Bài 3. Hàm số liên tục

Bài \(3\). Hàm số liên tục trang \(73\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = 2x^3 + x + 1\) tại điểm \(x = 2\).

Trả lời:

Hàm số \(f(x) = 2x^3 + x + 1\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(\lim \limits_{x \to 2} f(x) = \lim \limits_{x \to 2} (2x^3 + x + 1)\)

\(= 2. 2^3 + 2 + 1 = 19 = f(2)\)

Do đó hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\).

\(\)

Bài \(2\). Trong các hàm số có đồ thị ở Hình \(15a, 15b, 15c\), hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Trả lời:

Xét hình \(15a)\) ta có:

Hàm số \(f(x) = x^2 \ – \ 2x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên tập xác định \(\mathbb{R}\)

Xét hình \(15b)\) ta có:

Hàm số \(g(x) = \displaystyle \frac{x}{x \ – \ 1}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)

Do đó, hàm số \(g(x)\) liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số \((\ – \ \infty; 1) \cup (1; +\infty)\)

Xét hình \(15c)\) ta có:

Với \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 1)\) thì \(h(x) = \ – \ 2x\) liên tục trên \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\).

Với \(x \in (\ – \ 1; +\infty)\) thì \(h(x) = x + 1\) liên tục trên \((\ – \ 1; +\infty)\)

Tại \(x = \ – \ 1\) có:

\(\lim \limits_{x \to \ – \ 1^-} h(x) = \lim \limits_{x \to \ – \ 1^-} (\ – \ 2x) = \ – \ 2. (\ – \ 1) = 2\)

\(\lim \limits_{x \to 1^+} h(x) = \lim \limits_{x \to 1^+} (x + 1) = \ – \ 1 + 1 = 0\)

\(h(\ – \ 1) = \ – \ 1 + 1 = 0\)

Suy ra \(\lim \limits_{x \to \ – \ 1^-} h(x) \neq \lim \limits_{x \to \ – \ 1^+} = h(\ – \ 1)\)

Do đó hàm số gián đoạn tại \(x = \ – \ 1\)

Vậy hàm số \(h(x)\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1) \cup (\ – \ 1; +\infty)\)

\(\)

Bài \(3\). Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\), còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\), thì hàm số \(y = f(x) + g(x)\) không liên tục tại \(x_0\)”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai, giải thích.

Trả lời:

Theo em, ý kiến của bạn Nam là đúng.

Giả sử hàm số \(y = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x_0\).

Đặt \(h(x) = f(x) + g(x)\)

\(\Rightarrow g(x) = h(x) \ – \ f(x)\).

Khi đó do \(y = h(x),y = f(x)\) liên tục tại \(x_0\) nên hàm số \(y = g(x)\) phải liên tục tại \(x_0\).

Điều này trái với giả thiết hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\).

Vậy ý kiến của Nam là đúng.

\(\)

Bài \(4\). Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
\(a)\) \(f(x) = x^2 + \sin{x}\);
\(b)\) \(g(x) = x^4 \ – \ x^2 + \displaystyle \frac{6}{x \ – \ 1}\);
\(c)\) \(h)(x) = \displaystyle \frac{2x}{x \ – \ 3} + \displaystyle \frac{x \ – \ 1}{x + 4}\).

Trả lời:

\(a)\) \(f(x) = x^2 + \sin{x}\)

Ta có: \(y = x^2\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(y = \sin{x}\) là hàm lượng giác nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(y = x^2 + \sin{x}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(b)\) Hàm số \(g(x)\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Ta có: Hàm số \(y = x^4 \ – \ x^2\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Do đó hàm số \(y = x^4 \ – \ x^2 + \displaystyle \frac{6}{x \ – \ 1}\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).

\(c)\) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{3; \ – \ 4\}\).

Hàm số \(h(x) = \displaystyle \frac{2x}{x \ – \ 3} + \displaystyle \frac{x \ – \ 1}{x + 4}\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 4), (\ – \ 4; 3)\) và \((4; +\infty)\).

\(\)

Bài \(5\). Cho hàm số \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x^2 + x + 1 \text{ nếu } x \neq 4\\2a + 1 \text{ nếu } x = 4. \end{array} \right.\end{equation}\).
\(a)\) Với \(a = 0\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4\).
\(b)\) Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số liên tục tại \(x = 4\)?
\(c)\) Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Trả lời:

\(a)\) Tại \(a = 0\) ta có:

\(f(x) = \begin{equation} \left \{\begin{array}{II} x^2 + x + 1 (x \neq 4)\\ 1 \: \: (x = 4)\end{array} \right.\end{equation}\).

Có \(f(4) = 1\)

\(\lim \limits_{x \to 4} f(x) = \lim \limits_{x \to 4} (x^2 + x + 1) = 4^2 + 4 + 1 = 21\)

Ta thấy \(\lim \limits_{x \to 4} f(x) \neq f(4)\)

Suy ra hàm số không liên tục tại \(x = 4\).

\(b)\) Ta có: \(f(4) = 2a + 1\)

\(\lim \limits_{x \to 4} f(x) = 4^2 + 4 + 1 = 21\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(2a + 1 = 21\)

\(\Leftrightarrow a = 10\)

Vậy với \(a = 10\) thì hàm số liên tục tại \(x = 4\).

\(c)\) Hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\).

Do hàm số \(f(x) = x^2 + x + 1\) với mọi \(x \neq 4\) nên hàm số liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; 4)\) và \((4; +\infty)\)

Với \(a = 10\) thì hàm số liên tục tại \(x = 4\)

Vậy khi \(a = 10\) thì hàm số liên tục trên tập xác định \(\mathbb{R}\).

\(\)

Bài \(6\). Hình \(16\) biểu thị độ cao \(h (m)\) của một quả bóng được đá lên theo thời gian \(t (s)\), trong đó \(h (t) = \ – \ 2t^2 + 8t\).
\(a)\) Chứng tỏ hàm số \(h(t)\) liên tục trên tập xác định.
\(b)\) Dựa vào đồ thị hãy xác định \(\lim \limits_{t \to 2} (\ – \ 2t^2 + 8t)\).