Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến

Chương 1 – Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến trang 10 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

1. Tính:

a) \(7x + (-3xy + 5x);\)

b) \(4x-3y-(3 + 3x-y);\)

c) \(2xy-4xy-(y-3xy);\)

d) \((x^2y-3xy^2-y^2) + (5xy^2-4y^2 + 5x^2y).\)

Giải

a) \(7x + (-3xy + 5x)\)

\(= 7x-3xy + 5x\)

\(= (7x + 5x)-3xy\)

\(= 12x-3xy.\)

b) \(4x-3y-(3 + 3x-y)\)

\(= 4x-3y-3-3x + y\)

\(= (4x-3x) + (-3y + y)-3\)

\(= x-2y-3.\)

c) \(2xy-4xy-(y-3xy)\)

\(= 2xy-4xy-y + 3xy\)

\(= (2xy-4xy + 3xy)-y\)

\(= xy-y.\)

d) \((x^2y-3xy^2-y^2) + (5xy^2-4y^2 + 5x^2y)\)

\(= x^2y-3xy^2-y^2 + 5xy^2-4y^2 + 5x^2y\)

\(= (x^2y + 5x^2y) + (-3xy^2 + 5xy^2) +(-y^2-4y^2)\)

\(= 6x^2y + 2xy^2-5y^2.\)

\(\)

2. Tính:

a) \(2a + 4b + (-4b + 5a)-(6a-9b);\)

b) \(6a-[b + 3a-(4a-b)].\)

Giải

a) \(2a + 4b + (-4b + 5a)-(6a-9b)\)

\(= 2a + 4b-4b + 5a-6a + 9b\)

\(= (2a + 5a-6a) + (4b-4b + 9b)\)

\(= a + 9b.\)

b) \(6a-[b + 3a-(4a-b)]\)

\(= 6a-[b + 3a-4a + b]\)

\(= 6a-[2b-a]\)

\(= 6a-2b + a\)

\(= 7a-2b.\)

\(\)

3. Thực hiện các phép nhân:

a) \((3ab).(5bc);\)

b) \((-6a^2b).\left(-\displaystyle\frac{1}{2}ab^3\right).\)

Giải

a) \((3ab).(5bc) = 3.5.a.b.b.c = 15ab^2c.\)

b) \((-6a^2b).\left(-\displaystyle\frac{1}{2}ab^3\right)\) \(=-6.\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right).a^2.a.b.b^3=3a^3b^4.\)

\(\)

4. Thực hiện các phép nhân:

a) \((x + 3y)(x-2y);\)

b) \((2x-y)(y-5x);\)

c) \((2x-5y)(y^2-2xy);\)

d) \((x-y)(x^2-xy-y^2).\)

Giải

a) \((x + 3y)(x-2y)\)

\(= x^2-2xy + 3xy-6y^2\)

\(= x^2 + (-2xy + 3xy)-6y^2\)

\(= x^2 + xy-6y^2.\)

b) \((2x-y)(y-5x)\)

\(= 2xy-10x^2-y^2 + 5xy\)

\(= (2xy + 5xy)-10x^2-y^2\)

\(= 7xy-10x^2-y^2.\)

c) \((2x-5y)(y^2-2xy)\)

\(= 2xy^2-4x^2y-5y^3 + 10xy^2\)

\(= (2xy^2 + 10xy^2)-4x^2y-5y^3\)

\(= 12xy^2-4x^2y-5y^3.\)

d) \((x-y)(x^2-xy-y^2)\)

\(= x^3-x^2y-xy^2-x^2y + xy^2 + y^3\)

\(= x^3 + (- x^2y-x^2y) +(- xy^2 + xy^2) + y^3\)

\(= x^3-2x^2y + y^3.\)

\(\)

5. Thực hiện các phép chia:

a) \(24xy^3 : (6xy);\)

b) \(-3x^2y^5z : (15xy^3);\)

c) \((-4x^6y^2) : (-0,1x^3y^2).\)

Giải

a) \(24xy^3 : (6xy) = (24 : 6).(x : x).(y^3 : y) = 4y^2.\)

b) \(-3x^2y^5z : (15xy^3)\) \(= (-3 : 15).(x^2 : x).(y^5 : y^3).z\) \(=-\displaystyle\frac{1}{5}xy^2z.\)

c) \((-4x^6y^2) : (-0,1x^3y^2)\) \(= [-4 : (-0,1)].(x^6 : x^3).(y^2 : y^2)\) \(= 40x^3.\)

\(\)

6. Thực hiện các phép chia:

a) \((6x^2y-9xy^2) : (3xy);\)

b) \((-xy^2 +10y) : (-5y);\)

c) \((5xy^2+2):\displaystyle\frac{5}{2};\)

d) \((2x^4y^2-3x^2y^3) : (-x^2y).\)

Giải

a) \((6x^2y-9xy^2) : (3xy)\)

\(= 6x^2y : 3xy-9xy^2 : 3xy\)

\(= (6 : 3).(x^2 : x).(y : y)-(9 : 3).(x : x).(y^2 : y)\)

\(= 2x-3y.\)

b) \((-xy^2 +10y) : (-5y)\)

\(=-xy^2 : (-5y) + 10y : (-5y)\)

\(= [(-1) : (-5)]x.(y^2 : y) + [10 : (-5)].(y : y)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{5}xy-2.\)

c) \((5xy^2+2):\displaystyle\frac{5}{2}\)

\(=5xy^2:\displaystyle\frac{5}{2}+2:\displaystyle\frac{5}{2}\)

\(=2xy^2+\displaystyle\frac{4}{5}.\)

d) \((2x^4y^2-3x^2y^3) : (-x^2y)\)

\(= 2x^4y^2 : (-x^2y)-3x^2y^3 : (-x^2y)\)

\(= [2 : (-1)].(x^4 : x^2).(y^2 : y)-[3 : (-1)].(x^2 : x^2).(y^3 : y)\)

\(=-2x^2y + 3y^2.\)

\(\)

7. Tính:

a) \(3a(a-b)-b(b-3a);\)

b) \(3a^2(2a + b)-2b(4a^2-b);\)

c) \((a + b)(a-b)(a-1)(a-2);\)

d) \(b(3b^2-a^3)+ (a^2 + 3b)(ab-b^2).\)

Giải

a) \(3a(a-b)-b(b-3a)\)

\(= 3a^2-3ab-b^2 + 3ab\)

\(= 3a^2 + (-3ab + 3ab)-b^2\)

\(= 3a^2-b^2.\)

b) \(3a^2(2a + b)-2b(4a^2-b)\)

\(= 6a^3 + 3a^2b-8a^2b + 2b^2\)

\(= 6a^3 + (3a^2b-8a^2b)+ 2b^2\)

\(= 6a^3-5a^2b + 2b^2.\)

c) \((a + b)(a-b)-(a-1)(a-2)\)

\(= (a^2-ab + ab-b^2)-(a^2-2a-a + 2)\)

\(= (a^2-b^2)-(a^2-3a + 2)\)

\(= a^2-b^2-a^2 + 3a-2\)

\(= (a^2-a^2)-b^2 + 3a-2\)

\(=-b^2 + 3a-2.\)

d) \(b(3b^2-a^3) + (a^2 + 3b)(ab-b^2)\)

\(= 3b^3-a^3b + a^3b-a^2b^2 + 3ab^2-3b^3\)

\(= (3b^3-3b^3) + (-a^3b + a^3b)-a^2b^2 + 3ab^2\)

\(=-a^2b^2 + 3ab^2.\)

\(\)

8. Tính giá trị của đa thức:

a) \((3x-y) + (3y-x)-(x + y)\) tại \(x = 2,7\) và \(y = 1,3;\)

b) \(x(x + y)-y(x-y)\) tại \(x =-0,5\) và \(y = 0,3;\)

c) \((1,3x^2y + 3,2xy + 1,5y^2)-(2,2xy-1,2x^2y + 1,5y^2)\) tại \(x =-2\) và \(y = 5.\)

Giải

a) \((3x-y) + (3y-x)-(x + y)\)

\(= 3x-y + 3y-x-x-y\)

\(= (3x-x-x) + (-y + 3y-y)\)

\(= x + y.\)

Với \(x = 2,7\) và \(y = 1,3\) ta có: \(2,7 + 1,3 = 4.\)

b) \(x(x + y)-y(x-y)\)

\(= x^2 + xy-xy + y^2\)

\(= x^2 + (xy-xy) + y^2\)

\(= x^2 + y^2.\)

Với \(x =-0,5\) và \(y = 0,3\) ta có: \((-0,5)^2 + 0,3^2 = 0,25 + 0,09 = 0,34.\)

c) \((1,3x^2y + 3,2xy + 1,5y^2)-(2,2xy-1,2x^2y + 1,5y^2)\)

\(= 1,3x^2y + 3,2xy + 1,5y^2-2,2xy + 1,2x^2y-1,5y^2\)

\(= (1,3x^2y + 1,2x^2y) + (3,2xy-2,2xy) + (1,5y^2-1,5y^2)\)

\(= 2,5x^2y + xy.\)

Với \(x =-2\) và \(y = 5\) ta có: \(2,5.(-2)^2.5 + (-2).5 = 50-10 = 40.\)

\(\)

9. Biết rằng \(x = a + b\) và \(y = 2a-b.\) Tính các đa thức sau theo \(a\) và \(b.\)

a) \(A = 3x-4y;\)

b) \(B = 2xy.\)

Giải

a) \(A = 3(a + b)-4(2a-b)\)

\(= 3a + 3b-8a + 4b\)

\(= (3a-8a) + (3b + 4b)\)

\(=-5a + 7b.\)

b) \(B = 2(a + b)(2a-b)\)

\(= 2(2a^2-ab + 2ab-b^2)\)

\(= 2(2a^2 + ab-b^2)\)

\(= 4a^2 + 2ab-2b^2.\)

\(\)

10. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng a (cm), chiều rộng bằng b (cm), người ta cắt bỏ bốn hình vuông cạnh bằng x (cm) ở bốn góc, rồi gấp và hàn thành thùng không có nắp (Hình 1). Viết biểu thức biểu thị:

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng a (cm), chiều rộng bằng b (cm), người ta cắt bỏ bốn (ảnh 1)

a) Thể tích nước tối đa mà thùng có thể chứa được.

b) Tổng diện tích của năm mặt của chiếc thùng.