Bài tập cuối chương IX trang 77 Sách bài tập Toán lớp 10 tập 2 Chân trời sáng tạo.
\(A – \) TRẮC NGHIỆM
Bài \(1\). Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (4; 3)\) và \(\overrightarrow{b} = (1; 7)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là:
\(A.\) \(90^o\);
\(B.\) \(60^o\);
\(C.\) \(45^o\);
\(D.\) \(30^o\).
Trả lời:
Ta có: \(\cos{\varphi} = \displaystyle \frac{4. 1 + 3. 7}{\sqrt{4^2 + 3^2}. \sqrt{1^2 + 7^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \varphi = 45^o\).
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(2\). Cho hai điểm \(M(1; \ – \ 2)\) và \(N(\ – \ 3; 4)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\) là:
\(A.\) \(4\);
\(B.\) \(6\);
\(C.\) \(3\sqrt{6}\);
\(D.\) \(2\sqrt{13}\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{MN} = (\ – \ 3 \ – \ 1; 4 \ – \ (\ – \ 2)) = (\ – \ 4; 6)\)
\(\Rightarrow MN = \sqrt{(\ – \ 4)^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}\)
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(3\). Tam giác \(ABC\) có \(A = (\ – \ 1; 1); B(1; 3)\) và \(C(1; \ – \ 1)\).
Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
\(A.\) \(ABC\) là tam giác có ba cạnh bằng nhau;
\(B.\) \(ABC\) là tam giác có ba góc đều nhọn;
\(C.\) \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\) (\(BA = BC\));
\(D.\) \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (2; 2); \overrightarrow{AC} = (2; \ – \ 2); \overrightarrow{BC} = (0; \ – \ 4)\)
\(\Rightarrow AB = AC = 2\sqrt{2}; BC = 4\)
Vậy tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Lại có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = 2. 2 + 2. (\ – \ 2) = 0\)
\(\Rightarrow AB \perp AC\) hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(4\). Cho phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 5 + t\\y = \ – \ 9 \ – \ 2t \end{array} \right. \end{equation}\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của \((d)\)?
\(A.\) \(2x + y \ – \ 1 = 0\);
\(B.\) \(2x + 3y + 1 = 0\);
\(C.\) \(x + 2y + 2 = 0\);
\(D.\) \(x + 2y \ – \ 2 = 0\).
Trả lời:
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((5; \ – \ 9)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (1; \ – \ 2)\)
Suy ra \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; 1)\)
Vậy phương trình tổng quát của \(d\) là:
\(2. (x \ – \ 5) + 1. (y + 9) = 0 \Leftrightarrow 2x + y \ – \ 1 = 0\)
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(5\). Đường thẳng đi qua điểm \(M(1; 0)\) và song song với đường thẳng \(d: 4x + 2y + 1 = 0\) có phương trình tổng quát là:
\(A.\) \(4x + 2y + 3 = 0\);
\(B.\) \(2x + y + 4 = 0\);
\(C.\) \(2x + y \ – \ 2 = 0\);
\(D.\) \(x \ – \ 2y + 3 = 0\).
Trả lời:
Đường thẳng \(d’ // d\) nên có phương trình là \(d’: 4x + 2y + c = 0 (c \neq 1)\)
\(d’\) đi qua \(M(1; 0)\) nên ta có: \(4. 1 + 2. 0 + c = 0 \Rightarrow c = \ – \ 4\).
Vậy phương trình \(d’: 4x + 2y \ – \ 4 = 0 \Leftrightarrow 2x + y \ – \ 2 = 0\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(6\). Bán kính của đường tròn tâm \(I(0; \ – \ 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x \ – \ 4y \ – \ 23 = 0\) là:
\(A.\) \(15\);
\(B.\) \(5\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{3}{5}\);
\(D.\) \(3\).
Trả lời:
Đường tròn tâm \(I\) tiếp xúc với \(\Delta\) khi và chỉ khi: \(d(I, \Delta) = R \)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{3. 0 \ – \ 4. (\ – \ 2) \ – \ 23}{\sqrt{3^2 + (\ – \ 4)^2}} = R\)
\(\Leftrightarrow R = 3\)
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(7\). Cho đường tròn \((C): x^2 + y^2 + 2x + 4y \ – \ 20 = 0\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?
