Bài tập cuối chương III

Bài tập cuối chương \(III\) trang \(79\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và \(x_0 \in (a; b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0\) là:
\(A\). \(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\);
\(B\). \(\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\);
\(C\). \(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)\);
\(D\). \(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\).

Trả lời:

Đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(2\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim \frac{2n^2 + 6n + 1}{8n^2 + 5}\);
\(b)\) \(\lim \displaystyle \frac{4n^2 \ – \ 3n + 1}{\ – \ 3n^3 + 5n^2 \ – \ 2}\);
\(c)\) \(\lim \displaystyle \frac{\sqrt{4n^2 \ – \ n + 3}}{8n \ – \ 5}\);
\(d)\) \(\lim \left(4 \ – \ \displaystyle \frac{2^{n + 1}}{3^n}\right)\);
\(e)\) \(\lim \displaystyle \frac{4. 5^n + 2^{n + 2}}{6. 5^n}\);
\(g)\) \(\lim \displaystyle \frac{2 + \frac{4}{n^3}}{6^n}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim \frac{2n^2 + 6n + 1}{8n^2 + 5} = \displaystyle \lim \frac{n^2 \left(2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(8 + \frac{5}{n^2}\right)}\)

\(= \lim \displaystyle \frac{2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n^2}}{8 + \frac{5}{n^2}} = \displaystyle \frac{2}{8} = \displaystyle \frac{1}{4}\).

\(b)\) \(\lim \displaystyle \frac{4n^2 \ – \ 3n + 1}{3n^3 + 6n^2 \ – \ 2} = \lim \displaystyle \frac{n^3 \left(\frac{4}{n} \ – \ \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)}{n^3 \left(3 + \frac{6}{n} \ – \ \frac{2}{n^3}\right)}\)

\(= \lim \displaystyle \frac{\frac{4}{n} \ – \ \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{6}{n} \ – \ \frac{2}{n^3}} = 0\)

\(c)\) \(\lim \displaystyle \frac{\sqrt{4n^2 \ – \ n + 3}}{8n \ – \ 5} = \lim \displaystyle \frac{n\sqrt{4 \ – \ \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}}{n \left(8 \ – \ \frac{5}{n}\right)}\)

\(= \displaystyle \frac{\sqrt{4}}{8} = \displaystyle \frac{2}{8} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(d)\) \(\lim \left(4 \ – \ \displaystyle \frac{2^{n + 1}}{3^n}\right) = \lim \left(4 \ – \ 2. \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^n\right)\)

\(= \lim 4 \ – \ \lim 2. \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^n = 4 \ – \ 0 = 4\)

\(e)\) \(\lim \displaystyle \frac{4. 5^n + 2^{n + 2}}{6. 5^n} = \lim \displaystyle \frac{4. 5^n + 2^2. 2^n}{6. 5^n}\)

\(= \lim \displaystyle \frac{4 + 4. \left(\frac{2}{5}\right)^n}{6} = \displaystyle \frac{4}{6} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(g)\) \(\lim \displaystyle \frac{2 + \displaystyle \frac{4}{n^3}}{6^n} = \lim \left(2 + \displaystyle \frac{4}{n^3}\right). \lim \left(\displaystyle \frac{1}{6}\right)^n\)

\(= 2. 0 = 0\)

\(\)

Bài \(3\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ 3} (4x^2 \ – \ 5x + 6)\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 \ – \ 5x + 2}{x \ – \ 2}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} \ – \ 2}{x^2 \ – \ 16}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ 3} (4x^2 \ – \ 5x + 6) = 4. (\ – \ 3)^2 \ – \ 5. (\ – \ 3) + 6 = 57\)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 \ – \ 5x + 2}{x \ – \ 2} = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x \ – \ 2)(2x \ – \ 1)}{x \ – \ 2}\)

\(= \lim \limits_{x \to 2} (2x \ – \ 1) = 2. 2 \ – \ 1 = 3\)

\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} \ – \ 2}{x^2 \ – \ 16} = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} \ – \ 2}{(x \ – \ 4)(x + 4)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} \ – \ 2}{(\sqrt{x} \ – \ 2)(\sqrt{x} + 2)(x + 4)}\)

\( = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)(x + 4)}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{4} + 2)(4 + 4)} = \displaystyle \frac{1}{32}\).

