Chương 8 – Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông trang 68 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.
1. Quan sát Hình 5.
a) Chứng minh rằng \(\Delta HDE\ ᔕ\ \Delta HFD.\)
b) Tính độ dài HD.
Giải
a) Xét \(\Delta HDE\) vuông tại \(H\) và \(\Delta HFD\) vuông tại \(H,\) có:
\(\widehat{HDE}=\widehat{HFD}=90^o\) (cùng phụ \(\widehat{HDF}\)).
Suy ra \(\Delta HDE\ ᔕ\ \Delta HFD\) (g.g).
b) Ta có \(\Delta HDE\ ᔕ\ \Delta HFD,\) suy ra \(\displaystyle\frac{HD}{HF}=\displaystyle\frac{HE}{HD}.\) Suy ra \(HD^2=HE.HF=9.16=144.\)
Vậy \(HD=\sqrt{144}=12.\)
\(\)
2. Quan sát Hình 6, chứng minh rằng:
a) \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta DPC.\)
b) \(NP\bot PC.\)
Giải
a) Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) và \(\Delta DPC\) vuông tại \(D,\) có:
\(\displaystyle\frac{MN}{DP}=\displaystyle\frac{12}{8}=\displaystyle\frac{3}{2};\) \(\displaystyle\frac{PN}{CP}=\displaystyle\frac{15}{10}=\displaystyle\frac{3}{2}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{MN}{DP} =\displaystyle\frac{PN}{CP}.\)
Do đó \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta DPC.\)
b) Ta có \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta DPC\) suy ra \(\widehat{MNP}=\widehat{DPC}.\)
Mà \(\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=90^o\) suy ra \(\widehat{MPN}+\widehat{DPC}=90^o.\)
Vậy \(NP\bot PC.\)
\(\)
3. Quan sát Hình 7, biết tứ giác ABHD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
a) \(BD^2=AB.DC.\)
b) \(AD^2=BM.BC.\)
Giải
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) và \(\Delta BDC\) vuông tại \(B,\) có: \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\) (so le trong).
Suy ra \(\Delta ABD\ ᔕ\ \Delta BDC\) (g.g) nên \(\displaystyle\frac{AB}{BD}=\displaystyle\frac{BD}{DC}.\)
Vậy \(BD^2=AB.DC.\)
b) Xét \(\Delta BMH\) vuông tại \(M\) và \(\Delta BHC\) vuông tại \(H,\) có: \(\widehat{HBM}\) là góc chung.
Do đó, \(\Delta BHM\ ᔕ\ \Delta BCH\) (g.g). Suy ra \(\displaystyle\frac{BM}{BH}=\displaystyle\frac{BH}{BC}\) hay \(BH^2=BM.BC.\)
Tứ giác \(ABHD\) là hình chữ nhật nên \(AD=BH.\)
Do đó \(AD^2=BM.BC.\)
\(\)
4. Trong Hình 8, cho tam giác \(BEC\ (BE < EC).\) Cho biết \(AC\bot BD,\) chứng minh rằng:
a) \(\Delta AIB\ ᔕ\ \Delta DIC.\)
b) \(EA.EB=EC.ED.\)
Giải
a) Ta có \(\displaystyle\frac{IA}{ID}=\displaystyle\frac{3}{4};\) \(\displaystyle\frac{IB}{IC}=\displaystyle\frac{6}{8}=\displaystyle\frac{3}{4}.\) Suy ra \(\displaystyle\frac{IA}{ID}=\displaystyle\frac{IB}{IC}.\)
Xét \(\Delta AIB\) vuông tại \(I\) và \(\Delta DIC\) vuông tại \(I\) có: \(\displaystyle\frac{IA}{ID}=\displaystyle\frac{IB}{IC}.\)
Suy ra \(\Delta AIB\ ᔕ\ \Delta DIC\) (c.g.c).
b) Xét \(\Delta EDB\) và \(\Delta EAC\) có: \(\widehat{E}\) là góc chung và \(\widehat{ABI}=\widehat{DCI}\ (\Delta AIB\ ᔕ\ \Delta DIC).\)
Do đó \(\Delta EDB\ ᔕ\ \Delta EAC\) (g.g).
Suy ra \(\displaystyle\frac{EA}{ED}=\displaystyle\frac{EC}{EB}\) hay \(EA.EB=EC.ED.\)
\(\)
5. Cho \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNP\) theo tỉ số đồng dạng \(k=\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{2}{3}.\) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường cao MK của tam giác MNP.