\(A.\) \((C)\) có tâm \(I(1; 2)\);
\(B.\) \((C)\) có bán kính \(R = 5\);
\(C.\) \((C)\) đi qua điểm \(M(2; 2)\);
\(D.\) \((C)\) không đi qua điểm \(A(1; 1)\).
Trả lời:
Phương trình đường tròn dạng tổng quát là: \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\)
Phương trình đã cho có các hệ số \(a = \ – \ 1, b = \ – \ 2, c = \ – \ 20\)
Ta có: \(a^2 + b^2 \ – \ c = (\ – \ 1)^2 + (\ – \ 2)^2 \ – \ (\ – \ 20) = 25 > 0\)
Suy ra đường tròn có tâm \(I(\ – \ 1; \ – \ 2)\) và bán kính \(R = 5\).
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(8\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(3; 4)\) với đường tròn \((C): x^2 + y^2 \ – \ 2x \ – \ 4y \ – \ 3 = 0\) là:
\(A.\) \(x + y \ – \ 7 = 0\);
\(B.\) \(x + y + 7 = 0\);
\(C.\) \(x \ – \ y \ – \ 7 = 0\);
\(D.\) \(x + y \ – \ 3 = 0\).
Trả lời:
Đường tròn \((C): x^2 + y^2 \ – \ 2x \ – \ 4y \ – \ 3 = 0 \Leftrightarrow (x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 8\)
Suy ra đường tròn có tâm \(I(1; 2)\) và bán kính \(R = 2\sqrt{2}\)
Tiếp tuyến với đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(3; 4)\) nên tiếp tuyến nhận đường thẳng \(IM = (2; 2)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(2.(x \ – \ 3) + 2(y \ – \ 4) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + 2y \ – \ 14 = 0\)
\(\Leftrightarrow x + y \ – \ 7 = 0\)
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(9\). Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \((\ – \ 3; 0), (3; 0)\) và hai tiêu điểm là \((\ – \ 1; 0), (1; 0)\) là:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{1} = 1\);
\(B.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{8} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{8} = 1\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{1} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\).
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của elip là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Hai đỉnh \((\ – \ 3; 0)\) và \((3; 0)\) nên \(a = 3\)
Hai tiêu điểm là \((\ – \ 1; 0)\) và \((1; 0)\) nên \(c = 1\)
Suy ra \(b = \sqrt{a^2 \ – \ c^2} = \sqrt{3^2 \ – \ 1^2} = 2\sqrt{2}\)
Vậy phương trình chính tắc cần tìm là: \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{8} = 1\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(10\). Phương trình chính tắc của hypebol có hai đỉnh là \((\ – \ 4; 0), (4; 0)\) và hai tiêu điểm là \((\ – \ 5; 0), (5; 0)\) là:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{16} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\);
\(B.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{16} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{25} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{4} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{3} = 1\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của hypebol là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Có \(a = 4, c = 5 \Rightarrow b = \sqrt{c^2 \ – \ a^2} = \sqrt{25 \ – \ 16} = 3\)
Vậy phương trình chính tắc cần tìm là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{16} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\)
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(11\). Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \((2; 0)\) là:
\(A.\) \(y^2 = 8x\);
\(B.\) \(y^2 = 4x\);
\(C.\) \(y^2 = 2x\);
\(D.\) \(y = 2x^2\).
Trả lời:
Gọi parabol có phương trình \(y^2 = 2px (p > 0)\).
Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{p}{2}; 0\right) = (2; 0)\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{p}{2} = 2 \Rightarrow p = 4\)
\(\Rightarrow y^2 = 2. 4x = 8x\)
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(12\). Elip với độ dài hai trục là \(20\) và \(12\) có phương trình chính tắc là:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{40} + \displaystyle \frac{y^2}{12} = 1\);
\(B.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{1600} + \displaystyle \frac{y^2}{144} = 1\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{100} + \displaystyle \frac{y^2}{36} = 1\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{x^2}{64} + \displaystyle \frac{y^2}{36} = 1\).
