Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm trang \(35\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Trong \(5\) lần nhảy xa, hai bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là:

\(a)\) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không?
\(b)\) Tính phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả \(5\) lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Trả lời:

\(a)\) Kết quả trung bình của Hùng là:

\(\overline{X_H} = \displaystyle \frac{2,4 + 2,6 + 2,4 + 2,5 + 2,6}{5} = 2,5\)

Kết quả trung bình của Trung là:

\(\overline{X_T} = \displaystyle \frac{2,4 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,6}{5} = 2,5\)

Vậy kết quả trung bình của Hùng và Trung bằng nhau.

\(b)\) Phương sai mẫu số liệu kết quả \(5\) lần nhảy xa của bạn Hùng là:

\(s_H^2 = \displaystyle \frac{1}{5}.[(2, 4 \ – \ 2,5)^2 + (2,6 \ – \ 2,5)^2 + (2,4 \ – \ 2,5)^2\)

\(+ ((2,5 \ – \ 2,5)^2 + (2,6 \ – \ 2,5)^2] = 0,008\)

Phương sai của mẫu số liệu kết quả \(5\) lần nhảy xa của bạn Trung là:

\(s_T^2 = \displaystyle \frac{1}{5}. [(2, 4 \ – \ 2,5)^2 + (2,5 \ – \ 2,5)^2 + (2,5 \ – \ 2,5)^2\)

\( + (2,5 \ – \ 2,5)^2 + (2,6 \ – \ 2,5)^2] = 0,004\)

Do \(0,004 < 0,008\) nên \(s_T^2 < s_H^2\)

Vậy bạn Trung có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

\(\)

Bài \(2\). Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình \(3\) biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn \(2012 – 2019\).
\(a)\) Viết mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng trưởng \(GDP\) nhận được từ biểu đồ ở Hình \(3\).
\(b)\) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.
\(c)\) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
\(d)\) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Trả lời:

\(a)\) Mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng trưởng \(GDP\) thu được từ biểu đồ Hình \(3\) là:

\(5,25\) \(5,42\) \(5,98\) \(6,68\) \(6,21\) \(6,81\) \(7,08\) \(7,02\).

\(b)\) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\(5,25\) \(5,42\) \(5,98\) \(6,21\) \(6,68\) \(6,81\) \(7,02\) \(7,08\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 7,08 \ – \ 5,25 = 1,83\)

\(c)\) Trung vị của mẫu số liệu là:

\(Q_2 = \displaystyle \frac{6,21 + 6,68}{2} = 6,445\)

Tứ phân vị thứ nhất là:

\(Q_1 = \displaystyle \frac{5,42 + 5,98}{2} = 5,7\)

Tứ phân vị thứ ba là:

\(Q_3 = \displaystyle \frac{6,81 + 7,02}{2} = 6,915\)

Vậy khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 6,915 \ – \ 5,7 = 1,215\)

\(d)\) Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{5,25 + 5,42 + 5,98 + 6,21 + 6,68 + 6,81 + 7,02 + 7,08}{8}\)

\( \approx 6,30625\)

Phương sai của mẫu só liệu là:

\(s^2 = \displaystyle \frac{1}{8}. [(5,25 \ – \ 6,30625)^2 + (5,42 \ – \ 6,30625)^2\)

\( + (5,98 \ – \ 6,30625)^2 + (6,21 \ – \ 6,30625)^2\)

\( + (6,68 \ – \ 6,30625)^2 + (6,81 \ – \ 6,30625)^2 \)

\(+ (7,02 \ – \ 6,30625)^2 + (7,08 \ – \ 6,30625)^2]\)

\(\approx 0,4398\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

\(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,4398} \approx 0,6632\)

\(\)

Bài \(3\). Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình \(4\) biểu diễn giá vàng bán ra trong \(7\) ngày đầu tiên của tháng \(6\) năm \(2021\).
\(a)\) Viết mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở Hình \(4\).
\(b)\) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.
\(c)\) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
\(d)\) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Trả lời:

\(a)\) Mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở Hình \(4\) là:

\(5767\) \(5757\) \(5737\) \(5727\) \(5747\) \(5747\) \(5722\)

\(b)\) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5722\) \(5727\) \(5737\) \(5747\) \(5747\) \(5757\) \(5767\)

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 5767 \ – \ 5722 = 45\)

\(c)\) Trung vị của mẫu số liệu là: \(Q_2 = 5747\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

\(Q_1 = 5727\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

\(Q_3 = 5757\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 5757 \ – \ 5727 = 30\)

\(d)\) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{5722 + 5727 + 5737 + 5747 + 5747 + 5757 + 5767}{7}\)

\( \approx 6743,43\)

Phương sai của mẫu số liệu là:

\(s^2 = \displaystyle \frac{1}{7}.[(5722 \ – \ 6743,43)^2 + (5727 \ – \ 6743,43)^2\)

\( + (5737 \ – \ 6743,43)^2 + (5747 \ – \ 6743,43)^2\)

\( + (5747 \ – \ 6743,43)^2 + (5757 \ – \ 6743,43)^2\)

\( + (5767 \ – \ 6743,43)^2]\)

\(\approx 219,39\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

\(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{219,39} \approx 14,81\)

\(\)

Bài \(4\). Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo \(5\) hạt đậu vào \(5\) chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau \(2\) tuần, \(5\) hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành \(5\) cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:
\(112\) \(\) \(102\) \(\) \(106\) \(\) \(94\) \(\) \(101\).
\(a)\) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau.
\(b)\) Theo em, các cây có phát triển đồng đều hay không?

Trả lời:

\(a)\) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1}{5} (112 + 102 + 106 + 94 + 101) = 103\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

\(s^2 = \displaystyle \frac{1}{5}. [(112 \ – \ 103)^2 + (102 \ – \ 103)^2 + (106 \ – \ 103)^2\)

\( + (94 \ – \ 103)^2 + (101 \ – \ 103)^2]\)

\(= 35,2\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

\(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{35,2} \approx 5,93\)

\(b)\) Do độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(5,93\), giá trị này khá lớn.

Vậy theo em, các cây phát triển không đồng đều.

Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng