Chương 8 – Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác trang 62 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.
1. Tam giác ABC có độ dài AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 61,25 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.
Giải
Ta có \(\Delta A’B’C’\ ᔕ\ \Delta ABC\) (giả thiết), nên \(\displaystyle\frac{A’B’}{AB} = \displaystyle\frac{A’C’}{AC} = \displaystyle\frac{B’C’}{BC}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{A’B’}{9} = \displaystyle\frac{A’C’}{12} = \displaystyle\frac{B’C’}{14}\) \(= \displaystyle\frac{P_{A’B’C’}}{P_{ABC}} = \displaystyle\frac{61,25}{35} = \displaystyle\frac{7}{4}.\)
Do đó \(A’B’ = 9.\displaystyle\frac{7}{4} = 15,75\ (cm),\) \(A’C’ = 12.\displaystyle\frac{7}{4} = 21\ (cm),\) \(B’C’ = 14.\displaystyle\frac{7}{4} = 24,5\ (cm).\)
\(\)
2. a) Tam giác ABC và MBN (Hình 4) có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b) Biết tam giác ABC có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MBN.
Giải
a) Ta có: \(AB = AM + MB = 2x + x = 3x.\)
Xét \(\Delta MBN\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\displaystyle\frac{MB}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{AC} = \displaystyle\frac{BN}{BC} = \displaystyle\frac{1}{3}.\)
Suy ra \(\Delta MBN\ ᔕ\ \Delta ABC\) (c.c.c).
b) Ta có \(\Delta MBN\ ᔕ\ \Delta ABC\) suy ra tỉ số chu vi của hai tam giác bằng tỉ số đồng dạng.
\(\displaystyle\frac{P_{\Delta MBN}}{P_{\Delta ABC}} = \displaystyle\frac{1}{3}\) hay \(\displaystyle\frac{P_{\Delta MBN}}{15} = \displaystyle\frac{1}{3}.\)
Vậy \(P_{\Delta MBN} = \displaystyle\frac{1}{3}.15 = 5\ (cm).\)
\(\)
3. Cho tam giác MAB và ABN như Hình 5. Biết MA = 10 cm, MB = 15 cm, AB = 8 cm, NA = 12 cm, NB = 6,4 cm. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta MAB\ ᔕ\ \Delta ABN.\)
b) Tứ giác AMBN là hình thang.
Giải
a) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta ABN\) có:
\(\displaystyle\frac{MA}{AB} =\displaystyle\frac{10}{8}= \displaystyle\frac{5}{4};\) \(\displaystyle\frac{AB}{BN}=\displaystyle\frac{8}{6,4} = \displaystyle\frac{5}{4};\) \(\displaystyle\frac{MB}{AN}=\displaystyle\frac{15}{12} = \displaystyle\frac{5}{4}.\)
Vậy \(\Delta MAB\ ᔕ\ \Delta ABN\) (c.c.c).
b) Ta có \(\Delta MAB\ ᔕ\ \Delta ABN\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {MAB} = \widehat {NBA}.\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MA // NB.
Vậy tứ giác AMBN là hình thang.
\(\)
4. Anh Minh dự định thiết kế sân vườn nhà mình có hai bồn hoa hình tam giác đồng dạng với nhau (Hình 6). Bồn hoa thứ nhất có chu vi 7,5 m và cạnh dài nhất là 3,5 m. Bồn hoa thứ hai có chu vi 4,5 m. Tính độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai.
Giải
Ta có \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta ABC\) (giả thiết), suy ra \(\displaystyle\frac{BC}{EF} = \displaystyle\frac{P_{\Delta ABC}}{P_{\Delta DEF}} = \displaystyle\frac{7,5}{4,5} = \displaystyle\frac{5}{3}.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{3,5}{EF} = \displaystyle\frac{5}{3},\) suy ra \(EF = 2,1\ m.\)
\(\)
5. Quan sát Hình 7. Chứng minh rằng \(\widehat {OBA} = \widehat {OAC}.\)
Giải
Ta có: \(\displaystyle\frac{OB}{OA} =\displaystyle\frac{4}{6}=\displaystyle\frac{2}{3};\) \(\displaystyle\frac{OA}{OC}=\displaystyle\frac{6}{9} = \displaystyle\frac{2}{3}.\)
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCA\) có \(\displaystyle\frac{OA}{OC}=\displaystyle\frac{OB}{OA};\) \(\widehat{O}\) là góc chung.
Suy ra \(\Delta OAB\ ᔕ\ \Delta OCA\) (c.g.c).
Vậy \(\widehat {OBA} = \widehat {OAC}.\)
\(\)
6. Quan sát Hình 8.
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta DEF.\)
b) Cho biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, DN là đường trung tuyến của tam giác DEF và AM = 5,1 cm. Tính độ dài DN.
Giải
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có: \(\displaystyle\frac{AB}{DE} = \displaystyle\frac{BC}{EF} = \displaystyle\frac{3}{4},\) \(\widehat B = \widehat E.\)
Suy ra \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta DEF\) (c.g.c).
b) Ta có \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta DEF\) nên \(\displaystyle\frac{AM}{DN} = \displaystyle\frac{AB}{DE} = \displaystyle\frac{3}{4}.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{5,1}{DN} = \displaystyle\frac{3}{4}.\)
Vậy \(DN = \displaystyle\frac{5,1.4}{3}= 6,8\ (cm).\)
\(\)
7. Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = 7,5, AN = 6. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ANM\ ᔕ\ \Delta ABC.\)
b) \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}.\)
Giải
a) Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\displaystyle\frac{AN}{AB} = \displaystyle\frac{AM}{AC} = \displaystyle\frac{1}{2},\) \(\widehat A\) là góc chung.
Suy ra \(\Delta ANM\ ᔕ\ \Delta ABC\) (c.g.c).
b) Ta có \(\displaystyle\frac{AN}{AB} = \displaystyle\frac{AM}{AC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{AN}{AM} = \displaystyle\frac{AB}{AC}\) và \(\widehat A\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ANB\ ᔕ\ \Delta AMC\) (c.g.c).
Vậy \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}.\)
\(\)
8. Cho tam giác đều ABC, từ B và C kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại M. Qua M kẻ đường thẳng cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle\frac{CA}{CF} = \displaystyle\frac{ME}{MF}\) và \(\displaystyle\frac{BE}{BA} = \displaystyle\frac{ME}{MF}.\)
b) \(\Delta BCE\ ᔕ\ \Delta CFB.\)
Giải
a) Xét \(\Delta FCM\) có AE // CM, theo định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{CA}{CF} = \displaystyle\frac{ME}{MF}.\)
Xét \(\Delta FAE\) có AF // BM, theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{AE}{BE} = \displaystyle\frac{EF}{ME}.\)
Ta có: \(\displaystyle\frac{AE}{BE} + \displaystyle\frac{BE}{BE} = \displaystyle\frac{EF}{ME} + \displaystyle\frac{ME}{ME},\) suy ra \(\displaystyle\frac{BA}{BE} = \displaystyle\frac{MF}{ME}\) hay \(\displaystyle\frac{BE}{BA} = \displaystyle\frac{ME}{MF}.\)
b) Từ câu a, ta có: \(\displaystyle\frac{CA}{CF} = \displaystyle\frac{BE}{BA}\) mà \(AB = AC = BC.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{BC}{CF} = \displaystyle\frac{BE}{CB},\) \(\widehat {EBC} = \widehat {BCF}\) (tam giác ABC đều).
Suy ra \(\Delta BCE\ ᔕ\ \Delta CFB\) (c.g.c).
\(\)
9. Quan sát Hình 9.
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNQ.\)
b) Tính x, y.
Giải
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNQ\) có: \(\widehat A = \widehat M,\) \(\widehat C = \widehat Q.\)
Do đó \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNQ\) (g.g).
b) Vì \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta MNQ\) nên \(\displaystyle\frac{BA}{MN} = \displaystyle\frac{BC}{NQ} = \displaystyle\frac{AC}{MQ}\) hay \(\displaystyle\frac{y-1}{5} = \displaystyle\frac{3,5}{x + 2} = \displaystyle\frac{5}{10} = \displaystyle\frac{1}{2}\)
Do đó \(y-1 = \displaystyle\frac{5}{2},\) suy ra \(y = \displaystyle\frac{7}{2}\) và \(x + 2 = 7,\) suy ra \(x = 5.\)
\(\)
10. Trong Hình 10, cho biết AB = 4,2, IA = 6, IC = 10, \(\widehat {ABI} = {60^o},\) \(\widehat {CDx} = {120^o}.\) Tính độ dài CD.
Giải
Ta có: \(\widehat {CDI} = {180^o}-\widehat {CDx} = {60^o}.\)
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta CDI\) có: \(\widehat B = \widehat {CDI}\ (= 60^o),\) \(\widehat {AIB} = \widehat {CID}\) (hai góc đối đỉnh).
Do đó \(\Delta ABI\ ᔕ\ \Delta CDI\) (g.g).
Suy ra \(\displaystyle\frac{AI}{CI} = \displaystyle\frac{AB}{CD},\) hay \(\displaystyle\frac{6}{10} = \displaystyle\frac{4,2}{CD}.\)
Vậy \(CD = \displaystyle\frac{4,2.10}{6} = 7.\)
\(\)
11. Quan sát Hình 11. Vẽ vào tờ giấy tam giác MNP với NP = 6 cm, \(\widehat N = {45^o},\) \(\widehat P = {75^o}.\)
a) Chứng minh \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta ABC.\)
b) Dùng thước đo chiều dài cạnh MP của tam giác MNP. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ sông trong Hình 11.
Giải
a) Xét \(\Delta MNP\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat N = \widehat B\ ( = 45^o),\) \(\widehat P = \widehat C\ (= 75^o).\)
Do đó, \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta ABC\) (g.g).
b) Ta có MP = 4 cm.
Vì \(\Delta MNP\ ᔕ\ \Delta ABC\) nên \(\displaystyle\frac{MP}{AC} = \displaystyle\frac{NP}{BC}\) hay \(\displaystyle\frac{4}{AC} = \displaystyle\frac{6}{36}.\)
Vậy \(AC = \displaystyle\frac{4.36}{6}= 24.\)
\(\)
12. Trong Hình 12, cho biết tứ giác ABCD là hình thang. Biết DB là tia phân giác của góc ADC và \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}.\) Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABD\ ᔕ\ \Delta BDC.\)
b) \(BD^2 = AB.DC.\)
Giải
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BDC\) có: \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\) (giả thiết), \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong).
Suy ra nên \(\Delta ABD\ ᔕ\ \Delta BDC\) (g.g).
b) Ta có \(\Delta ABD\ ᔕ\ \Delta BDC,\) suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{BD} = \displaystyle\frac{BD}{DC}.\) Do đó \(BD^2 = AB.DC.\)
\(\)
13. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(\widehat{ADE} =\widehat{ACB}.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta AED\ ᔕ\ \Delta ABC.\)
b) Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt DE tại M và cắt BC tại N. Chứng minh rằng ME.NC = MD.NB.
Giải
a) Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat A\) là góc chung, \(\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (giả thiết).
Suy ra \(\Delta AED\ ᔕ\ \Delta ABC\) (g.g).
b) Ta có AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\) nên \(\displaystyle\frac{ME}{MD} = \displaystyle\frac{AE}{AD}.\)
Ta có AN là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\displaystyle\frac{NB}{NC} = \displaystyle\frac{AB}{AC}.\)
Mà \(\Delta AED\ ᔕ\ \Delta ABC\) suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{AD}{AC}\) hay \(\displaystyle\frac{AE}{AD} = \displaystyle\frac{AB}{AC}.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{ME}{MD} = \displaystyle\frac{NB}{NC}.\) Vậy \(ME.NC = MD.NB.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1: Hai tam giác đồng dạng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