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Trục lớn \(2a = 20 \Rightarrow a = 10\)
Trục nhỏ \(2b = 12 \Rightarrow b = 6\)
Suy ra phương trình chính tắc của elip là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{100} + \displaystyle \frac{y^2}{36} = 1\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
\(B -\) TỰ LUẬN
Bài \(1\). Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; 2), B(1; 3), C(\ – \ 1; 1)\).
\(a)\) Chứng minh \(OABC\) là một hình chữ nhật;
\(b)\) Tìm toạ độ tâm \(I\) của hình chữ nhật \(OABC\).
Trả lời:
\(a)\) \(A(2; 2), B(1; 3), C(\ – \ 1; 1)\).
Ta có: \(\overrightarrow{OA} = (2; 2); \overrightarrow{CB} = (2; 2)\)
Do \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB}\) nên tứ giác \(OABC\) là hình bình hành.
Lại có \(\overrightarrow{OC} = (\ – \ 1; 1)\)
Suy ra \(\overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OC} = 2. (\ – \ 1) + 2. 1 = 0\).
Do đó \(OA \perp OC\) hay tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật.
\(b)\) \(I\) là tâm của hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm \(OB\)
\(\Rightarrow x_I = \displaystyle \frac{0 + 1}{2} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(y_I = \displaystyle \frac{0 + 3}{2} = \displaystyle \frac{3}{2}\)
Vậy \(I\left(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\).
\(\)
Bài \(2\). Tìm góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\):
\(a)\) \(d_1: 5x \ – \ 9y + 2019= 0\) và \(d_2: 9x + 5y + 2020 = 0\);
\(b)\) \(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 9 + 9t\\y = 7 + 18t \end{array} \right. \end{equation}\) và \(d_2: 4x \ – \ 12y + 13 = 0\);
\(c)\) \(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 11 \ – \ 5t\\y = 13 + 9t \end{array} \right. \end{equation}\) và \(d_2: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 13 + 10t’\\y = 11 \ – \ 18t’ \end{array} \right. \end{equation}\).
Trả lời:
\(a)\) \(d_1, d_2\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (5; \ – \ 9); \overrightarrow{n_2} = (9; 5)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2} = 5. 9 \ – \ 9. 5 = 0\)
\(\Rightarrow (d_1; d_2) = (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) = \varphi = 90^o\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(90^o\).
\(b)\) \(d_1\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1} = (9; 18)\) nên \(d_1\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1} = (2; \ – \ 1)\).
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (1; \ – \ 3)\)
Ta có: \(\cos{(d_1, d_2)} = \cos{(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2})} = \displaystyle \frac{|2. 1 \ – \ 1. (\ – \ 3)|}{\sqrt{2^2 + (\ – \ 1)^2}. \sqrt{1^2 + (\ – \ 3)^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{(d_1, d_2)} = 45^o\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng \(45^o\).
\(c)\) \(d_1, d_2\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u_1} = (\ – \ 5; 9), \overrightarrow{u_2} = (10; \ – \ 18)\) nên có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (9; 5), \overrightarrow{n_2} = (9; \ – \ 5)\).
Suy ra \(\cos{(d_1, d_2)} = \cos{(n_1, n_2)} = \displaystyle \frac{|9. 9 + 5. (\ – \ 5)|}{\sqrt{9^2 + 5^2}. \sqrt{9^2 + (\ – \ 5)^2}} = 1\)
\(\Rightarrow (d_1, d_2) = 0^o\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng \(0^o\).
\(\)
Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) với toạ độ ba đỉnh là \(A(1; 1), B(3; 1), C(1; 3)\).
Tính độ dài đường cao \(AH\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (\ – \ 2; 2)\).
Suy ra \(BC\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{BC}} = (1; 1)\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là:
\(1. (x \ – \ 3) + 1. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow x + y \ – \ 4 = 0\)
Độ dài đường cao \(AH\) chính là khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) nên ta có:
\(AH = d(A, BC) = \displaystyle \frac{|1 + 1 \ – \ 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}\)
Vậy \(AH = \sqrt{2}\).
\(\)
Bài \(4\). Tính bán kính của đường tròn tâm \(J(1; 0)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d: 8x \ – \ 6y + 22 = 0\).
