Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Chương 9 – Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trang 55 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.14. Cho góc xAy và một điểm G trong góc đó. Lấy hai điểm M, N trên tia AG sao cho . Qua N kẻ đường thẳng song song với đường thẳng chứa tia Ax, nó cắt Ay tại C. Đường thẳng CM cắt Ax tại B.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và NCM bằng nhau, từ đó suy ra AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC vừa dựng được.

Giải

Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

a) Ta có AN = 2AM suy ra AM = NM.

Xét hai tam giác ABM và NCM có:

\(\widehat{MAB} =\widehat{MNC}\) (hai góc so le trong do NC // Ax);

\(\widehat{AMB} =\widehat{NMC}\) (hai góc đối đỉnh);

AM = NM (chứng minh trên).

Vậy \(ΔABM=ΔNCM\) (g.c.g).

⇒ MB = MC (hai cạnh tương ứng).

Do đó M là trung điểm của BC.

Vậy AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) Ta có: Điểm G nằm trên đường trung tuyến AM của tam giác ABC

\(AM=\displaystyle\frac{3}{2}AG⇒AG=\displaystyle\frac{2}{3}AM\)

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

\(\)

9.15. Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

Giải

Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Xét tam giác ABD có:

BM đi qua trung điểm của AD, DU đi qua trung điểm của AB.

Suy ra BM và DU là hai đường trung tuyến.

Mà BM cắt DU tại U

Do đó U là trọng tâm tam giác ABD.

\(⇒ BU=2UM=\displaystyle\frac{2}{3}BM\) (1)

Xét tam giác ACD:

CM đi qua trung điểm của AD, DV đi qua trung điểm của AC.

Suy ra CM và DV là hai đường trung tuyến.

Mà CM cắt DV tại V

Do đó V là trọng tâm tam giác ACD.

\(⇒ CV=2MV=\displaystyle\frac{2}{3}MC\) (2)

Lại có: \(UV=UM+MV=\displaystyle\frac{1}{3}BM+\displaystyle\frac{1}{3}CM\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}BM+\displaystyle\frac{1}{3}BM=\displaystyle\frac{2}{3}BM\) (3)

Mà M là trung điểm BC nên MB = MC (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: BU = UV = VC.

\(\)

9.16. a) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC. Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB tại J và cắt AC tại K. Chứng minh JK = BJ + CK.

b) Đường thẳng qua B vuông góc với BI cắt đường thẳng qua C vuông góc với CI tại điểm I’. Qua I’ kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại J’, cắt AC tại K’. Chứng minh J’K’ = BJ’ + CK’.

Giải

Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

a) Ta có BI là phân giác góc FBC nên \(\widehat{JBI} =\widehat{IBC}.\)

Lại có: JK // BC suy ra \(\widehat{JIB} =\widehat{IBC}\) (hai góc so le trong).

\(⇒ \widehat{JBI} =\widehat{JIB}.\)

Do đó \(ΔJIB\) cân tại J.

Suy ra JI = JB.

Chứng minh tương tự: IK = CK.

Vậy JK = JI + IK = JB + CK.     

b) Ta có: BI’⊥ BI nên \(\widehat{I’BC} +\widehat{CBI} =90^o.\)

\(\widehat{JBI} +\widehat{I’BJ’} =180^o-(\widehat{I’BC}+\widehat{CBI})\) \(=180^o-90^o=90^o.\)

Vì \(\widehat{I’BC} +\widehat{CBI}=\widehat{JBI} +\widehat{I’BJ’}=90^o.\)

Mà  \(\widehat{JIB} =\widehat{IBC}\) nên \( \widehat{CBI’} =\widehat{I’BJ’}.\)

Vậy BI’ là tia phân giác của góc tạo bởi BC và tia đối của tia BA (phân giác góc ngoài tại B).

Chứng minh tương tự ta suy ra CI’ là tia phân giác của góc tạo bởi CB và CK’.

Ta có: BC // J’K’ nên \(\widehat{CBI’} =\widehat{BI’J’}\) (hai góc so le trong)

\(⇒ \widehat{J’BI’} =\widehat{BI’J’}\)

\(⇒ ΔJ’BI’\) cân tại J’

\(⇒ J’B = J’I’\)

Chứng minh tương tự: K’C = K’I’

Vậy J’K’ = J’I’ + I’K’ = BJ’ + CK’.

\(\)

9.17. Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.

Giải

Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Gọi Ax là tia đối của tia AB thì ba góc BAD, DAC, CAx có cùng số đo \(60^o.\)

Hạ EH \(\bot\) Bx, EI \(\bot\) AD, EK \(\bot\) BC.

Ta có: EH = EK (vì BE là phân giác góc ABC);

EH = EI (vì AE là phân giác góc DAx).

Suy ra EK = EI hay E nằm trên tia phân giác của ADC.

Vậy DE là đường phân giác của góc ADC.

\(\)

9.18. Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.

Giải

Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trong tam giác ANP có đường trung tuyến NM mà NC = BC = 2CM nên C là trọng tâm của tam giác ANP.

Do đó AC, PC là hai đường tung tuyến của tam giác ANP.

Vậy AC đi qua trung điểm của PN và PC đi qua trung điểm của AN.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Xem bài giải tiếp theo: Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x