Bài \(2\). Giới hạn của hàm số trang \(66\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ 3} x^2\);
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to 5} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 25}{x \ – \ 5}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ 3} x^2 = (\ – \ 3)^2 = 9\)
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to 5} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 25}{x \ – \ 5} = \displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{(x \ – \ 5)(x + 5)}{x \ – \ 5} = \lim \limits_{x \to 5} (x + 5)\)
\(= 5 + 5 = 10\)
\(\)
Bài \(2\). Biết rằng hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = 3\) và \(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = 5\). Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)\) hay không? Giải thích.
Trả lời:
Ta có: \(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = 3\) và \(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = 5\)
Ta thấy rằng \(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim \limits_{x \to 2^+} f(x)\)
Suy ra không tồn tại \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)\)
\(\)
Bài \(3\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim \limits_{x \to 2} (x^2 \ – \ 4x + 3)\);
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 5x + 6}{x \ – \ 3}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ – \ 1}{x \ – \ 1}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\lim \limits_{x \to 2} (x^2 \ – \ 4x + 3) = 2^2 \ – \ 4. 2 + 3 = \ – \ 1\)
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 5x + 6}{x \ – \ 3} = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x \ – \ 3).(x \ – \ 2)}{x \ – \ 3}\)
\( = \lim \limits_{x \to 3} (x \ – \ 2) = 3 \ – \ 2 = 1\)
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ – \ 1}{x \ – \ 1} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ – \ 1}{(\sqrt{x} \ – \ 1)(\sqrt{x} + 1)}\)
\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\)
Bài \(4\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{9x +1}{3x \ – \ 4}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{7x \ – \ 11}{2x + 3}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\);
\(d)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\);
\(e)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 6^-} \frac{1}{x \ – \ 6}\);
\(g)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 7^+} \frac{1}{x \ – \ 7}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{9x + 1}{3x \ – \ 4} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(9 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(3 \ – \ \frac{4}{x}\right)}\)
\(= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{3 \ – \ \frac{4}{x}} = \displaystyle \frac{9}{3} = 3\).
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{7x \ – \ 11}{2x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{x\left(7 \ – \ \frac{11}{x}\right)}{x\left(2 + \frac{3}{x}\right)}\)
\( = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{7 \ – \ \frac{11}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \displaystyle \frac{7}{2}\).
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x}\)
\(= \lim \limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \displaystyle \frac{1}{x^2}} = 1\)
\(d)\) \(\displaystyle \lim _{x \to \ – \ \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{|x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x} = \ \ 1\).
\(e)\) \(\lim \limits_{x \to 6^-} \displaystyle \frac{1}{6 \ – \ x} = \ – \ \infty\)
\(g)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 7^+} \frac{1}{x \ – \ 7} = +\infty\)
\(\)
Bài \(5\). Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được \(N(t) = \displaystyle \frac{50t}{t + 4} (t \geq 0)\) bộ phận mỗi ngày sau \(t\) ngày đào tạo. Tính \(\lim \limits_{t \to +\infty} N(t)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Trả lời:
Ta có: \(\lim \limits_{t \to +\infty} N(t) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{50t}{t + 4}\)
\(= \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{50t}{t\left(1 + \frac{4}{t}\right)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{50}{1 + \frac{4}{t}}\)
\(= \displaystyle \frac{50}{1} = 50\)
Ý nghĩa của kết quả:
Một nhân viên có thể lắp được tối đa một ngày là \(50\) sản phẩm.
\(\)
Bài \(6\). Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: \(C(x) = 50000 + 105x\).
\(a)\) Tính chi phí trung bình \(\overline{C}(x)\) để sản xuất \(1\) sản phẩm.
\(b)\) Tính \(\lim \limits_{x \to +\infty} \overline{C}(x)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Trả lời:
\(a)\) Chi phí trung bình \(\overline{C} (x)\) để sàn xuất \(1\) sản phẩm là:
\(\overline{C}(x) = \displaystyle \frac{50000 + 105x}{x}\) (sản phẩm)
\(b)\) Ta có:
\(\lim \limits_{x \to +\infty} \overline{C} (x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{50000 + 105x}{x}\)
\(= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x \left(\frac{50000}{x} + 105\right)}{x} = \lim \limits_{x \to +\infty} \left(\frac{50000}{x} + 105\right)\)
\( = 105\)
Ý nghĩa kết quả: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tối đa chỉ hết \(105\) nghìn đồng.
Bài 2. Giới hạn của hàm Bài 2. Giới hạn của hàm Bài 2. Giới hạn của hàm
Xem bài giải trước: Bài 1 – Giới hạn của dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Hàm số liên tục
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.