \ – \ 15 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(m = 5\) hoặc \(m = \ – \ 15\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
\(\)
Bài \(6\). Hình \(46\) mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí \(I\) có toạ độ \((\ -\ 2; 1)\) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).
\(a)\) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng \(3\) km.
\(b)\) Nếu người dùng ở vị trí có toạ độ \((\ – \ 1; 3)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.
\(c)\) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \((\ – \ 3; 4)\) di chuyển được đến vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời:
\(a)\) Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là đường tròn có tâm \(I(\ – \ 2; 1)\) và bán kính \(R = 3\).
Do đó, phương trình đường tròn cần tìm là:
\((x \ – \ (\ – \ 2))^2 + (y \ – \ 1)^2 = 9\)
\(\Leftrightarrow (x + 2)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 9\)
\(b)\) Khoảng cách từ tâm \(I\) của đường tròn ranh giới tới vị trí có tọa độ \((\ – \ 1; 3)\) là:
\(d = \sqrt{((\ – \ 1) \ – \ (\ – \ 2))^2 + (3 \ – \ 1)^2} = \sqrt{5}\)
Do \(\sqrt{5} < 3\) nên \(d < R\)
Tức là vị trí có tọa độ \((\ – \ 1; 3)\) nằm bên trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.
Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ \((\ – \ 1; 3)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
\(c)\) Gọi vị trí người đó đang đứng là \(B(\ – \ 3; 4)\).
Ta có: \(\overrightarrow{BI} = (\ – \ 2 \ – \ (\ – \ 3); 1 \ – \ 4) = (1; \ – \ 3)\)
\(\Rightarrow BI = \sqrt{1^2 + (\ – \ 3)^2} = \sqrt{10}\)
Do \(BI = \sqrt{10} > R = \sqrt{2}\) nên \(B\) nằm ngoài đường tròn ranh giới.
Giả sử đường thẳng \(BI\) cắt đường tròn tại điểm \(A\), khi đó \(AB\) là khoảng cách ngắn nhất từ \(B\) đến vùng phủ sóng.
Ta đi tìm tọa độ điểm \(A\).
Đường thẳng \(BI\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BI} = (1; \ – \ 3)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (3; 1)\)
Do đó phương trình tổng quát đường thẳng \(BI\) là:
\(3. (x \ – \ (\ – \ 2)) + 1. (y \ – \ 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x + y + 5 = 0\)
Khi đó, toạ độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x + y + 5 = 0\\(x + 2)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 9 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y = \ – \ 3x \ – \ 5\\(x + 2)^2 + (\ – \ 3x \ – \ 5 \ – \ 1)^2 = 9 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y = \ – \ 3x \ – \ 5 (1)\\10x^2 + 40x + 31 = 0 (2)\end{array} \right. \end{equation}\)
Giải \((2)\) ta được:
\(\begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\ – \ 20 + 3\sqrt{10}}{10}\\x = \displaystyle \frac{\ – \ 20 \ – \ 3\sqrt{10}}{10} \end{array} \right. \end{equation}\)
Thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào \((1)\), ta được các giá trị tương ứng của \(y\).
Ứng với \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 20 + 3\sqrt{10}}{10}\) thì \(y = \displaystyle \frac{10 \ – \ 9\sqrt{10}}{10}\)
\(\Rightarrow A\left(\displaystyle \frac{\ – \ 20 + 3\sqrt{10}}{10}; \displaystyle \frac{10 \ – \ 9\sqrt{10}}{10}\right)\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{\left(\ – \ 3 \ – \ \displaystyle \frac{\ – \ 20 + 3\sqrt{10}}{10}\right)^2 + \left(4 \ – \ \displaystyle \frac{10 \ – \ 9\sqrt{10}}{10}\right)^2} \approx 6,2\)
Ứng với \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 20 \ – \ 3\sqrt{10}}{10}\) thì \(y = \displaystyle \frac{10 + 9\sqrt{10}}{10}\)
\(\Rightarrow A\left(\displaystyle \frac{\ – \ 20 \ – \ 3\sqrt{10}}{10}; \displaystyle \frac{10 + 9\sqrt{10}}{10}\right)\)
\(\Rightarrow AB = \sqrt{\left(\ – \ 3 \ – \ \displaystyle \frac{\ – \ 20 \ – \ 3\sqrt{10}}{10}\right)^2 + \left(4 \ – \ \displaystyle \frac{10 + 9\sqrt{10}}{10}\right)^2} \approx 0,2\)
Do \(0,2 < 6,2\) nên kết quả \(0,2\) thoả mãn ngắn nhất.
Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \((\ – \ 3; 4)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng là \(0,2\) km.
\(\)
Bài \(7\). Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa.
Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm \(I\left(0; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\) bán kính \(0,8\) trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm \(M\left(\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{10}; 2\right)\), đĩa được ném đi (Hình \(47\)). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?
Trả lời:
Đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm \(I\left(0; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\), bán kính \(0,8\). Đến điểm \(M\left(\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{10}; 2\right)\) đĩa được ném đi.
Do đó, trong những giây đầu tiên sau khi ném đi, đĩa chuyển động trên một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I\), bán kính \(0,8\) tại tiếp điểm \(M\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I\) tại tiếp điểm \(M\) là:
\(\left(\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{10} \ – \ 0\right). \left(x \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{39}}{10}\right) + \left(2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\right). (y \ – \ 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow 10\sqrt{39} x + 50y \ – \ 139 = 0\)
Vậy trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là:
\(10\sqrt{39} x + 50y \ – \ 139 = 0\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4 – Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6 – Ba đường conic
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.