Trả lời:
Đường tròn tâm \(J(1; 0)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d: 8x \ – \ 6y + 22\) khi và chỉ khi khoảng cách từ \(J\) đến đường thẳng \(d\) bằng bán kính đường tròn
\(\Rightarrow d(J, d) = R = \displaystyle \frac{|8. 1 \ – \ 6. 0 + 22|}{\sqrt{8^2 + (\ – \ 6)^2}} = 3\)
Vậy bán kính đường tròn là \(3\).
\(\)
Bài \(5\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
\(\Delta: ax + by + c = 0\) và \(\Delta’: ax + by + d = 0\) (biết \(\Delta // \Delta’\)).
Trả lời:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta: ax + by + c = 0\) và \(\Delta’: ax + by + d = 0\) (biết \(\Delta // \Delta’\)) là khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì thuộc \(\Delta\) đến \(\Delta’\).
Gọi \(M(x_0; y_0) \in \Delta\). Khi đó:
\(ax_0 + by_0 + c = 0 \Rightarrow ax_0 + by_0 + d = d \ – \ c\)
Suy ra: \(d(M, \Delta’) = \displaystyle \frac{|ax_0 + by_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \displaystyle \frac{|d \ – \ c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
\(\)
Bài \(6\). Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:
\(a)\) \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 225\);
\(b)\) \(x^2 + (y \ – \ 7)^2 = 5\);
\(c)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 10x \ – \ 24y = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Đường tròn có tâm \(I(\ – \ 1; \ – \ 2)\) và bán kính \(R = \sqrt{225} = 15\)
\(b)\) Đường tròn có tâm \(I(0; 7)\) và bán kính \(R = \sqrt{5}\).
\(c)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 10x \ – \ 24 = 0\)
Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 5, b = 12, c = 0\)
Tính \(a^2 + b^2 \ – \ c = 5^2 + 12^2 \ – \ 0 = 169 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm \(I(5; 12)\) và bán kính đường tròn là \(R = \sqrt{169} = 13\).
\(\)
Bài \(7\). Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
\(a)\) Có tâm \(I(2; 2)\) và bán kính bằng \(7\);
\(b)\) Có tâm \(J(0; \ – \ 3)\) và đi qua điểm \(M(\ – \ 2; \ – \ 7)\);
\(c)\) Đi qua hai điểm \(A(2; 2), B(6; 2)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(x \ – \ y = 0\);
\(d)\) Đi qua gốc toạ độ và cắt hai trục toạ độ tại các điểm có hoành độ là \(8\), tung độ là \(6\).
Trả lời:
\(a)\) Phương trình đường tròn có tâm \(I(2; 2)\) và bán kính bằng \(7\) là:
\((x \ – \ 2)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 49\).
\(b)\) Đường tròn có tâm \(I(0; \ – \ 3)\) và đi qua điểm \(M(\ – \ 2; \ – \ 7)\) nên có bán kính \(R = IM = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}\)
Phương trình đường tròn cần lập là:
\((x^2 + (y + 3)^2 = 20\)
\(c)\) Đường tròn có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(x \ – \ y = 0\) nên \(I(m; m)\).
Suy ra \(IA = (2 \ – \ m; 2 \ – \ m); IB = (6 \ – \ m; 2 \ – \ m)\).
Đường tròn đi qua hai điểm \(A(2; 2), B(6; 2)\) và có tâm \(I\) khi và chỉ khi:
\(IA^2 = IB^2 \Leftrightarrow (2 \ – \ m)^2 + (2 \ – \ m)^2 = (6 \ – \ m)^2 + (2 \ – \ m)^2\)
\(\Leftrightarrow 8 \ – \ 8m + 2m^2 = 36 \ – \ 12m + m^2 + 4 \ – \ 4m + m^2\)
\(\Leftrightarrow 8m \ – \ 32 = 0\)
\(\Leftrightarrow m = 4\)
Suy ra \(I(4; 4); R = IA = 2\sqrt{2}\)
Vậy phương trình đường tròn cần lập là \((x \ – \ 4)^2 + (y \ – \ 4)^2 = 8\)
\(d)\) Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là \(8\), tung độ là \(6\) nên đường tròn đi qua \(O(0; 0); A(8; 0); B(0; 6)\).
Gọi \(I(a; b)\) là tâm đường tròn.
Suy ra \(IO = IA = IB\)
\(\Rightarrow IO^2 = IA^2 = IB^2\)
\(\Rightarrow a^2 + b^2 = (a \ – \ 8)^2 + b^2 = a^2 + (b \ – \ 6)^2\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} a^2 = (a \ – \ 8)^2\\b^2 = (b \ – \ 6)^2 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 4\\b = 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow I(4; 3); R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)
Vậy phương trình đường tròn cần lập là \((x \ – \ 4)^2 + (y \ – \ 3)^2 = 25\).
\(\)
Bài \(8\). Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn \((C): (x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 25\) tại điểm \(A(4; 5)\).
Trả lời:
Đường tròn \((C): (x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 25\) có tâm \(I(1; 1)\) và bán kính \(R = 5\).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(A(4; 5)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IA} = (3; 4)\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là:
\(3. (x \ – \ 4) + 4. (y \ – \ 5) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y \ – \ 32 = 0\)
\(\)
Bài \(9\). Gọi tên các đường conic sau:
Trả lời:
\(a)\) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Elip.
\(b)\) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Parabol.
\(c)\) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Hypebol.
\(\)
Bài \(10\). Tìm toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{169} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\);
\(b)\) \(x^2 + 4y^2 = 1\).
Trả lời:
\(a)\) Elip \(\displaystyle \frac{x^2}{169} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\) có \(a = \sqrt{169} = 13; b = \sqrt{25} = 5\)
\(\Rightarrow c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \sqrt{169 \ – \ 25} = \sqrt{144} = 12\)
Vậy elip có các tiêu điểm \(F_1(\ – \ 12; 0); F_2(12; 0)\).
Các đỉnh \(A_1(\ – \ 13; 0); A_2(13; 0); B_1(0; 5); B_2(0; \ – \ 5)\)
Độ dài trục lớn \(A_1A_2 = 2a = 26; B_1B_2 = 10\).
\(b)\) Ta có: \(x^2 + 4y^2 = 1 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{1} + \displaystyle \frac{y^2}{1}{4} = 1\)
Elip có \(a = 1, b = \displaystyle \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Elip có các tiêu điểm \(F_1\left(\displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{3}}{2}; 0\right), F_2\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)\).
Các đỉnh \(A_1(1; 0), A_2(\ – \ 1; 0), B_1\left(0; \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}\right), B_2\left(0; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\).
Độ dài trục lớn \(A_1A_2 = 2a = 2\), độ dài trục nhỏ \(B_1B_2 = 2b = 1\).
\(\)
Bài \(11\). Viết phương trình chính tắc của elip thoả mãn các điều kiện sau:
\(a)\) Độ dài trục lớn \(26\), độ dài trục nhỏ \(10\);
\(b)\) Độ dài trục lớn \(10\), tiêu cự \(6\).
Trả lời:
\(a)\) Độ dài trục lớn \(2a = 26 \Rightarrow a = 13\)
Độ dài trục nhỏ \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{169} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\)
\(b)\) Độ dài trục lớn \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Tiêu cự \(2c = 6 \Rightarrow c = 3\)
\(\Rightarrow b = \sqrt{a^2 \ – \ c^2} = 4\)
Vậy phương trình chính tắc của elip là \(\displaystyle \frac{x^2}{25} + \displaystyle \frac{y^2}{16} = 1\).
\(\)
Bài \(12\). Tìm toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{25} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{144} = 1\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{16} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\).
Trả lời:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{25} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{144} 1\) có \(a = \sqrt{25} = 5; b = \sqrt{144} = 12\)
\(\Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2} = 13\)
Các tiêu điểm \(F_1(\ – \ 13; 0); F_2(13; 0)\)
Các đỉnh \(A_1(\ – \ 5; 0); A_2(5; 0)\).
Độ dài trục thực \(2a = 10\), độ dài trục ảo \(2b = 24\).
\(b)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{16} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} 1\) có \(a = \sqrt{16} = 4; b = \sqrt{9} = 3\)
\(\Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5\)
Các tiêu điểm \(F_1(\ – \ 5; 0); F_2(5; 0)\)
Các đỉnh \(A_1(\ – \ 4; 0); A_2(4; 0)\).
Độ dài trục thực \(2a = 8\), độ dài trục ảo \(2b = 6\).
\(\)
Bài \(13\). Viết phương trình chính tắc của hypebol thoả mãn các điều kiện sau:
\(a)\) Đỉnh \((\ – \ 6; 0)\) và \((6; 0)\); tiêu điểm \((\ – \ 10; 0)\) và \((10; 0)\);
\(b)\) Độ dài trục thực là \(10\), độ dài trục ảo là \(20\).
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
\(a)\) Đỉnh \((\ – \ 6; 0)\) và \((6; 0)\) nên \(a = 6\)
Tiêu điểm \((\ – \ 10; 0)\) và \((10; 0)\) nên \(c = 10\)
\(\Rightarrow b = \sqrt{c^2 \ – \ a^2} = \sqrt{10^2 \ – \ 6^2} = 8\)
Vậy phương trình hypebol là \(\displaystyle \frac{x^2}{36} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\).
\(b)\) Độ dài trục thực \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Độ dài trục ảo \(2b = 20 \Rightarrow b = 10\)
Vậy phương trình hypebol là \(\displaystyle \frac{x^2}{25} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{100} = 1\).
\(\)
Bài \(14\). Tìm toạ độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:
\(a)\) \(y^2 = 4x\);
\(b)\) \(y^2 = 2x\);
\(c)\) \(y^2 = \ – \ 6x\).
Trả lời:
\(a)\) \(y^2 = 4x = 2px\)
\(\Rightarrow p = 2\)
Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{p}{2}; 0\right) = (1; 0)\)
Phương trình đường chuẩn \(x + 1 = 0\).
\(b)\) \(y^2 = 2x = 2px \Rightarrow p = 1\)
Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{p}{2}; 0\right) = \left(\displaystyle \frac{1}{2}; 0\right)\)
Phương trình đường chuẩn \(x + \displaystyle \frac{1}{2} = 0\).
\(c)\) \(y^2 = \ – \ 6x = 2px \Rightarrow p = \ – \ 3\)
Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{p}{2}; 0\right) = \left(\displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}; 0\right)\)
Phương trình đường chuẩn \(x \ – \ \displaystyle \frac{3}{2} = 0\).
\(\)
Bài \(15\). Viết phương trình chính tắc của parabol thoả mãn các điều kiện sau:
\(a)\) Tiêu điểm \((8; 0)\);
\(b)\) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng \(4\).
Trả lời:
\(a)\) Tiêu điểm \(F(8; 0) \Rightarrow \displaystyle \frac{p}{2} = 8 \Rightarrow p = 16\).
Phương trình chính tắc của parabol là:
\(y^2 = 32x\)
\(b)\) Gọi phương trình chính tắc của parabol là \(y^2 = 2px\)
Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{p}{2}; 0\right)\) và phương trình đường chuẩn là \(x + \displaystyle \frac{p}{2} = 0\)
Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng \(4\) nên ta có:
\(\displaystyle \frac{|\frac{p}{2} + \frac{p}{2}|}{\sqrt{1^2}} = 4\)
\(\Rightarrow |p| = 4 \Rightarrow p = 4\) (do \(p > 0\)).
Vậy phương trình chính tắc của parabol là: \(y^2 = 8x\).
\(\)
Bài \(16\). Một nhà mái vòm có mặt cắt hình nửa elip cao \(6m\) rộng \(16m\).
\(a)\) Hãy chọ hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên;
\(b)\) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách \(4m\) lên đến mái vòm.
Trả lời:
\(a)\) Chọn hệ trục tọa độ có gốc là điểm chính giữa của chiều rộng mái vòm (thẳng đứng).
Gọi phương trình Elip là \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\).
Ta có: Chiều cao của mái vòm là nửa trục nhỏ \(\Rightarrow b = 6\)
Độ rộng của mái vòm là độ dài trục lớn hay \(2a = 16 \Rightarrow a = 8\)
Vậy phương trình elip là: \(\displaystyle \frac{x^2}{64} + \displaystyle \frac{y^2}{36} = 1\).