\(\)

Bài \(4\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{6x + 8}{5x \ – \ 2}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{6x + 8}{5x \ – \ 2}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\sqrt{9x^2 \ – \ x + 1}}{3x \ – \ 2}\);
\(d)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 \ – \ x + 1}}{3x \ – \ 2}\);
\(e)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2^-} \frac{3x^2 + 4}{2x + 4}\);
\(g)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2^+} \frac{3x^2 + 4}{2x + 4}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{6x + 8}{5x \ – \ 2} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{x. \left(6 + \frac{8}{x}\right)}{x \left(5 \ – \ \frac{2}{x}\right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{6 + \frac{8}{x}}{5 \ – \ \frac{2}{x}} = \displaystyle \frac{6}{5}\)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{6x + 8}{5x \ – \ 2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x. \left(6 + \frac{8}{x}\right)}{x \left(5 \ – \ \frac{2}{x}\right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{6 + \frac{8}{x}}{5 \ – \ \frac{2}{x}} = \displaystyle \frac{6}{5}\).

\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\sqrt{9x^2 \ – \ x + 1}}{3x \ – \ 2} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\ – \ x\sqrt{9 \ – \ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x(3 \ – \ \frac{2}{x})}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\ – \ \sqrt{9 \ – \ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{3 \ – \ \frac{2}{x}} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{9}}{3} = \ – \ 1\)

\(d)\) \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{9x^2 \ – \ x + 1}}{3x \ – \ 2} = \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{x\sqrt{9 \ – \ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x(3 \ – \ \frac{2}{x})}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{9 \ – \ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{3 \ – \ \frac{2}{x}} = \displaystyle \frac{\sqrt{9}}{3} = 1\)

\(e)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2^-} \frac{3x^2 + 4}{2x + 4} = \ – \ \infty\)

\(g)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 2^+} \frac{3x^2 +4}{2x + 4} = +\infty\)

\(\)

Bài \(5\). Cho hàm số \(f(x) = \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}2x + a \text{ nếu } x < 2\\ 4 \text{ nếu } x = 2\\\ – \ 3x + b \text{ nếu } x > 2 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(a)\) Với \(a = 0, b = 1\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2\).
\(b)\) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục tại \(x =2\)?
\(c)\) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Trả lời:

\(a)\) Với \(a = 0, b = 1\) ta có:

\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x \text{ khi } x < 2\\4 \text{ khi } x = 2\\ \ – \ 3x + 1 \text{ khi } x > 2 \end{array} \right. \end{equation}\).

Với \(x < 2\) thì \(f(x) = 2x\) là hàm đa thức nên hàm liên tục.

Với \(x > 2\) thì \(f(x) = \ – \ 3x + 1\) là hàm đa thức nên hàm liên tục.

Xét với \(x = 2\) ta có:

\(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 2^+} (\ – \ 3x + 1) = \ – \ 3. 2 + 1 = \ – \ 5\)

\(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 2^-} 2x = 2. 2 = 4\)

Suy ra \(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) \neq \lim \limits_{x \to 2^-} f(x)\).

Do đó không tồn tại \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 2\)

\(b)\) Ta có:

\(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 2^+} (\ – \ 3x + b) = \ – \ 6 + b\)

\(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 2^-} (2x + a) = 4 + a\)

Để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\) thì:

\(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 4\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} \ – \ 6 + b = 4 \\4 + a = 4 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} b = 10\\a = 0 \end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy với \(a = 0, b = 10\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\)

\(c)\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Để hàm số liên tục trên tập xác định \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Vậy với \(a = 0, b = 10\) thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục trên tập xác định.

\(\)

Bài \(6\). Từ độ cao \(55,8 m\) của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình \(18\)). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng \(\displaystyle \frac{1}{10}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \(S_n\) là tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất \(n\) lần. Tính \(\lim S_n\).

Trả lời:

Gọi \((u_n)\) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.

Ta có: \(u_1 = 55,8\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{1}{10}. u_1\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{1}{10} u_2 = \left(\displaystyle \frac{1}{10}\right)^2 u_1\)

….

\(u_n = \left(\displaystyle \frac{1}{10}\right)^{n \ – \ 1}. u_1\)

Khi đó dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1 = 55,8\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{10}\) thỏa mãn \(|q| < 1\).

Suy ra \(S_n = u_1 + u_2 + … u_n + …\)

\(= \displaystyle \frac{u_1}{1 \ – \ q} = \displaystyle \frac{55,8}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}} = 62\) (m)

Vậy tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất \(n\) lần là \(62 m\).

