Bài \(2\). Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ trang \(46\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Các bài toán sau đây được xét trong mặt phẳng \(Oxy\)
Bài \(1\). Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(d\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; 1)\);
\(b)\) \(d\) đi qua điểm \(B(4; \ – \ 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; \ – \ 2)\);
\(c)\) \(d\) đi qua \(P(1; 1)\) và có hệ số góc \(k = \ – \ 2\)
\(d)\) \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3; 0)\) và \(R(0; 2)\).
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; 1)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left \{\begin{matrix}x = \ – \ 1 + 2t\\y = 5 + t \end{matrix} \right.\)
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; 1)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1; \ – \ 2)\) và đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 5)\).
Ta có phương trình tổng quát của \(d\) là:
\(1.(x \ + \ 1) \ – \ 2(y\ – \ 5) = 0 \Leftrightarrow x \ – \ 2y + 11 = 0\)
\(b)\) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(4; \ – \ 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; \ – \ 2)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(3(x \ – \ 4) \ – \ 2(x \ + \ 2) = 0 \Leftrightarrow 3x \ – \ 2y \ – \ 16 = 0\)
Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; \ – \ 2)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; 3)\) và đi qua điểm \(B(4; \ – \ 2)\) nên \(d\) có phương trình tham số là:
\(\left \{\begin{matrix}x = 4 + 2t\\y = \ – \ 2 + 3t \end{matrix} \right.\)
\(c)\) Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\)
Hệ số góc \(k = \ – \ 2\) nên \(a = \ – \ 2)\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(d\) là:
\(y = \ – \ 2x + b\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(P(1; 1)\) nên thay toạ độ \(P\) vào phương trình của \(d\) ta được:
\(1 = (\ – \ 2). 1 + b \Rightarrow b = 3\)
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(y = \ – \ 2x + 3\) hay \(2x + y \ – \ 3 = 0\)
Suy ra đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; 1)\). Khi đó \(d\) có vectơ chỉ phương \(overrightarrow{u} = (1; \ – \ 2)\).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left \{\begin{matrix}x = 1 + t\\y = 1 \ – \ 2t \end{matrix} \right.\)
\(d)\) Ta có:
\(\overrightarrow{QR} = (\ – \ 3; 2)\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3; 0)\) và \(R(0; 2)\) nên \(d\) nhận \(\overrightarrow{QR}\) làm vectơ chỉ phương.
Vậy \(d\) có phương trình tham số là:
\(\left \{\begin{matrix}x = 3 \ – \ 3t\\y = 2t \end{matrix} \right.\)
\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{QR} = (\ – \ 3; 2)\) nên \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = 2; 3)\)
Vậy phương trình tổng quát của \(d\) là:
\(2(x \ – \ 3) + 3(y \ – \ 0) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y \ – \ 6 = 0\).
\(\)
Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(2; 5); B(1; 2)\) và \(C(5; 4)\).
\(a)\) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\).
\(b)\) Lập phương trình tham số của trung tuyến \(AM\).
\(c)\) Lập phương tình của đường cao \(AH\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (4; 2)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\)
Do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow{n_{BC}} = (2; \ – \ 4)\)
Khi đó phương trình tổng quát của \(BC\) là:
\(2.(x \ – \ 1) \ – \ 4(y \ – \ 2) = 0 \Leftrightarrow x \ – \ 2y + 3 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là \(x \ – \ 2y + 3 = 0\)
\(b)\) Trung tuyến \(AM\) thì ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Vậy toạ độ điểm \(M\) thoả mãn:
\(\left \{\begin{matrix}2. x_M = 1 + 5\\2. y_M = 2 + 4 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x_M = 3\\y_M = 3 \end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow M(3; 3)\).
Trung tuyến \(AM\) đi qua hai điểm \(A(2; 5)\) và \(M(3; 3)\) nên trung tuyến \(AM\) nhận vectơ \(\overrightarrow{AM} = (1; \ – \ 2)\) làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của trung tuyến \(AM\) là:
\(\left \{\begin{matrix}x = 2 + t\\y = 5 \ – \ 2t \end{matrix} \right.\)
\(c)\) Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (4; 2)\)
Vì \(AH \perp BC\) nên \(\overrightarrow{BC}\) là vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\)
Đường cao \(AH\) đi qua điểm \(A(2; 5)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{BC} = (4; 2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(4(x \ – \ 2) + 2(y \ – \ 5) = 0 \Leftrightarrow 2x + y \ – \ 9 = 0\)
Vậy phương trình đường cao \(AH\) là \(2x + y \ – \ 9 = 0\).
\(\)
Bài \(3\). Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\Delta\) đi qua \(A(2; 1)\) và song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\).
\(b)\) \(\Delta\) đi qua \(B(\ – \ 1; 4)\) và vuông góc với đường thẳng \(2x \ – \ y \ – \ 2 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; 1)\)
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(2; 1)\) và song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) nên \(\Delta\) cũng nhận vectơ \(\overrightarrow{n} = (3; 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:
\(3(x \ – \ 2) + 1(y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + y \ – \ 7 = 0\)
\(\Delta\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\Delta}} = (3; 1)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1; \ – \ 3)\)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:
\(\left \{\begin{matrix}x = 2 + t\\y = 1 \ – \ 3t \end{matrix} \right.\)
\(b)\) Đường thẳng \(2x \ – \ y \ – \ 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; \ – \ 1)\)
Do đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(2x \ – \ y \ – \ 2 = 0\) nên \(\Delta\) nhận vectơ \(\overrightarrow{n} = (2; \ – \ 1)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(B(\ – \ 1; 4)\) và có vectơ chỉ phương \((2; \ – \ 1)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left \{\begin{matrix}x = \ – \ 1 + 2t\\y = 4 \ – \ t \end{matrix} \right.\)
Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \((2; \ – \ 1)\) nên \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{\Delta}} = (1; 2)\)
Vậy \(\Delta\) có phương trình tổng quát là:
\(1(x + 1) + 2(y \ – \ 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2y \ – \ 7 = 0\).
\(\)
Bài \(4\). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) sau đây:
\(a)\) \(d_1: x \ – \ y + 2 = 0\) và \(d_2 = x + y + 4 = 0\);
\(b)\) \(d_1: \left \{\begin{matrix}x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t \end{matrix} \right.\) và \(d_2 = 5x \ – \ 2y + 9 = 0\);
\(c)\) \(d_1: \left \{\begin{matrix}x = 2 \ – \ t\\y = 5 + 3t \end{matrix} \right.\) và \(d_2 = 3x + y \ – \ 11 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có \(d_1\) và \(d_2\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (1; \ – \ 1), \overrightarrow{n_2} = (1; 1)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_1} . \overrightarrow{n_2} = 1. 1 + (\ – \ 1). 1 = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}\)
Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta xét hệ sau:
\(\left \{\begin{matrix}x \ – \ y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x= \ – \ 3\\y = \ – \ 1 \end{matrix} \right.\)
Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc và cắt nhau tại \(A(\ – \ 3; \ – \ 1)\).
\(b)\) \(d_1\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (2; 5)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow{n_1} = (5; \ – \ 2)\) làm vectơ pháp tuyến.
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (5; \ – \ 2)\).
Ta thấy \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương.
Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(M(1; 3)\) thuộc \(d_1\).
Dễ dàng nhận thấy khi thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d_2\) không thoả mãn. Vậy \(M\) không thuộc \(d_2\)
Vậy \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau.
\(c)\) \(d_1\) có vectơ chỉ phương \((\ – \ 1; 3)\) nên \(d_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (3; 1)\).
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (3; 1)\)
Do đó \(d_1\) và \(d_2\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(N(2; 5) \in d_1\). Thay toạ độ điểm \(N\) vào phương trình của \(d_2\) ta được:
\(3. 2 + 5 \ – \ 11 = 0\) thoả mãn nên suy ra \(N \in d_2\)
\(\Rightarrow d_1 \equiv d_2\).
\(\)
Bài \(5\). Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left \{\begin{matrix}x = 2 \ – \ t\\y = 5 + 3t \end{matrix} \right.\)
Tìm giao điểm của \(d\) với hai trục toạ độ.
Trả lời:
Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) với trục hoành \(Ox\)
Suy ra toạ độ của điểm \(A\) là: \(A(a; 0)\)
Thay \(y = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có:
\(\left \{\begin{matrix}x = 2 \ – \ t\\0 = 5 + 3t \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \displaystyle \frac{11}{3}\\t = \ – \ \displaystyle \frac{5}{3} \end{matrix} \right.\)
Vậy giao điểm của \(d\) với trục hoành là \(A \left(\displaystyle \frac{11}{3}; 0 \right)\)
Gọi \(B\) là giao điểm của \(d\) với trục tung \(Oy\).
Suy ra \(B\) có toạ độ là: \(B(0; y)\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(\left \{\begin{matrix}0 = 2 \ – \ t\\y = 5 + 3t \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}t = 2\\y = 11 \end{matrix} \right.\)
Vậy giao điểm của \(d\) với trục tung là \(B(0; 11)\).
\(\)
Bài \(6\). Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(d_1: x \ – \ 2y + 3 = 0\) và \(d_2: 3x \ – \ y \ – \ 11 = 0\);
\(b)\) \(d_1: \left \{\begin{matrix}x = t\\y = 3 + 5t \end{matrix} \right.\) và \(d_2: + 5y \ – \ 5 = 0\);
\(c)\) \(d_1: \left \{\begin{matrix}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t \end{matrix} \right.\) và \(d_2: x = \left \{\begin{matrix}x = t’\\y = \ – \ 9 + 2t’ \end{matrix} \right.\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là:
\(\overrightarrow{n_1} = (1; \ – \ 2); \overrightarrow{n_2} = (3; \ – \ 1)\).
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
\(\cos(d_1; d_2) = |\cos(\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2})| = \displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|. |\overrightarrow{n_2}|}\)
\(= \displaystyle \frac{|1. 3 + (\ – \ 2). (\ – \ 1)|}{\sqrt{1^2 + (\ – \ 2)^2}. \sqrt{3^2 + (\ – \ 1)^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\Rightarrow (d_1; d_2) = 45^o\)
\(b)\) \(d_1\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (1; 5)\) nên \(d_1\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1} = (5; \ – \ 1)\)
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n_2} = (1; 5)\)
Ta thấy \(\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2} = 5. 1 + (\ – \ 1). 5 = 0\)
Suy ra \(\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}\) hay \(d_1 \perp d_2\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(90^o\).
\(c)\) Ta có hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là:
\(\overrightarrow{u_1} = (2; 4); \overrightarrow{u_2} = (1; 2)\)
Ta thấy \(\overrightarrow{u_1} = 2. \overrightarrow{u_2}\) nên \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương.
Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Vậy góc giữa hai đường thằng \(d_1\) và \(d_2\) bằng \(0^o\).
\(\)
Bài \(7\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(M(1; 2)\) và \(\Delta: 3x \ – \ 4y + 12 = 0\);
\(b)\) \(M(4; 4)\) và \(\Delta: \left \{\begin{matrix}x = t\\y = \ – \ t \end{matrix} \right.\);
\(c)\) \(M(0; 5)\) và \(\Delta: \left \{\begin{matrix}x = t\\y = \displaystyle \frac{\ – \ 19}{4} \end{matrix} \right.\);
\(d)\) \(M(0; 0)\) và \(\Delta: 3x + 4y \ – \ 25 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta được:
\(d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|3. 1 \ – \ 4. 2 + 12|}{\sqrt{3^2 + (\ – \ 4)^2}} = \displaystyle \frac{7}{5}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(\displaystyle \frac{7}{5}\).
\(b)\) Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \((1; \ – \ 1)\) nên nhận vectơ \((1; 1)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \((0; 0)\)
Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(x + y = 0\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M(4; 4)\) đến \(\Delta\) là:
\(d(M; \Delta) = \displaystyle \frac{|1. 4 + 1. 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2\sqrt{2}\)
\(c)\) Xét đường thẳng \(\Delta\):
\(\left \{\begin{matrix}x = t\\y = \displaystyle \frac{\ – \ 19}{4} \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow y = \displaystyle \frac{\ – \ 19}{4}\)
\(\Leftrightarrow y + \displaystyle \frac{19}{4} = 0\)
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:
\(d(M; \Delta) = \displaystyle \frac{|5 + \displaystyle \frac{19}{4}|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \displaystyle \frac{39}{4}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta\) bằng \(\displaystyle \frac{39}{4}\)
\(d)\) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:
\(d(M; \Delta) = \displaystyle \frac{3. 0 + 4. 0 \ – \ 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \displaystyle \frac{25}{5} = 5\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta\) bằng \(5\).
\(\)
Bài \((8\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta: 3x + 4y \ – \ 10 = 0\) và \(\Delta’: 6x + 8y \ – \ 1 = 0\).
Trả lời:
Ta có hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(\Delta: 3x + 4y \ – \ 10 = 0\) và \(\Delta’: 6x + 8y \ – \ 1 = 0\) lần lượt là: \(\overrightarrow{n_1} = (3; 4), \overrightarrow{n_2} = (6; 8)\)
Ta thấy \(\overrightarrow{n_2} = 2. \overrightarrow{n_1}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) cùng phương.
Suy ra hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta’\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(A(2; 1)\) thuộc \(\Delta\)
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta được:
\(d(M; \Delta’) = \displaystyle \frac{|6. 2 + 8. 1 \ – \ 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \displaystyle \frac{19}{10} = 1,9\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta’\) là \(1,9\).
\(\)
Bài \(9\). Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(S(x; y)\) di động trên đường thẳng \(d: 12x \ – \ 5y + 16 = 0\). Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5; 10)\) đến điểm \(S\).
Trả lời:
Ta có khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M\) đến điểm \(S\) khi và chỉ khi \(MS \) vuông góc với đường thẳng \(d\).
Hay \(MS\) là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(d\)
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:
\(MS = d(M, d) = \displaystyle \frac{|12. 5 \ – \ 5. 10 + 16|}{12^2 + 5^2}\)
\( = \displaystyle \frac{26}{13} = 2\)
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5; 10)\) đến điểm \(S\) là \(2\).
\(\)
Bài \(10\). Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đã rô bốt. Gọi \(A(\ – \ 1; 1), B(9; 6), C(5; \ – \ 3)\) là ba vị trí trên màn hình.
\(a)\) Viết phương trình các đường thẳng \(AB, AC, BC\).
\(b)\) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
\(c)\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (10; 5), \overrightarrow{AC} = (6; \ – \ 4), \overrightarrow{BC} = (\ – \ 4; \ – \ 9)\).
- Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (10; 5)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{AB}} = (1; \ – \ 2)\)
Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 1)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n_{AB}} = (1; \ – \ 2)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
\(1. (x + 1) \ – \ 2. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow x \ – \ 2y + 3 = 0\)
Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x \ – \ 2y + 3 = 0\)
- Đường thẳng \(AC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AC} = (6; \ – \ 4)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{AC}} = (2; 3)\)
Phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A(\ – \ 1; 1)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n_{AC}} = (2; 3)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
\(2. (x + 1) + 3. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y \ – \ 1 = 0\)
Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là \(2x + 3y \ – \ 1 = 0\)
- Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{BC} = (\ – \ 4; \ – \ 9)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{BC}} = (9; \ – \ 4)\)
Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(9; 6)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n_{BC}} = (9; \ – \ 4)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
\(9. (x \ – \ 9) \ – \ 4. (y \ – \ 6) = 0 \Leftrightarrow 9x \ – \ 4y \ – \ 57 = 0\)
Vậy phương trình đường thẳng \(BC\) là \(9x \ – \ 4y \ – \ 57 = 0\).
\(b)\) Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
\(\cos{(AB; AC)} = |\cos{(\overrightarrow{n_{AB}}, \overrightarrow{n_{AC}}}|\)
\(= \displaystyle \frac{|1. 2 + (\ – \ 2). 3|}{\sqrt{1^2 + (\ – \ 2)^2}. \sqrt{2^2 + 3^2}} = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{65}}\)
\(\Rightarrow (AB; AC) = 60, 26^o\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) là \(60, 26^o\)
\(c)\) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:
\(d(A; BC) = \displaystyle \frac{|9. (\ – \ 1) \ – \ 4. 1 \ – \ 57|}{\sqrt{9^2 + (\ – \ 4)^2}} = \displaystyle \frac{70}{\sqrt{97}}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là \(\displaystyle \frac{70}{\sqrt{97}}\).
Bài 2. Đường thẳng trong mặt Bài 2. Đường thẳng trong mặt Bài 2. Đường thẳng trong mặt
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-1-toa-do-cua-vecto/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-3-duong-tron-trong-mat-phang-toa-do/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.