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH\ ᔕ\ \Delta MNK.\) Tính tỉ số \(\displaystyle\frac{AH}{MK}.\)
b) Biết diện tích tam giác ABC bằng \(56\ cm^2.\) Tính diện tích tam giác MNP.
Giải
a) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) và \(\Delta MNK\) vuông tại \(K\) có: \(\widehat{B}=\widehat{N}\ (\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNP).\)
Suy ra \(\Delta ABH\ ᔕ\ \Delta MNK\) (g.g).
Vậy \(\displaystyle\frac{AH}{MK}=\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)
b) Ta có \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNP\) suy ra \(\displaystyle\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta MNP}}=k^2,\) hay \(\displaystyle\frac{56}{S_{\Delta MNP}}=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2.\)
Vậy \({{S}_{\Delta MNP}}=126\ (cm^2).\)
\(\)
6. Người ta dùng một gương phẳng để đo chiều cao của một căn nhà (Hình 9). Đặt tấm gương nằm trên mặt phẳng nằm ngang (điểm C), mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát lùi dần cho đến khi nhìn thấy ảnh của đỉnh căn nhà trong gương. Cho biết \(\widehat{ACB}=\widehat{MCN},\) AB = 1,65 m, BC = 4 m, NC = 20 m. Tính chiều cao MN của căn nhà.
Giải
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) và \(\Delta MNC\) vuông tại \(N\) có: \(\widehat{ACB}=\widehat{MCN}\) (giả thiết).
Suy ra \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNC\) (g.g).
Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{BC}{NC},\) hay \(\displaystyle\frac{1,65}{MN}=\displaystyle\frac{4}{20}.\)
Vậy \(MN=\displaystyle\frac{1,65.20}{4}=8,25\ m.\)
\(\)
7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của \(\widehat{A}\) cắt cạnh huyền BC tại M. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại N. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta MNC\ ᔕ\ \Delta ABC.\)
b) \(MN = MB.\)
Giải
a) Xét \(\Delta MNC\) vuông tại \(M\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\widehat{C}\) là góc chung.
Do đó, \(\Delta MNC\ ᔕ\ \Delta ABC\) (g.g).
b) Ta có \(\Delta MNC\ ᔕ\ \Delta ABC\) suy ra \(\displaystyle\frac{MN}{AB}=\displaystyle\frac{MC}{AC}\ (1)\)
\(\Delta ABC\) có AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\) nên theo tính chất đường phân giác, ta có: \(\displaystyle\frac{MB}{MC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\) hay \(\displaystyle\frac{MB}{AB}=\displaystyle\frac{MC}{AC}\ (2)\)
Từ \((1)\) và \((2),\) suy ra \(\displaystyle\frac{MN}{AB}=\displaystyle\frac{MB}{AB}.\)
Vậy \(MN=MB.\)
\(\)
8. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\ (AB<AC)\) và kẻ đường cao \(AH.\) Tia phân giác của \(\widehat{B}\) cắt \(AC\) tại \(E\) và cắt \(AH\) tại \(F.\) Chứng minh rằng:
a) \(AB.HF=AE.HB.\)
b) \(AE=AF.\)
c) \(AE^2=EC.FH.\)
Giải
a) Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) và \(\Delta HBF\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat{ABE}=\widehat{HBF}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat{B}\)).
Suy ra \(\Delta ABE\ ᔕ\ \Delta HBF\) (g.g).
Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{HB}=\displaystyle\frac{AE}{HF}.\) Vậy \(AB.HF=AE.HB.\)
b) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{HFB}\ (\Delta ABE\ ᔕ\ \Delta HBF)\) và \(\widehat{HFB}=\widehat{AFE}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat{AEB}=\widehat{AFE}.\)
Do đó \(\Delta AFE\) cân tại \(A.\) Suy ra \(AE=AF.\)
c) \(\Delta ABH\) có \(BF\) là tia phân giác của \(\widehat{ABH}\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\displaystyle\frac{FH}{AF}=\displaystyle\frac{BH}{AB}.\)
c) \(\Delta ABC\) có \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\displaystyle\frac{AE}{EC}=\displaystyle\frac{AB}{BC}.\)
Mặt khác, \(\Delta ABH\ ᔕ\ \Delta CBA\) (g.g) suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BH}{AB}.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{AE}{EC}=\displaystyle\frac{FH}{AF},\) suy ra \(AE.AF=EC.FH.\)
Mà \(AE=AF\) \(\Delta AFE\) cân tại \(A\) nên \(AE^2=EC.FH.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4: Hai hình đồng dạng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