\(b)\) Gọi \(A\) là điểm cách chân vách \(4m\) nên \(x_A = 8 \ – \ 4 = 4\)
Khoảng cách thẳng đứng từ điểm \(A\) lên đến mái vòm chính là \(y_A\) hay được biểu diễn bởi điểm \(B\)
Điểm \(B\) thuộc elip nên ta có:
\(\displaystyle \frac{4^2}{64} + \displaystyle \frac{y_A^2}{36} = 1\)
\(\Rightarrow y_A = \sqrt{36. \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{4^2}{64}\right)} = 3\sqrt{3} \approx 5,2\).
Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm khoảng \(5,2 m\).
\(\)
Bài \(17\). Cho biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là elip \((E)\) với Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết độ dài hai trục thực của \((E)\) là \(768800 km \) và \(767619 km\). Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\).
Trả lời:
Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là: \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Độ dài trục lớn \(2a = 768800 \Rightarrow a = 384400\)
Độ dài trục nhỏ \(2b = 767619 \Rightarrow b = 383810\)
Vậy phương trình chính tắc của elip \((E)\) là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{384400^2} + \displaystyle \frac{y^2}{383810^2} = 1\).
\(\)
Bài \(18\). Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol \((P)\) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm \((F)\). Chiều rộng giữa hai mép gương là \(50cm\), chiều sâu của gương là \(40cm\). Viết phương trình chính tắc của \((P)\).
Trả lời:
Gọi phương trình \((P)\) có dạng \(y^2 = 2px\)
Khi đó gương là phần mặt phẳng tạo bởi đường cong \(AOB\).
Chiều rộng giữa hai mép gương là \(50 cm\) nên \(AB = 50cm\).
Chiều sâu của gương là \(40 cm\) nên \(OI = 40 cm\).
Suy ra \(AI = \displaystyle \frac{AB}{2} = 25\).
Khi đó \(A(40; 25)\) thuộc parabol \((P)\) nên ta có: \(25^2 = 2. p. 40 \Rightarrow p = \displaystyle \frac{125}{16}\)
Vậy phương trình chính tắc của \((P)\) là:
\(y^2 = 2px = \displaystyle \frac{125}{8}x\)
\(\)
Bài \(19\). Màn hình của rađa tại tạm điều khiển không lưu được thiết lập hệ toạ độ \(Oxy\) với vị trí trạm toạ độ \(O(0; 0)\) và rađa có bán kính hoạt động là \(600km\). Một máy bay khởi hành từ sân bay lúc \(8\) giờ. Cho biết sau \(t\) giờ máy bay có toạ độ:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 + 180t\\y = 1 \ – \ 180t \end{array} \right. \end{equation}\).
\(a)\) Tìm toạ độ máy bay lúc \(9\) giờ;
\(b)\) Tính khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu;
\(c)\) Lúc mấy giờ máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa?
Trả lời:
\(a)\) Vào lúc \(9\) giờ tức là sau khi khởi hành được \(1\) giờ hay \(t = 1\), ta có toạ độ máy bay là:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 + 180. 1\\y = 1 \ – \ 180. 1 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 181\\y = \ – \ 179 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy toạ độ máy bay lúc \(9\) giờ là \(M(181; \ – \ 179)\).
\(b)\) Khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu là:
\(OM = \sqrt{181^2 + (\ – \ 179)^2} \approx 255 (km)\).
\(b)\) Toạ độ của máy bay sau \(t\) giờ là \(N(1 + 180t; 1 \ – \ 180t)\)
Khi đó, khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu là:
\(ON = \sqrt{(1 + 180t)^2 + (1 \ – \ 180t)^2}\)
Máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa khi và chỉ khi:
\(ON \geq 600 \Rightarrow ON^2 \geq 600^2\)
\(\Rightarrow (1 + 180t)^2 + (1 \ – \ 180t)^2 \geq 600^2\)
\(\Rightarrow 64800t^2 \ – \ 359998 \geq 0\)
\(\Rightarrow t \geq 2,36\) (do \(t >0\))
Mặt khác \(2,36\) giờ = \(2\) giờ \(22\) phút.
Vậy máy bay bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa từ lúc \(10\) giờ \(22\) phút.
Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX Bài tập cuối chương IX
Xem bài giải trước: Bài 4 – Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ
Xem bài giải tiếp theo:
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.