Bài 2. Giải tam giác

Bài \(2\). Giải tam giác trang \(72\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 12, CA = 15, \widehat{C} = 120^o\). Tính:
\(a)\) Độ dài cạnh \(AB\);
\(b)\) Số đo các góc \(A, B\);
\(c)\) Diện tích tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 \ – \ 2. AC. BC. \cos{C}\)

\(= 15^2 + 12^2 \ – \ 2. 15. 12. \cos{120^o} = 549\)

\(\Rightarrow AB = 3\sqrt{61}\)

\(b)\) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}\)

\(\Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{BC \sin{C}}{AB} = \displaystyle \frac{12 \sin{120^o}}{3\sqrt{61}}\)

\(= \displaystyle \frac{2\sqrt{183}}{61}\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 26,3^o\)

Mặt khác: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{B} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{C})\)

\(= 180^o \ – \ (26,3^o + 120^o) = 33,7^o\)

\(c)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{A} \)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. 3\sqrt{61}. 15. \displaystyle \frac{2\sqrt{183}}{61} = 45\sqrt{3}\) (đvdt)

\(\)

Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5, BC = 7, \widehat{A} = 120^o\). Tính độ dài cạnh \(AC\).

Trả lời:

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}\)

\(\Rightarrow \sin{C} = \displaystyle \frac{AB\sin{A}}{BC} = \displaystyle \frac{5\sin{120^o}}{7} = \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}\)

\(\Rightarrow \widehat{C} \approx 38,2^o\)

Lại có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{B} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{C})\)

\( = 180^o \ – \ (120^o + 38,2^o) = 21,8^o\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 \ – \ 2. AB. BC. \cos{B}\)

\(= 5^2 + 7^2 \ – \ 2. 5. 7. \cos{21,8^o} \approx 9\)

\(\Rightarrow AC \approx 3\)

\(\)

Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 100, \widehat{B} = 100^o, \widehat{C} = 45^o\). Tính:
\(a)\) Độ dài các cạnh \(AC, BC\);
\(b)\) Diện tích tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Theo định lí tổng ba góc trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C})\)

\(= 180^o \ – \ (100^o + 45^o) = 35^o\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{sin{C}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}\)

Suy ra:

\(AC = \displaystyle \frac{AB \sin{B}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{100 \sin{100^o}}{\sin{45^o}} \approx 139,3\)

\(BC = \displaystyle \frac{AB \sin{A}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{100 \sin{35^o}}{\sin{45^o}} \approx 81,1\)

Vậy \(AC \approx 139,3; BC \approx 81,1\)

\(b)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. BC. AC. \sin{C} = \displaystyle \frac{1}{2}. 81,1. 139,3. \sin{45^o}\)

\(\approx 3994,2 \) (đvdt)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(3994,2\) đvdt.

\(\)

Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 12, AC = 15, BC = 20\). Tính:
\(a)\) Số đo các góc \(A, B, C\);
\(b)\) Diện tích tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC}\)

\(= \displaystyle \frac{12^2 + 15^2 \ – \ 20^2}{2. 12. 15} = \ – \ \displaystyle \frac{31}{360}\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 95^o\)

\(\cos{B} = \displaystyle \frac{AB^2 + BC^2 \ – \ AC^2}{2. AB. BC}\)

\(= \displaystyle \frac{12^2 + 20^2 \ – \ 15^2}{2. 12. 20} = \displaystyle \frac{319}{480}\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 48^o\)

Lại có \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (95^o + 48^o) = 37^o\)

\(b)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{A}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. 12. 15. \sin{95^o} \approx 90\) (đvdt)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(90\) đvdt.

\(\)

Bài \(5\). Tính độ dài cạnh \(AB\) trong mỗi trường hợp sau:

Trả lời:

Xét hình \(29\): Góc \(B\) nhọn

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}}\)

\(\Rightarrow \sin{B} = \displaystyle \frac{AC \sin{A}}{BC} = \displaystyle \frac{5,2. \sin{40^o}}{3,6} \approx 0,93\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 68^o\)

Lại có \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{B})\)

\( = 180^o \ – \ (40^o + 68^o) = 72^o\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 \ – \ 2. AC. BC. \cos{C}\)

\(= 5,2^2 + 3,6^2 \ – \ 2. 5,2. 3,6. \cos{72^o} \approx 28,43\)

\(\Rightarrow AB \approx 5,33\) (m)

Xét Hình \(30\): Góc \(B\) tù

Khi đó \(\widehat{B} = 180^o \ – \ 68^o = 112^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (112^o + 40^o) = 28^o\)

Áp dụng định lí côsin ta được:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 \ – \ 2. AC. BC. \cos{C} \)

\(= 5,2^2 + 3,6^2 \ – \ 2. 5,2. 3,6. \cos{28^o} \approx 6,94\)

\(\Rightarrow AB \approx 2,63\) (m)

\(\)

Bài \(6\). Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm \(A\) và \(B\) mà ta không thể đi trực tiếp từ \(A\) đến \(B\) (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy,…), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm \(C\) sao cho ta đo được các khoảng cách \(AC, CB\) và góc \(ACB\). Sau khi đo ta nhận được \(AC = 1 km, CB = 800 m\) và \(\widehat{ACB} = 100^o\) (Hình \(31\)). Tính khoảng cách \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Trả lời:

\(3\) vị trí \(A, B, C\) tạo thành ba đỉnh của tam giác \(ABC\).

Đổi \(1\) km = \(1000\) m

Khi đó tam giác \(ABC\) có: \(AC = 1000 m, CB = 800 m, \widehat{ACB} = 105^o\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB^2 = AC^2 + CB^2 \ – \ 2. AC. CB. \cos{ACB}\)

\(= 1000^2 + 800^2 \ – \ 2. 1000. 800. \cos{105^o}\)

\(\approx 2054110,5\)

\(\Rightarrow AB \approx 1433,2\) (m)

Vậy khoảng cách \(AB\) khoảng \(1433,2\)m.

\(\)

Bài \(7\). Một người đi dọc bờ biển từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí \(A, B\) tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \(45^o\) và \(75^o\). Biết khoảng cách giữa hai vị trí \(A, B\) là \(30 m\) (Hình \(32\)). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) xuống \(AB\) hay \(CH\) chính là khoảng cách giứa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có: \(\widehat{CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow \widehat{CBH} = \widehat{BAC} + \widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{CBH} \ – \ \widehat{BAC} = 75^o \ – \ 45^o = 30^o\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}\)

\(\Rightarrow BC = \displaystyle \frac{AB \sin{A}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{30 \sin{45^o}}{\sin{30^o}} = 30\sqrt{2}\)

Xét tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(\sin{\widehat{CBH}} = \displaystyle \frac{CH}{BC}\)

\(\Rightarrow CH = BC \sin{\widehat{CBH}} = 30\sqrt{2}. \sin{75^o} \approx 41\)

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng \(41\)m.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Khái niệm vectơ
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều