Chương 9 – Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác trang 58 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
9.19. Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.
Giải
Trong tam giác BEF, đường cao xuất phát từ B là đường thẳng BD; đường cao xuất phát từ F là đường thẳng FA.
Hai đường cao BD và FA cắt nhau tại C.
Vậy C là trực tâm của tam giác BEF.
\(\)
9.20. Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.
Giải
Ta có: O nằm trên đường trung trực của PM nên OP = OM (1)
Tam giác OPM cân tại O.
\(⇒ \widehat{OPM} =\widehat{OMP}.\)
Ta có: R nằm trên đường trung trực của PM nên RP = RM
Tam giác RPM cân tại R.
\(⇒ \widehat{RPM} =\widehat{RMP}.\)
Mà \(\widehat{OPM} =\widehat{OPR}+\widehat{RPM};\) \(\widehat{OMP} =\widehat{OMR}+\widehat{RMP}.\)
\(⇒ \widehat{OPR} =\widehat{OMR}.\) (3)
Chứng minh tương tự: O, S nằm trên đường trung trực của PN.
⇒ OP = ON; SP = SN (2)
Tam giác OPN cân tại O, tam giác SPN cân tại S.
\(\widehat{OPN} =\widehat{ONP};\ \widehat{SPN} =\widehat{SNP}\) \(⇒ \widehat{OPS} =\widehat{ONS}\) (4)
Từ (1) và (2) suy ra: OM = ON = OP.
Ta có OM = ON nên tam giác OMN cân tại O.
Suy ra \(\widehat{OMN} =\widehat{ONM}\) hay \(\widehat{OMR} =\widehat{ONS}\) (5)
Từ (3), (4) và (5) ta suy ra \(\widehat{OPR} =\widehat{OPS}.\)
Vậy tia PO là tia phân giác của góc RPS.
\(\)
9.21. Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh \(\widehat{BAC}=45^o\).
Giải
Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.
Xét hai tam giác vuông AHJ và BCJ có:
AH = BC (theo giả thiết)
\(\widehat{JAH} =\widehat{JBC}\) (hai góc cùng phụ với \(\widehat{JCB}\))
Vậy \(∆AHJ = ∆BCJ\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AJ = BJ (hai cạnh tương ứng).
Xét tam giác JAB vuông tại J có AJ = BJ nên JAB là tam giác vuông cân tại J.
Vậy \(\widehat{BAJ} =\widehat{BAC} =45^o.\)
\(\)
9.22. a) Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.
b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?
c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tùy ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.
Giải
a) Nếu đường trung trực d của cạnh BC cắt cạnh AC tại điểm M nằm giữa A và C thì MB = MC (do D nằm trên đường trung trực của canh BC thì sẽ cách đều hai đầu mút).
Từ đó ta có: AC = AM + MC = AM + MB.
Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: AD + DB > AB.
Vậy AC > AB.
b) Điều đảo lại cũng đúng. Đường trung trưc của BC không thể đi qua A vì nếu thế thì AB = AC (trái với giả thiết).
Vậy nên đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B.
Để đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B thì chứng minh tương tự câu a) ta dễ dàng suy ra được AB > AC (trái với giả thiết)
Và đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C
Để đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C thì chứng minh tương tự câu a) ta dễ dàng suy ra được AC > AB (đúng với giả thiết)
Vậy suy ra đường trung trực d của cạnh BC cắt AC tại điểm nằm giữa A và C nếu AC > AB.
c) M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên ta có MB = MC
Suy ra MA + MB = MA + MC
Mà áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MAC ta có MA + MC > AC
Hay MA + MC > AD + DC
Ta suy ra được MA + MB > DA + DC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Ôn tập chương IX
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