\(\)

Bài \(7\). Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Tam giác \(A_1B_1C_1\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(ABC\), tam giác \(A_2B_2C_2\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(A_1B_1C_1\), …, tam giác \(A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(A_nB_nC_n\) … Gọi \(p_1, p_2, …, p_n, …\) và \(S_1, S_2, …, S_n,…\) theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác \(A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, … , A_nB_nC_n, …\)
\(a)\) Tìm giới hạn của các dãy số \((p_n)\) và \((S_n)\).
\(b)\) Tìm các tổng \(p_1 + p_2 + … + p_n + …\) và \(S_1 + S_2 + … + S_n + …\)

Trả lời:

\(p_n\) là dãy số chu vi các tam giác theo thứ tự lần lượt là \(ABC, A_1B_1C_1, …, A_nB_nC_n…\)

Khi đó ta có:

\(p_1 = p_{ABC} = a + a + a = 3a\)

\(p_2 = p_{A_1B_1C_1} = \displaystyle \frac{a}{2} + \displaystyle \frac{a}{2} + \displaystyle \frac{a}{2} = \displaystyle \frac{1}{2} 3a = \displaystyle \frac{1}{2} p_1\)

\(p_3 = p_{A_2B_2C_2} = \displaystyle \frac{a}{4} + \displaystyle \frac{a}{4} + \displaystyle \frac{a}{4}\)

\(= \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2. 3a = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 p_1\)

….

\(p_n = \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1} p_1\).

Suy ra \(\lim \limits_{n \to \infty} p_n = \lim \limits_{n \to \infty} \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}. p_1\)

\(= \lim \limits_{n \to \infty} \left[\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}. 3a\right] = \lim \limits_{n \to \infty} \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}. \lim \limits_{n \to \infty} 3a\)

\(= 0. 3a = 0\)

\(S_n\) là dãy số diện tích của các tam giác theo thứ tự lần lượt là \(ABC, A_1B_1C_1, …\)

Gọi \(h\) là chiều cao của tam giác \(ABC\). Khi đó \(h = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\(S_1 = S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. a. h\)

\(S_2 = S_{A_1B_1C_1} = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{a}{2}. \displaystyle \frac{h}{2} = \displaystyle \frac{1}{4} S_1\)

\(S_3 = S_{A_2B_2C_2} = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{a}{4}. \displaystyle \frac{h}{4} = \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2 S_1\)

….

\(S_n = \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^{n \ – \ 1} S_1\).

Suy ra \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n = \lim \limits_{n \to \infty} \left[\left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^{n \ – \ 1}. S_1\right]\)

\(= \lim \limits_{n \to \infty} \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^{n \ – \ 1}. \lim \limits_{n \to \infty} \displaystyle \frac{1}{2}. a.h\)

\(= 0. \displaystyle \frac{1}{2}.a.h = 0\)

\(b)\) \((p_n)\) là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(p_1 = 3a\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{2}\) thỏa mãn \(|q| < 1\) nên:

\(p_1 + p_2 + … + p_n + … = \displaystyle \frac{3a}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}} = 6a\)

\(\)

\((S_n)\) là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(S_1 = \displaystyle \frac{1}{2}ah\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{4}\) thỏa mãn \(|q| < 1\) nên ta có:

\(S_1 + S_2 + … + S_n + …\)

\(= \displaystyle \frac{\frac{1}{2}ah}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}} = \displaystyle \frac{2}{3}ah = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{3}\)

\(\)

Bài \(8\). Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d’\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A’B’\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính như Hình \(19\). Công thức thấu kính là \(\displaystyle \frac{1}{d} + \displaystyle \frac{1}{d’} = \displaystyle \frac{1}{f}\).
\(a)\) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d’ = \varphi (d)\).
\(b)\) Tìm \(\lim \limits_{d \to f^+} \varphi (d), \lim \limits_{d \to f^-} \varphi (d)\) và \(\lim \limits_{d \to f} \varphi (d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \frac{1}{d} + \displaystyle \frac{1}{d’} = \displaystyle \frac{1}{f}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{d’} = \displaystyle \frac{1}{f} \ – \ \displaystyle \frac{1}{d}\)

\(\Leftrightarrow d’ = \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f}\)

\(b)\)

\(\lim \limits_{d \to f^+} \varphi (d) = \lim \limits_{d \to f^+} \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f} = +\infty\)

\(\lim \limits_{d \to f^-} \varphi (d) = \lim \limits_{d \to f^-} \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f} = \ – \ \infty\)

\(\lim \limits_{d \to f} \varphi (d) = \lim \limits_{d \to f} \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f} = \infty\)

Giải thích ý nghĩa:

Khi khoảng cách của vật tới thấu kính càng gần với tiêu cự thì khoảng cách từ ảnh của vật đó tới thấu kính ra xa vô cực nên lúc đó không nhìn được bằng mắt thường.

Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III

Xem bài giải trước: Bài 3 – Hàm số liên tục
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech