Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ trang \(71\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Viết phương trình chính tắc của:
\(a)\) Elip có trục lớn bằng \(12\) và trục nhỏ bằng \(8\);
\(b)\) Hypebol có tiêu cự \(2c = 18\) và độ dài trục thực \(2a = 14\);
\(c)\) Parabol có tiêu điểm \(F(5; 0)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

Trục lớn \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\);

Trục bé \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\).

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \(\displaystyle \frac{x^2}{36} + \displaystyle \frac{y^2}{16} = 1\)

\(b)\) Ta có:

Tiêu cự \(2c = 18 \Rightarrow c = 9\)

Trục thực \(2a = 14 \Rightarrow a = 7\).

Lại có: \(b^2 = c^2 \ – \ a^2 = 9^2 \ – \ 7^2 = 32\)

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: \(\displaystyle \frac{x^2}{49} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{32} = 1\).

\(c)\) Parabol có tiêu điểm \(F(5; 0)\) nên ta có \(\displaystyle \frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10\)

Vậy phương trình của parabol là \(p^2 = 20x\).

\(\)

Bài \(2\). Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm toạ độ các tiêu điểm của chúng.
\(a)\) \((C_1): 7x^2 + 13y^2 = 1\);
\(b)\) \((C_2): 25x^2 \ – \ 9y^2 = 225\);
\(c)\) \((C_3): x = 2y^2\).

Trả lời:

\(a)\) \((C_1): 7x^2 + 13y^2 = 1 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{\frac{1}{7}} + \displaystyle \frac{y^2}{\frac{1}{13}} = 1\)

Đây là phương trình chính tắc của elip với \(a^2 = \displaystyle \frac{1}{7}, b^2 = \displaystyle \frac{1}{13}\)

Suy ra \(c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{7}\right)^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{1}{13}\right)^2} = \displaystyle \frac{\sqrt{546}}{91}\)

\((C_1)\) có hai tiêu điểm là \(F_1 = \left(\displaystyle \frac{\sqrt{546}}{91}; 0\right); F_2 = \left(\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{546}}{91}; 0\right)\).

\(b)\) \((C_2): 25x^2 \ – \ 9y^2 = 225\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\)

Đây là phương trình chính tắc của Hypebol với \(a = 3; b = 5\).

Suy ra \(c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 34\) hay \(c = \sqrt{34}\)

\((C_2)\) có hai tiêu điểm \(F_1(\sqrt{34}; 0); F_2(\ – \ \sqrt{34}; 0)\).

\(c)\) \((C_3): x = 2y^2 \Leftrightarrow y^2 = \displaystyle \frac{1}{2}x\)

Đây là phương trình chính tắc của Parabol.

Ta có \(2p = \displaystyle \frac{1}{2} \Rightarrow p = \displaystyle \frac{1}{4}\).

\((C_3)\) có tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{1}{4}; 0\right)\).

\(\)

Bài \(3\). Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là \(1m\) và trục nhỏ là \(0,6m\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(1m x 0,6m\), người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị:
\(-\) Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
\(-\) Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.
\(-\) Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm \(M\) nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm \(M\) rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip (Xem minh hoạ trong Hình \(10\))
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Trả lời:

Phương trình Elip có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Ta có: \(2a = 1 \Rightarrow a = 0,5 m\)

\(2b = 0,6 \Rightarrow b = 0,3 m\)

Suy ra \(c^2 = a^2 \ – \ b^2 = 0,5^2 \ – \ 0,3^2 = 0,16\)

\(\Rightarrow c = 0,4 m\)

Do đó elip có hai tiêu điểm \(F_1(40; 0); F_2(\ – \ 40; 0)\)

Có \(a \ – \ c = 0,5 \ – \ 0,4 = 0, 1m\) nên cần ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván \(0,1 m\).

Độ dài vòng dây là: \(l = MF_1 + MF_2 + F_1F_2 = 2a + 2c = 2. 0,5 + 2. 0,4 = 1,8m\)

Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép \(0,1m\) và lấy vòng dây độ dài là \(1,8 m\).

\(\)

Bài \(4\). Thang leo gợn sóng cho trẻ em trong công viên có hai khung thép cong hình nửa elip cao \(100cm\) và khoảng cách giữa hai chân là \(240cm\).
\(a)\) Hãy chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình chính tắc của elip nói trên.
\(b)\) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân khung \(20cm\) lên đến khung thép.

Trả lời:

\(a)\) Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Nửa hình elip cao \(100cm\) nên \(b = 100 cm\)

Khoảng cách giữa hai chân là \(240 cm\) nên \(2a = 240 m \Rightarrow a = 120 cm\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\(\displaystyle \frac{x^2}{120^2} + \displaystyle \frac{y^2}{100^2} = 1\).

\(b)\) Điểm \(F\) cách chân khung \(20 cm\) có hoành độ nên \(OF = 120 \ – \ 20 = 100\)

Suy ra độ dài đoạn \(FH\) là khoảng cách cần tìm.

\(\Rightarrow H(100; y)\)

Vì \(H\) thuộc elip nên ta có: \(\displaystyle \frac{100^2}{120^2} + \displaystyle \frac{y^2}{100^2} = 1\)

\(\Rightarrow y \approx 55\)

Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm đó đến khung thép là khoảng \(55cm\).

\(\)

Bài \(5\). Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình \(\displaystyle \frac{x^2}{30^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{50^2} = 1\). Biết chiều cao của tháp là \(120m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\displaystyle \frac{1}{2}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Trả lời:

Gọi bán kính nóc tháp, đáy tháp lần lượt là \(r, R\).

Vì chiều cao tháp \(120m\), khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\displaystyle \frac{1}{2}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy nên ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là \(40 m\), khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là \(80 m\).

Do đó hai điểm \(M(r; 40)\) và điểm \(N(R; \ – \ 80)\) thuộc hypebol. Thay toạ độ \(2\) điểm vào phương trình hypebol ta có:

\(\displaystyle \frac{r^2}{30^2} \ – \ \displaystyle \frac{40^2}{50^2} = 1\)

\(\Rightarrow r = 30\sqrt{1 + \displaystyle \frac{40^2}{50^2}} \approx 38 m\)

\(\displaystyle \frac{R^2}{30^2} \ – \ \displaystyle \frac{(\ – \ 80)^2}{50^2} = 1\)

\(\Rightarrow R \approx 57 m\)

Vậy bán kính nóc tháp là \(38 m\); bán kính đáy tháp là \(57 m\).

\(\)

Bài \(6\). Một cái cầu của dây cáp treo hình parabol, cầu dài \(120m\) và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là \(48m\), thanh ngắn nhất là \(8m\) (Hình \(12\)). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu \(20m\).